第三章 研究方法
第二節 一因子模型的建構方法
本文中模型主要的想法為利用縮減式模型或結構式模型求出的違約機 率會相同。因此本文以違約機率做橋樑，以二分法(bisection method)的方式 找出縮減式模型中違約機率所隱含的違約門檻。
本文以三期的樹狀結構作說明。首先會先利用第二章所提到的縮減式模 型找出三期的違約機率λi i=1,2,3。在一因子模型裡，我們假設利率是固定的 因此我們先改寫(2.3.3)(2.3.4)式，來描述利率固定的情況。
即
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曾右仲 (2009)提出chamber (2007)所求的違約機率可改寫成指數分配 (exponential distribution)的違約強度(default intensity)，因此我們可以利用指 數分配的累積機率函數重新改寫違約機率λ*i=1-e-λiΔt，接著建構出一顆三期
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A
B
C
E
F D
λ*1 λ*2
t=0 t=Δt t=2Δt
λ*1=1-e-λiΔt Ei=Si×NS EA
EB
EC
EE
ED
EF
圖3.2 一因子模型建構方法(一)
接著我們會給定一個很高的違約門檻D1，利用第二章障礙選擇權中，向 下失效買權可以表示為股東權益的方式(2.2.1)式利用規劃求解的方法來估 計公司資產價值V以及公司資產波動度ζv，由於只有一個方程式但有兩個未 知數V、ζv，因此我們在對(2.2.1)式做Itô’s lemma可得
(3.2.4)
0
0 V
V
E E V
E
我們就可利用(3.2.1)與(2.2.1)式估計公司資產價值V以及公司資產波動度 ζv，如圖3.3所示。
15 A
B
C
E
F D
λ*1 λ*2
t=0 t=Δt t=2Δt
VA σA
EB
EC
EE
ED
EF
D1
圖3.3一因子模型建構方法(二)
接著我們可以由(2.1.4)式計算出時間點[0,Δt]之間A點的違約機率λA*
。當 違約門檻越高，公司違約的機率越高。因此我們可以去比較當期的違約機率 λ與縮減式模型的違約機率λ*１。其中λ=1×λA*
，1為股價到達A點且不會發生 違約的機率。如果結構式模型計算出的條件違約機率λ大於λ*１，我們就利用 二分法向下調整違約門檻；反之，違約機率λ小於λ*１，就向上調整違約門檻，
直到找到一個最佳的門檻D1*使得λ等於λ*１。我們就稱D1*
為時間點[0,1]隱含 的違約門檻。計算完當期的違約門檻後，我們在當期節點加入違約機率，為 了要符合風險中立因此我們可以改寫上漲機率
如圖3.4所示。
t d u
d p e
A Δt r A
A f
/ ) 1
log(
-(3.2.5)
~
* A
) (
其中，違約強度
16
17
A
B
C
E
F D
λ
*1λ
*2t=0 t=1 t=2
D
*1λ
A*λ ) p (1
~
* A A
λ ) p~)(1 (1
-* A
A
λ
Cλ
B*D
*2 λ )p (1
~
* B B
λ ) p~)(1 (1
-* B
B
λ ) p~)(1 (1
-* C
C
λ ) p (1
~
* C C
圖3.5一因子模型建構方法(四)
如圖3.6所示，當股價下一期的期望值大於股價上漲的價值時，就會產 生大於一的上漲機率；我們假定C節點的上漲機率大於一，為了修正機率我 們改採用Dai (2009)的樹狀模型重新接點，使得機率介於0到1之間。我們比 較(2.4.1)式與(3.2.5)式後，可以看出加入違約的CRR樹期望值從rΔt變成(r+λ) Δt。因此(2.4.5)式中Stair tree的期望值 (r0.52)t。修正過後的結 構如圖3.7所示。
Su
Sd
S0
Se(r+Default intensity)
圖3.6 一因子模型機率爆掉示意圖
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有了每一期的違約機率後，我們利用後推法(backward induction)來求得 目前的可轉債價值。我們令可轉債的轉換比例為CR，債券到期日票面價值 為F，公司贖回債券價格為Q。因為債權人可以在任何時間點把可轉債轉成 股票，因此每個節點的可轉債價值至少為Si×CR i=A,B,C,..F。但是在到期日 時，債權人一定能夠拿到票面價值F，因此到期日T的可轉債價值可以改寫 成max(Si×CR,min(F,Q))。而在到期日前的價值則為max(min(Q*i,Q),Si×CR)其 中Q*i為後推法所得的期望價值，i=A,B,C。以Q*B為例