PDF 學測試題關鍵解析

今

年的數學學測試題恐怕要讓許多中等程度的同學失望了！比起99課綱前兩年 的試題而言，今年顯得難多了，甚至有人認為這是近十年來最難的題目，憂心忡忡 地認為對數學教學而言並不是件好的結果。

本份試題比起往年題目，試題的計算量大，計算能力變得相當重要，題目經生活情境的包

裝後，讀題能力也相對重要，在學校教學或段考中，我們經常把題目的數據簡化，以呼應同學 們日趨薄弱的計算能力，看了今年的試題後，我想今後對學生計算能力的要求應該再多些，怕 同學計算太過複雜的惻隱之心也可稍微收斂起來。另外，去年的遺珠之憾『二次曲線』考了一 題有關雙曲線漸近線性質的題目，同學要得分不算太難，總算，『二次曲線』不再被打入冷宮 了。今年，待在冷宮的是『數與式』。

一、各冊配分情形：

冊別 單 元 題型

單選題 多選題 選填題 配分 合計

數與式 0

多項式函數 6 5

第 一

冊 指數、對數函數 2 7 F 15

20

數列與級數 1 5

排列、組合 10 C 10

機 率 3 B 10

第 二 冊

數據分析 5 5

30

三 角 A , J 10

直線與圓 4 5

第 三

冊 平面向量 9 E 10

25

空間向量 H , I 10

空間中的平面與直線 D 5

矩 陣 G 5

第 四 冊

二次曲線 8 5

25

前 言

數學考科 104 ^年 學測試題關鍵解析

二、試題題型、特色分析：

1. 由統計表可看出，四冊分布的量平均，也沒有跨章節的題目。

(1) 三角函數出了兩題，不過皆是用直角三角形邊角關係即可求得，特色是計算量大，如果 沒有用些計算小技巧，皆需面臨分母是多位小數求近似值的問題，尤其是最後一題J，

題目利用生活化的情境來包裝，一個非常簡單的題目，霎那間焦點變得模糊。

(2) 空間向量考了H與I兩題，錐體展開圖在90學測已考過，應不算太難，二面角的度量 84年曾考過正四面體兩相鄰面夾角是否大於60的多選題，真正需算出二面角餘弦值的 考題，這應該算是第一次了，本題另有一個影響此題答對率的因素就是如果用餘弦定理 解題，由於數據不容易處裡，中等程度學生應該會對此題目感到困擾。對此，筆者提出 空間坐標化來幫助我們解題，數據計算起來相對簡單，提供給各位老師解題參考。

(3) 單利與複利的差別終於在大考中出現了，這有助於老師在教學時多多的談一下這兩種計 息方式，筆者認為，包括信用卡以日計息、地下錢莊每十天一期、房貸的分期付款問題，

這些與我們日常生活息息相關的數學題，學生們都應該有所認識。

2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：

(1) 單選3：本題嘗試兩個新的定義：串接與並列，這與我們孰悉的物理中的串聯、並聯並

不相同，在考場的緊張氣氛中，同學是否注意到其中的不同是為得分與否的關 鍵。

(2) 單選4：這是一道關於線性規劃求最大值的題目，不過此題考的不是計算，而是觀念，

同學們在學習線性規劃問題時容易忽視平行線法而重視頂點法，其實這是本末 倒置的，要知道平行線法的結論就是頂點法，就像配方法的結論就是公式法一 樣。

(3) 多選8：本題考的是等軸雙曲線，漸近線為通過原點且與x軸夾45的兩直線，選項(3)

對某些同學可能會有困擾，同學會想說，漸近線既然是x－y＝0，那當a1000 時，a , b是不是很接近，而使得a , b的距離非常小而相差無幾呢？老師可能要 對這些同學詳加說明了！

(4) 選填B：本題考條件機率，得分容易，老師講解時也可利用樣本空間縮小的觀念切入：

不論甲乙各取出何種球，袋中均只剩二紅二白，這時丙丁戊己四人不論誰，取 得紅球的機率均是 2

4 ＝ 1

2 ，這樣是不是相對簡單呢？

(5) 選填C：這是一道考古題，與84社會組所考，求xyzu9之正整數解之個數，

是不是幾乎相同呢？當然，在智慧型復習講義中也有收錄此題，諸位先進可參 考拙著。

(6) 選填D：本題直觀思考，筆者認為考的是空間中三平面相交於一點，再利用距離公式求

此三點所形成的三角形的周長，若能由這個觀念出發，得分應不太難；不過，

有趣的是空間中三平面的相交情形在課程中是屬於◎的部分，出題教授是否有 另外的思考模式就不得而知了。

(7) 選填G：轉移矩陣一向是指考、學測熱門的出題重點，今年再次印證它的重要性，考了

三階轉移矩陣，相信以後這單元仍會受到出題教授的關愛。

第壹部分：選擇題

（占 50 分）

一、單選題（占 20 分）

說明︰第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於 一個選項者，該題以零分計算。

1. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度，連續五週的數據為 a1＝1 , a2＝2 , a3＝6 , a4＝15 , a5＝31。

請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？

(1) at^＋1＝3at－1，t＝1 , 2 , 3 , 4 (2) at＝t !，t＝1 , 2 , 3 , 4 , 5 (3) at^＋1＝at＋t²，t＝1 , 2 , 3 , 4 (4) at＝2^t－1，t＝1 , 2 , 3 , 4 , 5 (5) at^＋1＝tat＋1，t＝1 , 2 , 3 , 4

【答 案】(3)

【概念中心】能將觀察到的數列用遞迴關係式表示。

【命題出處】南一版數學第二冊第一章 數列與級數

【試題解析】a2＝a1＋1＝a1＋1²， a3＝a2＋4＝a2＋2²， a4＝a3＋9＝a3＋3²， a5＝a4＋16＝a4＋4²

∴ at^＋1＝at＋t²，t＝1 , 2 , 3 , 4 故選(3)。

2. 第1天獲得1元、第2天獲得2元、第3天獲得4元、第4天獲得8元、依此每天所獲 得的錢為前一天的兩倍，如此進行到第30天，試問這30天所獲得的錢，總數最接近下 列哪一個選項？

(1) 10,000元 (2) 1,000,000元 (3) 100,000,000元 (4) 1,000,000,000元 (5) 1,000,000,000,000元

【答 案】(4)

【概念中心】能計算出等比級數和，並利用對數的首數、尾數估計天文數字。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

試 題 詳 解 與 分 析

【試題解析】這三十天共獲得

1＋2¹＋2²＋2³＋…＋2²⁹＝ 1．( 2³⁰－1 )

2－1 ＝2³⁰－1 ( 元 ) ≈ 2³⁰( 元 )，

而log 2³⁰＝30．log 2 ≈ 30×0.301＝9.03＝9＋0.03

＝log 10⁹＋log 1.…＝log ( 1.…×10⁹ )

∴ 2³⁰ ≈ 1.…×10⁹ 故選(4)。

3. 有兩組供機器運作的配件A、B，其單獨發生故障的機率分別為0.1、0.15。只有當A，

B都發生故障時，此機器才無法運作。A、B兩配件若用串接方式，前面故障會導致後 面故障，但若後面故障則不會影響前面的故障情形；若用並列方式，則故障情形互不影 響。若考慮以下三種情形：

(一) 將B串接於A之後 (二) 將A串接於B之後 (三) 將A，B獨立並列

在情況(一)、(二)、(三)之下，機器無法運作的機率分別為p1、p2、p3。 請選出正確的選項。

(1) p1＞p2＞p3 (2) p2＞p1＞p3 (3) p3＞p2＞p1

(4) p3＞p1＞p2 (5) p1＝p2＞p3

【答 案】(2)

【概念中心】能了解題目中新名詞 ( 串接、並列 ) 的定義，並計算出機率。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】(一) B串接於A之後，可分成二種情形：

○1 若A故障，則B必故障  無法運作機率為0.1×1＝0.1；

○2 若A不故障，則必可運作  無法運作機率為0 ∴ p1＝0.1×1＋0＝0.1

(二) 同(一)之討論，A串接於B之後，可得p2＝0.15×1＋0＝0.15。

(三) A，B獨立並列，p3＝0.1×0.15＝0.015。

得p2＞p1＞p3， 故選(2)。

4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH及其內部，如右圖。已知目標函數ax＋by＋3

( 其中a，b為實數 ) 的最大值只發生在B點。請問當目標

函數改為3－bx－ay時，最大值會發生在下列哪一點？

(1) A (2) B (3) C (4) D (5) E

【答 案】(1)

【概念中心】能利用平行線法及斜率概念找出目標函數最大值產生的點。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】∵ 目標函數ax＋by＋3在B產生最大值

∴ 往右下移動出現最大值，即a＞0，b＜0 且m _AB ＝1 ∴ ax＋by＋3＝k之斜率－ a

b ＞1 又目標函數3－bx－ay＝－bx－ay＋3，

x係數－b＞0，y係數－a＜0

∴ 往右下移會有最大值 令3－bx－ay＝t，m′＝－ b

a 得0＜－ b a ＜1

∴ 在A點產生最大值 故選(1)。

二、多選題（占 30 分）

說明︰第5題至第10題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫 記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。

5. 小明參加某次路跑10公里組的比賽，下表爲小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平 均心率及步數：

完成時間 平均心率 步數

第一公里 5:00 161 990 第二公里 4:50 162 1000 第三公里 4:50 165 1005 第四公里 4:55 162 995 第五公里 4:40 171 1015 第六公里 4:41 170 1005 第七公里 4:35 173 1050 第八公里 4:35 181 1050 第九公里 4:40 171 1050 第十公里 4:34 188 1100 在這10公里的比賽過程，請依據上述數據，選出正確的選項。

(1) 由每公里的平均心率得知小明最高心率爲188

(2) 小明此次路跑，每步距離的平均小於1公尺

(3) 每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數爲正相關 (4) 每公里步數和每公里平均心率的相關係數爲正相關 (5) 每公里完成時間和每公里步數的相關係數爲負相關

【答 案】(2)(4)(5)

【概念中心】能就觀測所得的數據資料判斷變量間的相關性。

【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析

【試題解析】由表中可發現：由第一公里到第十公里，其完成時間愈來愈少，而平均心率愈 來愈多，所需步數愈來愈多。

(1) ×：平均心率≠最高心率。

(2) ○：每單位公里除第一、四公里內所需步數990、995步外，其餘皆大於

1000步

∴ 平均每步距離小於1公尺

(3) ×：每公里完成時間與平均心率為負相關。

(4) ○：步數與平均心率皆愈來愈多為正相關。

(5) ○：每公里完成時間愈少，則步數愈多為負相關。

故選(2)(4)(5)。

6. 設f (x) 是首項係數為1的實係數二次多項式。請選出正確的選項。

(1) 若f (2)＝0，則x－2可整除f (x) (2) 若f (2)＝0，則f (x) 為整係數多項式 (3) 若f ( 2 )＝0，則f ( － 2 )＝0 (4) 若f ( 2i )＝0，則f ( －2i )＝0

(5) 若f ( 2i )＝0，則f (x) 為整係數多項式

【答 案】(1)(4)(5)

【概念中心】能了解因式定理及多項式方程式的無理根成對、虛根成對的出現時機。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】(1) ○：由因式定理得f (2)＝0  x－2是f (x) 之因式。

(2) ×：反例：f (x)＝( x－2 ) ( x－ 2 )，則f (2)＝0，但f (x) 不為整係數。

(3) ×：實係數多項式方程式無理根可單獨存在，

例如：f (x)＝( x－2 ) ( x－ 2 )。

(4) ○：實係數多項式方程式虛根成對定理。

(5) ○：2i，－2i皆是f (x)＝0之根，

即f (x)＝( x－2i )［x－( －2i )］＝x²＋4為整係數。

故選(1)(4)(5)。

7. 坐標平面上，在函數圖形y＝2^x上，標示A、B、C、D四個點，其x坐標分別為

－1、0、1、2。請選出正確的選項。

(1) 點B落在直線AC下方

(2) 在直線AB、直線BC、直線CD中，以直線CD的斜率最大

(3) A、B、C、D四個點，以點B最靠近x軸 (4) 直線y＝2x與y＝2^x的圖形有兩個交點 (5) 點A與點C對稱於y軸

【答 案】(1)(2)(4)

【概念中心】就指數函數的圖形判斷其凹向性、遞增情形及對稱性。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】(1) ○：y＝2^x圖形凹口向上

∴ B在←→AC下方

(2) ○：y＝2^x圖形愈往右邊上升愈快

∴ ←→AB，←→BC，←→CD仰角愈來愈高 即m _CD ＞m _BC ＞m _AB

(3) ×：y＝2^x圖形遞增以A之y坐標最小

∴ A最靠近x軸

(4) ○：y＝2x為通過O ( 0 , 0 ) 及C ( 1 , 2 )，D ( 2 , 4 ) 之直線，

作圖知其與y＝2^x有兩個交點C，D。

(5) ×：A ( －1 , 1

2 )，C ( 1 , 2 ) 並不對稱於y軸。

故選(1)(2)(4)。

8. 坐標平面上有一雙曲線，其漸近線為x－y＝0和x＋y＝0。關於此雙曲線的性質，請選 出正確的選項。

(1) 此雙曲線的方程式為 x² r²－ y²

r²＝1或 x² r²－ y²

r²＝－1，其中r為非零實數 (2) 此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長

(3) 若點 ( a , b ) 為此雙曲線在第一象限上一點，則當a＞1000時，| a－b |＜1 (4) 若點 ( a , b )，( a′ , b′ ) 為此雙曲線在第一象限上兩點且a＜a′，則b＜b′

(5) 此雙曲線同時對稱於x軸與y軸

【答 案】(1)(2)(4)(5)

【概念中心】能由雙曲線的兩漸近線推測出原方程式，並判斷曲線上的點的位置關係及對稱 性質。

【命題出處】南一版數學第四冊第四章 二次曲線

【試題解析】(1) ○：由兩漸近線可設雙曲線為 ( x－y ) ( x＋y )＝k

 x²－y²＝k，即為 x² r²－ y²

r²＝±1之型式。

(2) ○：由(1)可得貫軸長＝共軛軸長＝2r。

(3) ×：取a＝2000，r＝2000，則b＝2000 2 滿足 x² r² － y²

r²＝－1，

得 ( a , b ) 為雙曲線上之點，但 | a－b |＞1。

(4) ○：設雙曲線為x²－y²＝k，則



a²－b²＝k ……○1

a′²－b′²＝k……○²  a²－b²＝a′²－b′²， 當a＜a′，則b＜b′。

(5) ○：此雙曲線對稱軸為x軸及y軸，圖形同時對稱此二軸。

故選(1)(2)(4)(5)。

9. 如圖，以M為圓心、 MA ＝8為半徑畫圓， AE 為該 圓的直徑，B、C、D三點皆在圓上，且 AB ＝ BC ＝

CD ＝ DE 。若 MD＝8 ( cos (θ＋90° ) , sin (θ＋90° ) )。

請選出正確的選項。

(1) MA＝8 ( cosθ, sinθ)

(2) MC＝8 ( cos (θ＋45° ) , sin (θ＋45° ) ) (3) ( 內積 ) MA． MA＝8

(4) ( 內積 ) MB． MD＝0

(5) BD＝8 ( cosθ＋cos (θ＋90° ) , sinθ＋sin (θ＋90° ) )

【答 案】(2)(4)

【概念中心】能由r ( 向量長度 )及θ( 方向角 ) 定義出向量，並求得向量的內積及差。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】 MD＝8 ( cos (θ＋90° ) , sin (θ＋90° ) ) 表示MD 與x軸正向夾θ＋90°。

(1) ×： MA 與x軸正向夾 (θ＋90° )－135°＝θ－45°

∴ MA＝8 ( cos (θ－45° ) , sin (θ－45° ) ) (2) ○： MC 與x軸正向夾 (θ＋90° )－45°＝θ＋45°

∴ MC＝8 ( cos (θ＋45° ) , sin (θ＋45° ) ) (3) ×： MA． MA＝8×8×cos 0°＝64。

(4) ○： MB． MD＝8×8×cos 90°＝0。

(5) ×： BD＝ MD－ MB＝8 ( cos (θ＋90° )－cosθ, sin (θ＋90° )－sinθ)。

故選(2)(4)。

10. 某一班共有45人，問卷調查有手機與平板電腦的人數。從統計資料顯示此班有35人有 手機，而有24人有平板電腦。設：

A為同時有手機與平板電腦的人數 B為有手機，但沒有平板電腦的人數 C為沒有手機，但有平板電腦的人數 D為沒有手機，也沒有平板電腦的人數 請選出恆成立的不等式選項。

(1) A＞B (2) A＞C (3) B＞C (4) B＞D (5) C＞D

【答 案】(2)(3)(4)

【概念中心】能求出集合的餘集、交集、補集的個數範圍。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】當有平板的人皆有手機時，A最多有24；

當全班每一個人皆有手機或平板時，

A最少有35＋24－45＝14

∴ 14 ≤ A ≤ 24……○¹

由○1得35－24 ≤ B ≤ 35－14  11 ≤ B ≤ 21。

由○1得24－24 ≤ C ≤ 24－14  0 ≤ C ≤ 10。

當有平板的人皆有手機時，D最多有45－35＝10；

當全班每一個人皆有手機或平板時，D最少為0

∴ 0 ≤ D ≤ 10

由以上討論得A＞C，B＞C，B＞D恆正確，

故選(2)(3)(4)。

第貳部分：選填題

（占 50 分）

說明︰1.第A至J題，將答案畫記在答案卡之「選擇 ( 填 ) 題答案區」所標示的列號 ( 11－37 )。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 如圖，老王在平地點A測得遠方山頂點P的仰角為13°。老王朝著山的方向前進37公 丈後來到點B，再測得山頂點P的仰角為15°。則山高約為_________○¹¹○¹² 公丈。

( 四捨五入至個位數，tan 13°～～0.231，tan 15°～～0.268 )

【答 案】62

【概念中心】能利用銳角三角函數的邊角關係解決三角測量問題。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】設 BO ＝x ( 公丈 )，

則 PO ＝x．tan 15° ≈ 0.268x，

又 AO ＝x＋37 ( 公丈 )

∴ PO ＝( x＋37 )．tan 13°

≈ 0.231 ( x＋37 )

令0.268x＝0.231 ( x＋37 )  x＝ 0.231×37 0.037 ＝231

∴ 山高 PO ＝231×0.268＝61.908 ≈ 62 ( 公丈 )

B. 不透明袋中有3白3紅共6個球，球大小形狀相同，僅顏色相異。甲、乙、丙、丁、戊 5人依甲第一、乙第二、……、戊第五的次序，從袋中各取一球，取後不放回。試問在 甲、乙取出不同色球的條件下，戊取得紅球的機率為

_________

○¹³

○¹⁴ 。（化為最簡分數）

【答 案】 1 2

【概念中心】能利用樹狀圖分析題意，並求出條件機率；或是利用條件機率即是將樣本空間 縮小的概念解題亦可。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】甲、乙取出不同色的情形下，此時袋中必剩下2白2紅，

戊取得紅球的機率是 2

4 ，作樹狀圖如下：

甲紅 ───

3

5 乙白 ───

2

4 戊紅

甲白 ───

3

5 乙紅 ───

2

4 戊紅

所求條件機率p＝

3 6 × 3

5 × 2 4 ×2 3

6 × 3 5 ＋ 3

6 × 3 5

＝ 1 2 。

C. 小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間最多 能種8盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有_________○¹⁵○¹⁶ 種。

【答 案】70

【概念中心】能利用重複組合的觀念解決方程式正整數解的問題。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】設玫瑰、百合、菊花、向日葵各有x，y，z，u盆，

則x＋y＋z＋u ≤ 8，則x，y，z，u為正整數。

○1 x＋y＋z＋u＝4  H⁴4－4＝H⁴0＝C³0＝1。

○² x＋y＋z＋u＝5  H⁴5－4＝H⁴1＝C⁴1＝4。

○3 x＋y＋z＋u＝6  H⁴6－4＝H⁴2＝C⁵2＝10。

○⁴ x＋y＋z＋u＝7  H⁴7－4＝H⁴3＝C⁶3＝20。

○5 x＋y＋z＋u＝8  H⁴8－4＝H⁴4＝C⁷4＝35。

共有1＋4＋10＋20＋35＝70 ( 種 )。

3 6 3 6

D. 平面x－y＋z＝0與三平面x＝2，x－y＝－2，x＋y＝2分別相交所得的三直線可圍成一 個三角形。此三角形之周長化成最簡根式，可表為a b ＋c d ，其中a，b，c，d為 正整數且b＜d，則a＝_________○¹⁷ ，b＝_________○¹⁸ ，c＝_________○¹⁹ ，d＝_________○²⁰ 。

【答 案】6，2，2，6

【概念中心】能解空間中三平面的交點坐標，並求出兩點間的距離。

【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線

【試題解析】

 



x－y＋z＝0 ……○1

x＝2………○² x－y＝－2 ……○³ x＋y＝2 ………○4

解○¹○²○³得A ( 2 , 4 , 2 )，

○1○2○4得B ( 2 , 0 , －2 )，

○1○3○4得C ( 0 , 2 , 2 )

∴ AB ＝ 0²＋4²＋4² ＝4 2 ， BC ＝ 2²＋2²＋4² ＝2 6 ， AC ＝ 2²＋2²＋0² ＝2 2

∴ △ABC周長 AB ＋ BC ＋ CA ＝4 2 ＋2 6 ＋2 2 ＝6 2 ＋2 6 得a＝6，b＝2，c＝2，d＝6。

E. 坐標平面上，直線L1與L2的方程式分別為x＋2y＝0與3x－5y＝0。為了確定平面上某 一定點P的坐標，從L1上的一點Q1偵測得向量 Q1P＝( －7 , 9 )，再從L2上的點Q2偵 測得向量 Q2P＝( －6 , －8 )，則P點的坐標為 ( _________○²¹ , _________○²² )。

【答 案】( 9 , 1 )

【概念中心】能知道直線上的動點可用參數式表達，並利用向量的加減法解題。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】設L1上點Q1 ( －2t , t )，L2上點Q2 ( 5k , 3k )，

而 Q1Q2＝ Q1P－ Q2P ＝( －7 , 9 )－( －6 , －8 )＝( －1 , 17 )，

又 Q1Q2＝ OQ2－ OQ1＝( 5k , 3k )－( －2t , t )＝( 5k＋2t , 3k－t )，

令 5k＋2t＝－1……○¹ 3k－t＝17………○2，

○2×2＋○1得11k＝33  k＝3 ∴ Q2 ( 15 , 9 ) 設P ( x , y )

∵ Q2P＝( －6 , －8 )＝ OP－ OQ2＝( x , y )－( 15 , 9 )

 ( x , y )＝( 9 , 1 )，

故P坐標為 ( 9 , 1 )。

F. 小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金，其年利率爲3％，約定三年期滿一次還清 貸款的本利和。銀行貸款一般以複利 ( 每年複利一次 ) 計息還款，但給小華創業優惠改 以單利計息還款。試問在此優惠下，小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 ___________○²³○²⁴○²⁵○²⁶ 元。

【答 案】8181

【概念中心】知道單利與複利的公式，並計算三年後本利和的差距。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】3000000 ( 1＋3％ )³－3000000 ( 1＋3×3％ )

＝3000000［( 1.03 )³－1.09］

＝3000000 ( 1.092727－1.09 )

＝3000000×0.002727

＝8181 ( 元 )。

G . 某一公司，有A、B、C三個營業據點，開始時各有36位營業員，為了讓營業員了解 各據點業務狀況，所以進行兩次調動。每次調動都是：

將當時A據點營業員中的1／6調到B據點、1／6調到C據點；

將當時B據點營業員中的1／6調到A據點、1／3調到C據點；

將當時C據點營業員中的1／6調到A據點、1／6調到B據點。

則兩次的調動後，C據點有_________○²⁷○²⁸ 位營業員。

【答 案】44

【概念中心】能就題意寫出三階轉移矩陣，並計算矩陣的乘法。

【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣

【試題解析】轉移矩陣P＝

 

 

 

 

4 6

1 6

1 6 1

6 3 6

1 6 1

6 2 6

4 6

A B C

，X0＝







 36 36 36

，

則X1＝PX0＝

 

 

 

 

4 6

1 6

1 6 1

6 3 6

1 6 1

6 2 6

4 6







 36 36 36

＝







 36 30 42

，

X2＝PX1＝

 

 

 

 

4 6

1 6

1 6 1

6 3 6

1 6 1

6 2 6

4 6







 36 30 42

＝







 36 28 44

，

故兩次調動後C據點有44位營業員。

A B C

H . 有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如右圖所示，

其中兩側面的三角形邊長為3，4，5，則此角錐的體積 為______________

○²⁹○³⁰ ○³¹

3 。( 化為最簡根式 )

【答 案】 16 5 3

【概念中心】能將展開圖合併成四角錐，並利用三垂線定理找出高的位置，進而求出四角錐 的體積。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】右圖展開圖組合成一四面體，

且O1，O2，O3，O4重合於四面體之O點，

取 AD 中點M

∵ OM ⊥ MA ， MA ⊥ AB ， OA ⊥ AB 由三垂線定理之推廣可得 OM ⊥平面ABCD

∴ OM 為四面體O-ABCD之高 OM ＝ 3²－2² ＝ 5

∴ 四角錐體積＝ 1

3 ×4²× 5 ＝ 16 5 3

I . 在空間中，一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角θ的

正切值tanθ。若一金字塔 ( 底部為一正方形，四個斜面為等腰

三角形 ) 的每一個斜面的坡度皆為 2

5 ，如圖。則相鄰斜面的夾 角的餘弦函數的絕對值為_________

○³²○³³

○³⁴○³⁵ 。( 化為最簡分數 )

【答 案】 25 29

【概念中心】能利用二面角的定義及餘弦定理計算兩平面的交角；本題也可坐標化之後，利 用空間中兩法向量的內積求夾角。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】設 BC 中點為M，且頂點P在ABCD之投影為O，

令 PO ＝2， OM ＝5

 PM ＝ 29 ，

PB ＝ PM ²＋ BM ² ＝ 29＋25 ＝ 54 。 由A向 BP 作垂線 AE ，垂足為E，

連 CE ，則∠AEC為相鄰二斜面之夾角

∵ △PAB面積＝ 1

2 ×10× 29 ＝ 1

2 × 54 × AE

 AE ＝10 29 54 。 在△AEC中，由餘弦定理得

cos ∠AEC ＝

( 10 29

54 )²＋( 10 29

54 )²－( 10 2 )² 2×10 29

54 ×10 29 54 ＝ 2900＋2900－10800

5800 ＝ －5000

5800 ＝－ 25 29 ， 故所求＝| － 25

29 |＝ 25 29 。

〈另解〉

坐標化，以正方形ABCD中心O為坐標原點，

取 AB 中點M， OM 為x軸正向，

取 BC 中點N， ON 為y軸正向， OP 為z軸正向，

則A ( 5 , －5 , 0 )，B ( 5 , 5 , 0 )，C (－5 , 5 , 0 )，

P ( 0 , 0 , 2 )

 PA ＝( 5 , －5 , －2 )， PB ＝( 5 , 5 , －2 )，

PC ＝(－5 , 5 , －2 )

∵ PA × PB ＝( 20 , 0 , 50 ) // ( 2 , 0 , 5 )

∴ 取平面PAB的法向量n1＝( 2 , 0 , 5 ) 又 PB × PC ＝( 0 , 20 , 50 ) // ( 0 , 2 , 5 )

∴ 取平面PBC的法向量n2＝( 0 , 2 , 5 ) 設 n1與 n2的夾角為θ，

則 cosθ＝ n1．n2

｜n1｜｜n2｜ ＝ ( 2 , 0 , 5 )．( 0 , 2 , 5 ) 29 ‧ 29 ＝ 25

29 。

J . 右圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向 盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉向圓周運 動，汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉 半徑，如圖中的 BC 即是。已知在低速前進時，

圖中A處的輪胎行進方向與 AC 垂直，B處的 輪胎行進方向與 BC 垂直。在圖中，已知軸距 AB 為2.85公尺，方向盤轉到極限時，輪子方 向偏了28度，試問此車的迴轉半徑 BC 為 _________○³⁶.○³⁷ 公尺。( 小數點後第一位以下四捨五 入，sin 28°～～0.4695，cos 28°～～0.8829 )

【答 案】6.1

【概念中心】能利用銳角三角函數的邊角關係解決生活上汽車迴轉半徑的問題。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】∠CBA＝90°－28°＝62°

∴ AB

───BC ＝cos 62°

 BC ＝ AB

────cos 62°＝ AB

────sin 28° ＝ 2.85 0.4695 ＝ 6.0702…

≈ 6.1 ( 公尺 )。

一、考題趨勢：

1. 本份試卷比起前幾年學測而言，雖然難度增加，但由於利用學測成績入學的名額比

例持續增加，甚至指考、學測是否合併的傳聞一直都有，因此這仍是一份可滿足各 方期待、可供鑑別程度的試題。今後，以中等程度命題的趨勢仍是不變，老師們仍 需鼓勵同學們努力地研習數學，要認清沒有甚麼題目一定會考，也沒有哪種題目一 定不會考的，紮紮實實的打好基礎、按部就班的努力復習才是王道。

2. 就99課綱以來的試題而言，筆者依然建議同學們的基本觀念應該多加強 ( 本年度

的線性規劃、指數函數圖形、直線參數式均容易得分)，數據解讀能力還要再提升 ( 串接、並列的新定義、路跑數據的解讀，甚至汽車的迴轉問題等等 )，尤其作圖 能力更不可忽視 ( 有些題目畫出圖來答案已呼之欲出了 )。而對於 99課綱新增的單 元，包括條件機率與貝氏定理、獨立事件、數據分析、線性規劃、矩陣等單元，同 學們復習時仍須留意。

3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆曾提及，並要同學多

加留心注意，「智慧型復習講義」一書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，尤 其本書的範例、演練皆留有空格以利於老師上課講解、同學演練，並適時比較觀念 差異，參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起題目來更有信心、更容易進 入復習狀況。期望各位先進可參考並不吝加以選用、指教。

二、結語：

對高三同學而言，今年的數學可能讓身在考場的同學們緊張程度更甚以往！每個人

對這份試題的感受皆不相同，程度好、本想靠數學贏分的同學會有一些期待，但也有些 容易緊張的同學們滿腦子只感受到怎麼計算會這麼複雜，題目這麼長啊！從來，天下間 沒有一份試卷可以滿足每個程度同學的需求；所以，今後同學們仍應秉持著再努力、多 計算、讓觀念更清楚的原則學習數學。

還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！

結 論