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(1)

1 第

一章复数与复变函数

§1.5 复变函数

§1.5 复变函数

一、基本概念二、图形表示三、极限

四、连续

(2)

2 第

§1.5 复变函数

一、基本概念

在以后的讨论中， D 常常是一个平面区域，称之为定义域。

按照一定法则，有确定的复数 w 与它对应，

一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。

. ) (z f w  上定义一个复变函数，记作

定义设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点，z

对每个有唯一的 w 与它对应

；

, D z  单值函数

. )

(z z² f

w  

比如

多值函数对每个有多个z  D, w 与它对应；

3 z ,

w  w  Arg z . 比如

则称在 D

(3)

3 第

§1.5 复变函数

一、基本概念

一个复变函数对应于两个二元实变函数。

分析则可以写成^w ^ ^f ⁽^z⁾ )

(x i y f

v i u

w    

设 ^z ^ ^x ^ ⁱ ^y^, ^w ^ ^u ^ ⁱ^v ^,

, ) , ( )

,

(x y i v x y

u 



其中，与为实值二元函数。^u⁽^x^, ^y⁾ ^v⁽^x^, ^y⁾ , ) , (x y u

u 

. ) , (x y v

v  分开上式的实部与虚部得到





(4)

4 第

§1.5 复变函数

, ) 2

( )

1

(x²  y²   i xy

 分开实部与虚部即得

2  1

 z

代入得w

解记 ^z ^ ^x ^ ⁱ ^y^, ^w ^ ^u ^ ⁱ^v ^,

1 )

(  ² 



 iv x i y u

P21 例 1.13

(5)

5 第

§1.5 复变函数

 ^G

二、图形表示

C

映射复变函数在几何上被看作是把 z 平面上的一个

) (z f w 

z 平面 w ^平面

点集变到 w 平面上的一个点集的映射 ( 或者变换 ) 。

S S^*

其中，点集称为像，点集称为原像。^S^* ^S 函数、映射以及变换可视为同一个概念。

( 分析 ) ( 几何 ) ( 代数 )

D w  f (z)

z

x y

w

u v

(6)

6 第

§1.5 复变函数

二、图形表示

反函数与逆映射

双方单值与一一映射

为 w 平面上的点集 G ，

设函数的定义域为 z 平面上的点集 D ，值域

) (z f w 

的一个 ( 或几个 ) 点 z ，

一个函数 ^z ^ ^~^f ⁽^w⁾^, 它称为函数 ^w ^ ^f ⁽^z⁾ 的反函数，也称为映射的逆映射。^w ^ ^f ⁽^z⁾

若映射与它的逆映射都是单值的，

) (z f

w  z  ~f (w)

则称映射是双方单值的或者一一映射。^w ^ ^f ⁽^z⁾

则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 按照函数的定义，在中 G 上就确定了

(7)

7 第

§1.5 复变函数

解 (1) 点对应的像 ( 点 ) 为

i

z 2

1 2

1 

 .

2 1 i w 

(2) 区域 D 可改写为：

, } 2 / arg

0 , 1

|

| 0 :

{z z z π

D     

令 z  r

e

ⁱ^ , 则 w  z²  r²

e

ⁱ²^ , 可得区域 D 的像 ( 区域 )G 满足 0  |w|  1, 0  arg w  π,

即 G  {w :Im w  0 |,w| 1}.

P22

(8)

8 第

§1.5 复变函数

函数对应于两个二元实变函数

例 w  z² u  x² y², v  2x y, 因此，它把 z 平面上的两族双曲线x²  y²  c₁ , 2x y  c₂ , 分别映射成 w 平面上的两族平行直线u  c₁ , v  c₂ .

x y

1 -1

-1 1

-6 -10 -8 -4-2 462 8 10 -8 -10

-4-6 -2

u v

10

-10 10

-10 42

86 10

0

c₁

c₂

0

(9)

9 第

§1.5 复变函数

三、极限

定义设函数在的去心邻域内有定义 ,

) (z f

w  z₀ 0 |z  z₀ |  若存在复数 A  ,   0,   0, 使得

当时，0  |z  z₀ |   有 | f (z) A|  ,

记作 A

z

z f

z 

 ( ) lim

0 或 f ⁽z⁾  A ⁽z  z0⁾^.

注 (1) 函数在点可以无定义；^f ⁽^z⁾ ^z⁰ (2) ^z 趋向于的方式是任意的。^z⁰

则称 A 为函数当 z 趋向于 z₀ 时的极限，

) (z f w 

P23 定义

1.1

(10)

10 第

§1.5 复变函数

x y

z₀

 几何意义

三、极限

它的像点就落在^f ⁽^z⁾ A 的预先给定的 __邻域内。

u v

 A

当变点一旦进入的充分小的z z₀ _邻域时 , f(z) z

(11)

11 第

§1.5 复变函数

性质如果 ^lim ⁽ ⁾ ^, ^lim ⁽ ⁾ ^, 则

0 0

B z

g A

z

f z z

z

z  



三、极限

(12)

12 第

§1.5 复变函数

定理

三、极限

设 ^f ⁽^z⁾ ^ û⁽^x^, ^y⁾ ^ ⁱ ^v⁽^x^, ^y⁾^, Â ^ û₀ ^ ⁱ ^v₀ ^, ^z₀ ^ ^x₀ ^ ⁱ ^y₀ ^,

证明

,

|

| ,

|

|  ₀    ₀  

 u u v v

. )

, ( lim ,

) , (

lim ₀ ₀

0 0 0

0

v y

x v u

y x u

y

y x

x  





如果 ^lim ⁽ ⁾ ^, 则 ^ ^ ⁰^, ^ ^ ⁰^,

0

A z

z f

z 



当 0  |z  z₀ |  (x  x₀)²  ( y  y₀)²   时，

, )

( )

(

| )

(

| f z  A  u  u₀ ²  v  v₀ ²  

. )

, ( lim ,

) , (

lim ₀ ₀

0 0 0

0

v y

x v u

y x u

y

y x

x  



则 ^f ^z ^A

z

z 

 ( ) lim

0



必要性 “ ”



P23 定理

1.1

( 跳过 ?)

(13)

13 第

§1.5 复变函数

证明充分性 “ ”



则 ^ ^ ⁰^, ^ ^ ⁰^, 当时，











 ( ₀)² ( ₀)²

0 x x y y

,

|

| ,

|

|u  u₀   v  v₀  

如果 lim ( , ) ₀, lim ( , ) ₀,

0 0 0

0

v y

x v u

y x u

y

y x

x  



. )

( lim

0

A z

z f

z 

 

, 2 )

( )

(

| )

(

|    ₀ ²   ₀ ²  

 f z A u u v v 定理设

三、极限

, ) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f   A  u₀  i v₀ , z₀  x₀  i y₀ , . )

, ( lim ,

) , (

lim ₀ ₀

0 0 0

0

v y

x v u

y x u

y

y x

x  



则 ^f ^z ^A

z

z 

 ( ) lim

0



(14)

14 第

§1.5 复变函数

三、极限

关于含的极限作如下规定：



 

 ( ) lim f z

z f

(

¹z

)

. 0

lim0 

z



1 (3)

所关心的两个问题：

(1) 如何证明极限存在？

(2) 如何证明极限不存在？选择不同的路径进行攻击。

放大技巧

。

)|

|(

| )

(

| f z  A  g z  z₀ A

z

z f 



 ( )

lim



(1) lim

( )

;

0 f A

z 



1z



 ( )  lim

0

z

z f

z



(2) lim 0;

0

z 

z f (1z)

(15)

15 第

§1.5 复变函数

x y

讨论函数在的极限。

例 f (z)  ^zz z  0

 ) (z

f ₂

|

|z

z 2  x²  y²  i 2xy ,

2

2 y

x  ,

) ,

(x y 

u ₂ ₂

y x 

2

2 y

x 

当时，y  0, x  0 u(x, y)  1, 当时

，

0 ,

0 

 y

x u(x, y)  1, 因此极限不存在。

解方法一

P24 例 1.15

(16)

16 第

§1.5 复变函数



l

解

当时

，

0 ,

0 

 x

y f (z)  1,

当时，x  0, y  0 f (z)  1, 因此极限不存在。

方法二

, )

(z 

f x  i y y i x 

x y

方法三

沿着射线 l_ : z  r

e

^i , r  0, ,

) (

lim ⁽ ² ⁾

0

e

^







  ⁱ

z l

z f z 与有关，因此极限不存在。 讨论函数在的极限。

例 f (z)  ^zz z  0

x y

(17)

17 第

§1.5 复变函数

四、连续

定义 ^lim ⁽ ⁾ ⁽ 0⁾^, 则称在点连续。

0

z f z

z f

z 

若  ^f ⁽^z⁾ z₀

若在区域 D 内处处连续，则称在 D 内连续。

) (z

f f (z)

注 (1) 连续的三个要素：^f ⁽^z⁰⁾ 存在；^lim ⁽ ⁾

0

z

z f

z 存在；相等。

(2) 连续的等价表示：

) ( )

(

lim ₀

0

z f z

z f

z 

 lim | | 0.

0

|

|  

   w 0 z

lim0 

   w

z

其中，^^z ^ ^z ^ ^z₀ ^, ^^w ^ ^f ⁽^z ^ ^z₀⁾ ^ ^f ⁽^z₀⁾^.

(3) 一旦知道函数连续，反过来可以用来求函数的极限。

通常说：当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。

P24 定义

1.2

(18)

18 第

§1.5 复变函数

性质

四、连续

(1) 在连续的两个函数与的和、差、

积、商 ( 分母在不为零 ) 在处连续。

z₀ f (z) g(z)

z₀ z₀

(2) 如果函数在处连续，函数在连续，则函数在处连续

。

) (z

 g



z₀

) ( f w  )

( ₀

0  g z

 w  f _[g₍ ₎_] z₀

( 由基本初等函数的连续性可得初等函数的连续性 ) (3) 如果函数在有界闭区域^f ⁽^z⁾ D 上连续，则

P26

(19)

19 第

§1.5 复变函数

证 ( 略 )

z z

f ( )  arg

例证明在复平面上除去原点

和负实轴的区域上连续。

讨论函数的连续性

。

|2

| )

(z z

f

w  

例

|2

|

2 z  z  z

 _ ₀_, ( 当时z  0 ) 故函数处处连续。w  f (z)  |z|²

解 w  |z|² z  z ,

| )

( ) (

|

|w  z  z z  z  z  z

|

|z  z  z z  z z



y

x

 z₀ 

 π

 π

P25 例 1.16

(20)

20 第

§1.5 复变函数

证明 ( 略 )

例如函数在复平面内除原点外

) (

ln )

(z x² y² i x² y²

f    

是处处连续的。

因为除原点外是处处连续而是处处连续的的，

。

) (

ln )

,

(x y x² y²

u  

2

) 2

,

(x y x y

v  

P25 定理

1.2

四、连续

(21)

21 第

§1.5 复变函数

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§1.5 复变函数

一、基本概念 二、图形表示 三、极限

四、连续

一、基本概念

一、基本概念

二、图形表示

二、图形表示

e

e

三、极限

三、极限

三、极限

三、极限







三、极限



三、极限

(

)





( )



e

e

四、连续

四、连续

四、连续

轻松一下吧 ……

一、基本概念二、图形表示三、极限