數學的祕密生命 A Mathematical Medley
Fifty Easy Pieces on Mathematics
心得報告
班級 :118 座號 :41
姓名 : 賴念軒
前言 :
<數學的祕密生命>一共分為九大章，每章有若干則 1.為數學而數學 2.數學的日常應用 3.性情中人 4.空中奇航 5.頭腦體操 6.遊戲、禮物與娛 樂 7.選擇與切割 8.錢，以及賺錢 9.跨學科集錦 以及九大章以外的一則
<麵包師傅的一打=13 ?> 。
作者將艱深的數學名詞以及數學觀點用以幽默、淺顯的筆調向讀者一一解惑，
甚至融入日
常的人事物，
讓人讀來不僅輕鬆、享受，更是收穫滿行囊。
接著，簡述此篇心得的架構，共分為五個主題— 1.前言 2.作者介紹 3.各章心得感想 4.結語 5.參考資料 如下圖:
希望此圖能協助各位更了解此篇報告，此外由於這是我的第一篇長篇報告，基 本的架構參考於學長，而內容如果有謬誤及需改進之處，還請不吝賜教，謝謝!
作者簡介 :
喬治．史皮婁(George G. Szpiro)
從數學家轉行的記者，蘇黎世聯邦理工學院數 學碩士、史丹福大學管理碩士、希伯來大學數 學經濟學博士；曾任教於華頓商學院、希伯來 大學及蘇黎世大學。過去二十年間，擔任瑞士 報紙《新蘇黎世報》以色列特派員。處女作《刻 卜勒的猜想》廣受讚譽，另著有《數字的祕密 生命》。
喬治．史皮婁
《刻卜勒的猜想》 《數字的祕密生命》
各章心得感想 :
本書共有50篇故事，我將從每章擷取較有趣的議題，或是一些新奇的問題、
猜想，將這些部分加以探討，並使用網路資訊輔佐論證，與諸位分享。
第一章 << 為數學而數學 >>
在這章將討論一個問題，街道著色問題(street-coloring problem)。假設有一位 駕駛迷路了，而且看不懂路標，然後繼續假設所有街道都是用兩種顏色標示，
那是否存在著一種指路方式，例:走綠色街道到下個交叉路口，再走綠色街道到 下個交叉路口，然後再走藍色街道到下條交叉路口，接著如此綠–綠–藍循環，
無論駕駛原先身在何處，依循這樣循環都可抵達最終目的地，這種假設存在嗎?
1970年，兩位數學家猜想，這些由許多節點及連結這些節點的許多邊所構 成的網絡圖形，只要所有會回到相同節點的迴圈的邊數，互相互質 (例:有個迴 圈包含的邊數是3，則其它的迴圈邊數不可是6、9、12…)，就可以使用上述方 式著色。到2008年，這項猜想已被證實了!
右圖希望能幫助各位理解道路著色問題，但 是此圖並不完全符合上述的論點，因為它的連 接節點的邊，有了箭頭固定行徑方向，還有已 定的步驟數，故上述互質的條件在此並不符合，
因無其他更好圖片，只好敬請原諒。
在右圖中無論選擇哪一點開始，只要沿著
｢藍-紅-紅｣的循環9次，都會走到黃色的頂點，
而相同的如果依循 藍｢ -藍-紅｣的步驟9次，就 會走到綠色頂點。
數學家證明了存在著一種著色方式可以讓駕駛通過網絡的正確路徑，這只是
第一步，下一步是要找出用哪種顏色為哪些邊著色，許多數學家正熱烈研究，
而據說已有一套計算機演算法能計算出網絡的適當著色方法，也許在未來，道 路著色是一件稀鬆平常的事，駕駛再也不必為了問路找路費心，只要一句「紅–
藍–藍」，尋找目的地便易如反掌。
道路著色這類問題也許能成為便利人們日常生活的一項重要成果 !
第二章 << 數學的日常應用 >>
本章介紹到一種弔詭的數字分布—班佛分布，我們一般認為日常生活中的數 據，比如城市人口、股票價值、國民生產毛額等…，其首位數字1~9的出現機 率是平均的，但其實並非如此，班佛深入觀察並蒐集各項數據，每次都發現約 30％是1字頭、18％是2字頭、12％是3字頭如此等等，為什麼是這樣分布的 呢? 以下舉了一個例子說明。
假設有一間甲公司，它的平均營業額通常一年增長幾個百分點，接著隨便挑 一個比率，比如甲公司平均營業額平均每年增長7%，照這樣的情形，它大約 每10 年翻一倍，假設今年甲公司的平均營業額是10000，在經過以1作為首 位數字的10 年後，終於達到了20000，又過了10年，但在這10年，它翻倍 至40000，而不是30000。因此，這10年中，大約有一半時間是以2開頭，
一半以3開頭。又過了10年，又翻了一倍，變成80000。現在僅僅在這10 年 中就以4、5、6 和7 作為首位數字。最後，它達到了100000，又會有10 年的 時間以1 開頭。
由此假設可得知，如果隨機的挑選數據，以1為首位數字的平均營業額，出
現機率是較高的，並非以1~9平均分布，而且符合班佛分布。
右圖是維基百科的圖片，班佛分布的 曲線(紅線)，與自然生活中的數據(綠 線)是相去不遠的，證實了班佛分布。當 這種數字分布的現象提升為數學定律，
專家們便開始尋找應用的方法，例:一 位教授詳細檢查17萬筆納稅申報的首 位數字，發現一般都成班佛分布，而且 不符合的情況可能是資料有誤甚至造假，
因此美國國稅局甚至可以使用班佛分布 來揪出稅務詐欺!
以數學的方式來說，這些現實數據 的首位數字都是呈對數分布的，而且 還有一項公式可算出首位數d的頻率f
，f=log(1+1/d)，換算百分比後如右圖:
第三章 << 性情中人 >>
這一章要來介紹一位當代最耀眼的數學家之 一—斯梅爾(Stephen Smale)，他是美國 數學家 ， 現在任職於芝加哥豐田 理工學 院 ，因證出五維或 以上的龐加萊猜想而成名。除了1966 年 獲得費 爾茲獎，也因反越戰抗議行動和共同發起1960 年代末的雅痞運動而聞名，並且在2007 年 獲得 沃爾夫獎。
本章收錄了斯梅爾教授出席沃爾夫獎的頒獎典禮時，與一位採訪記者的問答，
我挑出了一些發人省思的問題與教授深奧智慧的回答，加以討論並發表感想。
問1:斯梅爾教授，為什麼數學對您這麼重要? 答:或許我與其他科學家不同，
我認為數學只是要學習的一項重要事物，所以數學並不是生活中唯一激勵我的 事物，一點也不是，但我的確領會了數學中的美。
感想:教授的回答有如暮鼓晨鐘般在我耳邊迴響，在學習數學的過程中，我曾 經迷失在堆積如山的參考書裡，不斷練習著一遍又一遍的題目，但原來 數學只｢ 是一項要學習的重要事物｣。確實，數學很重要卻並非唯一，我該用心體會數學 帶給我的啟發和它的美，而非數字的重複演練。這一番話，讓我開始懂得用數學 的角度，欣賞大自然中的一切。
問2:您當時相信龐加萊猜想是正確的嗎? 答:喔，不，一點也不。我甚至找到
一個反例，不過行不通，我發現我有個錯誤。每當我求解數學問題時，都研究問 題兩面，因為它們會互相補強，如果先入為主的考量一面，不會得到這麼好的 觀點。
感想:我十分贊同教授的觀點，單方面主觀的認知往往蒙蔽事實的真相，透過 一正一反的論證、多方的思考角度才是上上之策。就數學而論，教授便是恰當不 過的例子，若非如此提出懷疑，再以反例嘗試辯證，我想龐加萊猜想是解不開 的，而亡鈇意鄰的典故也正是先入為主想法的最佳寫照。經過這一番思考，我充 分了解了客觀與嚴謹的重要。
問3:為什麼數學如此有效的解釋現象，相對於，比方說文字描述? 答:數學是
一種形式化的思考方式。數學可以用遠比文學精確的方式表述關係，包括量值，
而且甚至模糊性，也可以用機率納入數學當中。數學之所以如此有效用，是因為 相較於沒有數學，我們可以利用數學更輕易找到普適定律，透過形式化和符號 萃取出主要的概念。
感想:一語道中了我為什麼喜歡數學勝於文學的原因，在數學中一就是一二就 是二，沒有模糊地帶。也誠如教授所說的，我們可以利用數學更輕易找到普適定 律，比如在第二章提及的班佛分布，就能使用數學表述出各個首位數出現的頻 率，一段形式化的數字與符號就能表達普遍概念，這確實是數學的魅力之所在 啊!
第四章 << 空中奇航 >>
相信大家都有過塞車的經驗，人人都不喜歡塞車，而通常我們認為只要再開 一條道路就能解決了，但事實上，這並不永遠是對的，開通新的連結道路其實 可能並未如預期的疏通交通阻塞。德國數學家柏拉斯首先描述這種現象，並發表 文章，從此以後，舉凡街道交通、網路和一般而言任何形式的網絡中若出現上述 的矛盾情況，便名為｢柏拉斯悖論｣。接下來我將深入討論此種悖論，用圖片模擬 真實情況，再用數字驗算，看看結果是否符合柏拉斯悖論。
首先得開始假設，現在有4000名遊客想從Start到End(以下簡稱S和E)，
此時A到B的路(虛線)還未開通，遊客可自行選擇S–A–E或S–B–E兩條路，
S–A是條公路，遊客要自行開車，考慮阻塞情況，需要的時間t等於遊客數T 除以100，S–B是另一條公路，但遊客是搭乘公車，保證45分鐘會到。接下來
看到A–E，遊客是搭乘公車，也是45分鐘到達，換到B–E，遊客自行開車，
需要的時間t等於遊客數T除以100。統整，不管遊客選擇S–A–E或S–B–E，
所需時間皆是T/100+45，因此人數應是各半，則全數遊客抵達目的地的時間 是2000/100+45=65。結論，新增A到B的路以前，所需時間是65分鐘。
接著，A到B的路開通了，而且假設從A到B所需時間約0分鐘，現在遊客
有了第三條路S–A–B–E。遊客們想著，其實到了A也幾乎等於到達B，再假設 最壞情況，4000遊客全擠在S–A的路，所需時間也是4000/100=40分鐘，
但S–B卻要45分鐘，因此將沒人選擇S–B的路。當全數遊客到達A(等同於
B)，又開始思考，同樣的，B–E的路在最壞情況也只要4000/100=40分鐘，
相對於A–E需要45分鐘，遊客將全數選擇B–E的路。結果出爐，在開通了A
到B的路的情況下，4000名遊客都選擇了S–A–B–E，而全數遊客抵達目的地 所需的時間會是4000/100+4000/100=80分鐘。
模擬完畢，結果確實符合｢柏拉斯悖論｣，由原先的65分鐘增加為80分鐘，
原來多開通連結道路可能並不會解決交通阻塞，反而延長了時間。透過這次模擬 我想柏拉斯悖論會發生的原因大概是每個遊客都會以自身最佳利益作為選擇，
殊不知反而耽誤了寶貴時間，也許當每個人不再以眼前的自身利益考量，而是 擁有遠見和同理心，柏拉斯悖論便不會發生了吧。
第五章 << 頭腦體操 >>
狂轟猛炸的資訊是現代人沉重的負擔，因此如何確切找出人類資訊處理能力 的極限便是這章我要討論的主題。一群澳洲心理學家進行一項研究，他們想要找 出，在任何給定時間，人類心智可以處理多少資訊和多少變項?這項研究召集到 三十位參加者，參加者的工作是回
答關於直條圖上所呈現情況的問題。
最簡單的範例之一是，人們比較喜 歡新鮮蛋糕勝於冷凍蛋糕，而對香 草蛋糕的喜愛程度大於還是小於草 莓蛋糕? 這個問題只包含2個變項 (新鮮vs.冷凍、香草vs.草莓)，結 果一如預期，所有受測者看過右圖 都能做出正確回答。
為了使問題困難一些，研究者再 增加另一個變項，即蛋糕的糖霜，
現在有了3個變項(新鮮vs.冷凍、香草vs.草莓、糖霜vs.無糖霜)如下圖。結果還 是很好，受測者正確回答近95％的問題。
魔方陣 (n=3)
富蘭克林方陣
接下來，研究者再添加脂肪含量這一個變項，此時已經達到4個變項了，而
每當增加一個變項，長條數便會加倍(由上面兩圖可看出)，所以4個變項會有 16個長條圖形。結果證明，這次受測者只能正確回答不到三分之二的題目。
在最後一個問題中，變項增加到5個，也就是有32個長條圖形，受測者只答
對約一半的問題，這約略相當於受測者隨機亂猜獲得的成功率。
最後研究者得到的結論是，人類解讀量化數據的能力，在一個問題中涉及四 個變項時達到極限。根據這項結論還發現，各領域佼佼者所擁有的特殊才能，顯 然包含將複雜問題細分成小部分的能力，而每個小部分問題都沒有超過四個變 項!
第六章 << 遊戲、禮物與娛樂 >>
相信各位一定都玩過數獨，而回溯到1770年代，美國制憲元勳之一的富蘭克
林便發現過一種8x8的方陣(如下圖)，有點類似今天的數獨，稱之為富蘭克林 方陣，這章我就要介紹富蘭克林方陣。
和數獨相同的是，富蘭克林方陣所有 行和列加總的和相同，而且=260，但 是對角線的合並不等於260，因此它 並不是魔方陣(必須要每行、列和對角線 的和都相等，參見下圖範例) ，但是它 有個奇妙之處，請看圖片中上色表格，
55、6、5、51、46、28、27、42，這是一 條彎曲對角線(16、63、57…也是一條)，
神奇的是每個彎曲對角線的總和確實也 是260。
其實，更令人驚奇的還在後頭，再 仔細看一下，又會發現每半行、每半列 還有甚至是任意選取的2x2方陣中，數 字總和都是130，實在是使我不禁佩服 起富蘭克林了。
大致介紹完富蘭克林方陣後，我想再 繼續研究剛剛提及的魔方陣，經過上網一 番搜尋後，我找到一項公式，可以求出n 階魔方陣(比如3x3的魔方陣，n便是3) 的每行、每列和 對角線的
數字 和M，
如下
魔方陣(n=4)
用右圖n=3的魔方陣驗算一下，3(9+1)=30
，30/2=15，M=15和圖片符合沒錯，再看
右圖4階的魔方陣，4(16+1)=68，68/2=34，我們找第一行來看是否正確，
1+12+8+13=34，
驗證沒錯。
其實還有方法可以構造魔方陣，並非只算 出數字的和，但實在超過我的理解能力，故 無法與各位討論，深感抱歉。但是透過深入
摸索這兩種方陣，我深刻感受到方陣的奧妙和數字間存在的那種神秘規律，雖 然只是學到皮毛，卻也收穫匪淺。
第七章 << 選擇與切割 >>
接下來要討論這章提到的一項問題—如何公平分配蛋糕? 每當看到一群小孩子 在爭論著:｢你的那塊比我大啦!｣ ｢、 我這塊太小了，不公平。」，總是讓人莞爾一 笑，但這項看似小孩子淘氣的問題其實暗藏著大大的數學玄機。
到底要如何分配，才能讓每個參與者都滿意自己分配到的資源，而且不會忌 妒他人，達到真正的公平呢?在只有兩個參與者的情況下，方法很簡單，假設有 甲和乙兩人要分一塊蛋糕，可能的情況是1.甲切乙選 2.乙切甲選，在兩種情況 中負責切的人都會認為自己將蛋糕分成公平的兩塊，這時再由選的人選取自己 認為較滿意的一塊，如此選蛋糕的人也不會有異議，兩人都會滿意自己所得到 的。
但是如果參與者是三個人呢?塞爾弗里奇和康威兩位教授在1962年發現了有
三個參與者如何公平分配的方法。假設有甲、乙和丙三人要分蛋糕，首先甲把蛋 糕分為他認為公平的三等份，但乙不這麼認為，他把他認為的第一大塊切掉一 小部分直到他認為和第二大塊相同了，現在對於乙來說這兩塊都是他可以接受 的。
最後丙先選擇，他選了他最滿意的一塊，再來換乙，丙可能拿走了他原先認可 的兩塊其中之一(或者是兩塊之外的另一塊，但那對乙便沒有影響)，但是他仍 可選擇剩餘的那塊，如此乙也拿到他滿意的一塊，而甲認為他一開始就做了公 平的分配，任何一塊對他來說都是一樣的，即便是剩餘的最後一塊他也可以接 受，結果是三人都滿意自己分到的。但是這個方法產生一個問題，乙切除掉的那 塊怎麼辦，只好照原本方法繼續分配，原則上，這個程序永遠不會結束，直到 分配到蛋糕屑為止(但我想蛋糕屑也沒什麼好計較的吧) 。用下面的圖片模擬一遍
原第一大塊
第二大塊 1.丙 2.乙
接著來談公平分配的應用，其實一有件著名的歷史事件便和公平分配有關，
在二次世界大戰後，英、法、蘇聯和美國瓜分德國，他們就發現很難獲得讓人滿 意又不嫉妒的方案。結果只有把柏林從俄國分得的區域移除，也就是說柏林成為 那塊被切下來的蛋糕，再把它依次分為四區，四國才能達成協
議。
塞爾弗里奇和康威兩位教授還有為他們發現的公平分配申請 專利，這項專利還可適用於處理離婚資產分配的問題，如 果對此有興趣，可以上網看看美國專利局網站上的第 5983205號專利。
第八章 << 錢，以及賺錢 >>
既然主題是錢，我們就用數學的角度來討論經濟上的事，其實有許多專家仍 忙著尋找最近金融市場崩潰的原因。有一些專家堅持華爾街之所以會如此癱瘓，
是因為華人金融專家李祥林導出一個數學公式，名為高斯關聯結構函數，這項 公式讓銀行家和投資者能前所未見得更容易、更精確建立複雜的風險模型。主要 因為這公式簡單，最後從投資人到銀行全部採信，結果不幸的是，金融界在金 融危機爆發才意識到，這個公式無法提供極端情況下的正確結果，卻已為時已 晚。
高斯關聯結構函數(gaussian copula function)所建構的風險模型圖(如右圖) ， 給各位一個參考。接著先來敘述金融危機 到底怎麼發生的再繼續說明為何李祥林的 公式會失靈呢? 金融危機的開端是未嚴格 審查數百萬美國屋主的信用，就批准他們 的房貸，但他們卻無力付款，房貸公司在 壓力下首先被壓垮，緊接其後的是大型金
融機構和保險公司無可避免的破產。為什麼高斯關聯結構函數沒有預測到呢?原 因是這個公式需要一個參數，參數代表的是不同證券價值的對比變動程度，李 祥林使用過去的歷史數據做為參數，而且還是經濟繁榮期的數據，在危機爆發 時用過去繁榮期的數據可想而知是沒有用的，最後的結果任何人也無法挽回 了…
右圖是用來描述金融市場的價格波 動圖，在市場變動不大的時候，價格 的變動符合中間的鐘形圖(normal)
，但若是發生像金融危機這樣的極端 事件，就會有厚尾(fat tail)的分布，
3.甲
以上提供各位對金融市場的一個認識。
在金融危機發生後，有某部分的人就把責任推給李祥林的公式，然而，因為 錯誤使用而指責一個公式是對的嗎?我就不大認同，我看到有一位教授為李祥林 辯護:｢這就像因為發生死亡事故而責怪牛頓運動定律一樣荒謬可笑｣，我認為他 真的說得太好了，整件事情的真正起因是沒有仔細審查買主信用，是人為的問 題，並非一個公式所造成的。
我覺得，錯了再努力彌補，也能達到完美，數學理論也有很多都是經過人們 發現錯誤，再想出辦法改正，最後不也廣為運用。說不定以後高斯關聯結構函數 也被改良，讓參數能夠精確到幾乎零誤差，做出完美的風險模型，那是否連突 發的經濟危機也能適時適當的處理了。我堅信，只有奮鬥不懈的努力，才能達成 最後閃爍亮眼的成果。
第九章 << 跨學科集錦 >>
這一章有個提及公民的數學機率問題，值得深思，挑選出來向各位介紹。根據 無罪推定原則，任何犯罪必須證明對被告超過合理懷疑才能夠定罪，但是盲目 遵循著古老法則，常意味著罪犯經常逍遙法外。問題是，被告的犯罪機率必須高 於多少，才能確定超越合理懷疑?耶路撒冷合理性與互動決策理論中心的兩位教 授認為，數學的機率論有助於查明被告是否有罪。
現在假設被告的犯罪機率必須大於95％才能確定定罪，但這也表示為了避免
將一個清白的人定罪，而放過其他19個可能犯案的人逃過法網。再繼續討論別 種情況，假設小明先生被指控犯下兩個罪行，依據現有證據，小明犯下兩個罪 行的機率各是90％，根據法律，他在兩案中都應該判無罪(必須大於95％) ， 但是換個角度思考，小明完全清白，任一樣罪行都沒有犯的機率卻是只有僅僅 1％(0.1x0.1=0.01) ，這表示他有99％的機率犯下至少一件罪行。因此，一 味地遵循固有原則顯然是會有疏失的。
上述的方法稱為｢總和機率原則 ，依照先前的假設看起來，這個新方法似乎｣ 比舊方法要好，然而，總和機率原則也有它相反的一面，它有可能會有利於被 告。遵循先前的假設，被告的犯罪機率必須大於95％才能確定定罪，現在有個 小白先生被指控犯下兩個罪行，任一個罪行他犯下的機率都是95％，如果依據 原本的方法，小白會被判兩個罪行都有罪，但假如是使用總和機率原則，法官 會開始思考，小白的兩個罪行都確實有犯的機率只有約90％(0.95x0.95) ， 這並不足以確定小白真的有犯下兩個罪行，因此其中一件會被判無罪。從原本的 兩個都有罪變成一個有罪、一個無罪，顯然總和機率原則並不是完美的。
我們還可以想到總和機率原則有另一個缺點，如果可能違反的法律夠多，幾 乎每個人都會觸法。假設有一百條交通法規，駕駛違反其中一條的機率是一年 3％，這下可好了，依照推算，一年後駕駛的駕照肯定被吊銷了，因為他完全 沒有違反任何一條交通法規只有不到5％(0.97的一百次方)。為了避免這種誤
判，總和機率原則不應該使用在不明確的指控。
我 想這是一個超級大難題，每個方法都有優缺點，似乎沒 有十全十美的解答，最實際的解決方法，可能還是得依靠法官的判決或是檢察 官找出的決定性證據，希望社會上能出現如同包公轉世的的法官，那麼就不必 費神於這些數學的機率理論，也能夠嚴格審判各個案件，達到司法上真正的公 正。
結語 :
這一次的報告對我而言無疑是一個全新的挑戰，花了蠻長的一段時間和一番 心血去完成它，每一章內容的構思是我認為最困難的部分，其次是內容的輔佐 資料(已經列在下方) ，但是儘管過程辛苦，完成後的成就感是無法言喻的，希 望我在報告中分享的各種與數學有關的人、事、物，能夠帶給各位一些新奇的知 識，也希望各位可以提出我錯誤的地方並給我一些指點，謝謝!
參考資料 :
http://en.wikipedia.org/wiki/Road_coloring_problem (街道著色問題) http://www.planetseed.com/zh-hans/mathpuzzles/youguanbanfode-benford- fazedegengduoxinxi (班佛分布的證明)
http://en.wikipedia.org/wiki/Benford's_law (班佛分布的維基百科解說) http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%96%AF%E8%92%82%E8%8A%AC
%C2%B7%E6%96%AF%E6%A2%85%E7%88%BE (斯梅爾教授簡介及圖片) http://en.wikipedia.org/wiki/Braess's_paradox (柏拉斯悖論)
http://www.futilitycloset.com/2010/04/22/the-franklin-square/ (富蘭克林方陣) http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_Square (魔方陣)
http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_division (公平分配)
http://www.calgarybusinessblog.com/articles/the-gaussian-copula-and-wal.html (高斯結構函數)
http://www.theoryandreality.com/resources/rm_faq1.html (鐘形圖和厚尾)
