第三章 研究方法
第四節 二因子模型建構方法
r t
t a t b t r dt t dW
dr ( )[ ( ) ] ( ) ，其中a(t)為均數復回歸率、
ζr為利率波動度、b(t)為利率的長期水準、Wt為幾何布朗運動
二、 公司沒有破產成本以及稅盾效果。所以公司的asset價值會等於 公司的levered價值
三、 公司資產價值一低於違約門檻時，公司會馬上違約。
第四節 二因子模型建構方法
在二因子模型裡，為了服從Briys and Varenne (1997)短利的假設，因此我們 改採用Hull-White模型來模擬利率的隨機過程。我們會展開一個立體的樹狀結 構，帄面是時間與利率之間的隨機過程，帄面上每根柱子上的節點則為股價變 動。如圖3.8所示。
t S
R
圖3.8 立體樹狀結構示意圖
一開始我們會先在底面建構一個Hull-White利率模型，接著利用縮減式評價 模型的方法來求出公司債隱含的違約機率。但在Chamber and Lu (2007)裡，採用 的是BDT利率樹，因此我們要用相同的方法建構在Hull-White利率模型上。
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Default δ
R
m1
Default δ
1-e-λ2 P0m(e-λ1) e-λ2
e-λ2
圖3.9 在Hull-White樹狀結構下的縮減式模型
假設Piu為第i個節點利率上漲的機率，Pim為第i個節點利率不變的機率，Pid
為第i個節點利率下跌的機率。我們重新改寫(2.3.3)與(2.3.4)式
(3.4.2)
為i到i+1時間點的公司債利率。藉由(1)式我們可以求得時間點[0, Δt]的違 約強度，接著把(1)式代入(2)式可推得時間點[Δt, 2Δt]之間的違約機率，依此類推 我們可以求得每一期的違約強度。上述式子可以如一因子模型改寫成遞迴式，如 附錄C所示。
接著我們開始在每個利率節點上面的柱子放入對應的股價。並把股價S乘以 在外流通股數NS轉換成股東權益。我們利用Briys and Varenne (1997)求公司債的 封閉解來估計公司資產以及資產波動度。
在本模型裡我們假設公司沒有稅盾效果以及破產成本，因此股東權益加上債務價 值等於公司資產價值，即Briys模型裡的f1= f2=1。與一因子模型相同，我們對上 述式子做Itô’s lemma可得
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( 3 . 4 . 4 )
E
V D
( 3 . 4 . 3 )
0 0 0
0 0
V V
E E V
E
在給定公司票面債務價值F，我們可以利用(2.3.2)式求出當期的債務價值。在利 用規劃求解解(3.4.3)(3.4.4)式，求得公司資產價值以及資產波動度，接著我們再 利用(2.3.1)式求出違約門檻並且帶入FPM模型即可求得[t,t+1]時間點的違約機 率。
有了上述的方法後，在給定一個很高的債務票面價值F。我們可以求得當期 所有節點的違約機率總和，若此違約機率小於縮減式模型所求的違約機率，我們 就向下調整債務票面價值F；反之，若此違約機率大於縮減式模型所求的違約機 率，我們就向上調整違約門檻。直到找到一個最佳的票面價值，使得兩個違約機 率相等，即ˆ11*(1,1，其中) *(1,1)為第一期節點的違約機率。如圖3.10所示。
t S
R
0 1
違約門檻
δF
圖3.10 二因子模型建構方法(一)
與一因子模型相同，我們利用(3.2.2)式重新計算股價上漲機率。本篇配適方 式為Brigo and Mercurio (2006)在附錄F. Approximating Diffusions with Trees中提 到先將邊際機率相乘，再利用殘差項調整機率使得機率符合限制的方法。我們令 股價上漲的機率為Pu、下跌機率為Pd，利率上漲機率為Qu不變機率為Qm下跌機率 為Qd
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23 推法(forward induction)的方式求得每一期每一個節點的違約機率。在二因子模型 裡也必頇檢查機率是否會產生大於一的情況；一旦發生，本文再次利用Dai(2009)
計算完每一期的違約機率後，我們同一因子模型用後推法(backward induction)來求得目前的可轉債價值。
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