第五章 結論與後續研究發展
第二節 後續研究發展
本模型中雖然改善了兩種模型的缺點，但還有許多方面可以更加精進。
一、 債權人轉換方面
在現實情況，可轉債持有人不一定會在公司股價高時完全轉換成股票，大部 分情況下會部份轉換成股票、部分繼續持有。此外，可轉債轉換成股票後，
股東權益稀釋的問題也是在現實層面必頇考量的。後續研究可以加入部份轉 換的特性以及稀釋股權的影響，讓此模型更加符合現實狀況。
二、 模型機率方面
在二因子模型裡，本文利用Brigo and Mercurio (2006)所提供的方式來調整六 元或九元樹的機率，但未加入殘差項的節點機率還是與獨立機率相同。因 此，後續研究可以針對機率這部分，提出新的調整方法，讓各節點的機率都 能夠被相關係數影響。
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參考文獻
中文文獻
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英文文獻
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附錄
A、一因子模型程式執行結果
圖A1 一因子模型程式詳細結果
第一欄為該節點的股票價格，第二欄為該節點的可轉債價格，第三欄為該節點的 違約機率，第四欄為該節點的存活機率，第五欄為該節點的公司資產價格，第六 欄為該節點的資產波動度。縮減式模型違約機率如(3.2.6)式所示。一因子模型 中，隱含違約門檻的債務存續時間期限為一年。
35 上漲機率 0.853374 0.747899 0.002332 0.669414 0.687072 0.413939 不變機率 0 0 0.563628 0 0 0.582 約門檻規劃求解對應的公司資產為31764991、資產波動度為0.021722
求出違約機率後我們先逆推當節點的違約強度，再改寫(1,1)節點的分支機率
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我們可以找到一個違約門檻使得第二期所有節點的存活機率乘上條件違約機率 加總後會等於縮減式模型的違約機率
即0.0319180.7921690.3415480.1361110.071773，此違約門檻為
37109756，利用該違約門檻進行規劃求解可得(2,1)節點的公司資產為37455868、
資產波動度為0.023186。(2,2)節點的公司資產為37153230、資產波動度為0.014756 接著我們再一次逆推違約強度並且改寫分支機率
接著利用Cramer’s rule解(2.4.6)式可得Pu=0.002332,Pm=0.563628,Pd=0.43404 依此類推可以求下一期的存活機率，直到建構出整個樹狀結構。
接著我們舉幾個不同性質的節點來介紹Backward induction
(4,4)節點
在到期日時，可轉債的價值可寫成max(Si×CR,min(F,Q)) 代入各參數後可得 max(23.83601×3,min(100,105)=100
(4,1)節點
在到期日時，可轉債的價值可寫成max(Si×CR,min(F,Q)) 代入各參數後可得 max(94.74579×3,min(100,105)=284.2374
(3,1)節點
在到期日前，可轉債的價值為max(min(Q*,Q),Si×CR)，從上圖我們可以看出(3,1) 節點是以普通CRR樹狀結構展開，因此我們先計算二元樹的期望折現值
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Q*=(284.2374×0.669414×(1-1.39×10-5)+179.4344×0.330586×(1-1.39×10-5)+0.32×100
×1.39×10-5)e-0.1×1 =225.83
則可轉債的價值為max(75.2781×3,min(225.83,105))=225.8361
(3,3)節點
在到期日前，可轉債的價值為max(min(Q*,Q),Si×CR) 從上圖我們可以看出(3,1) 節點是以stair tree的樹狀結構展開，因此我們先計算三元樹的期望折現值 Q*=(179.4344×0.413939×(1-0.291775)+113.274×0.582×(1-0.291775)+100×0.004061
×(1-0.291775)+0.32×100×0.291775) e-0.1×1=98.55288
則可轉債的價值為max(30×3,min(98.55288,105))= 98.55288
依照上述的方式一期一期由後往前推，則可以找到第一期的債券價格。
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B、二因子模型利率樹
圖B1 二因子模型利率樹
註:本文與Hull-White的編號不一致，Hull-White的樹狀結構中間的節點編號為0。
本文第一期為(1,1)第二期為(2,1)(2,2)(2,3)，Hull-White第一期為(0,0)第二期為 (1,1)(1,0)(1,-1)
二因子模型違約機率如(3.2.6)式所示
表 B1 二因子模型各立體柱資料(節錄前三期)
註:(i,j)代表第i期第j個利率節點上的立體柱，第一欄為當節點的股價，第二欄為當節點的債 券價格、第三欄為違約機率、第四欄為存活機率，第五欄為公司資產價值，第六欄為公司 資產波動度。
(1,1) S0 15.006 90.14862 0.002087 1
1500667.487 0.353820088
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(2,1)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 67.68826 111.3878 0.000344 2.33E-08 0.097454 0.068864 1053462.496 2137693.207 0.353817132 0.353826702
(2,2)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 76.78148 114.6564 0.005652 1.53E-07 0.332203 0.333072 1053477.308 2137708.019 0.353812157 0.35382425 (2,3)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 86.33112 119.7449 0.049008 7.71E-05 0.068647 0.097672 1053496.022 2137726.734 0.353805872 0.353821153
(3,1)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 54.83387 79.80858 154.5466 5.55E-05 1.53E-09 1.96E-16 0.006207 0.010038 0.003986 739531.6175 1500650.826 3045160.834 0.353811682 0.353824016 0.353830094
40
(3,2)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 63.92697 83.70124 154.5466 0.000895 9.86E-08 4.42E-14 0.057576 0.112147 0.050037 739542.6312 1500661.839 3045171.848 0.353806413 0.353821419 0.353828815 (3,3)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 74.34895 89.57925 154.5466 0.008883 3.88E-06 3.65E-11 0.122715 0.262501 0.130029 739556.0626 1500675.271 3045185.28 0.353799987 0.353818252 0.353827254 (3,4)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 83.28558 97.12308 154.5466 0.054368 9.27E-05 5.00E-10 0.043635 0.113906 0.060026 739572.4109 1500691.619 3045201.628 0.353792166 0.353814398 0.353825354 (3,5)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 85.33509 102.9673 154.5467 0.207962 0.001342 2.05E-07 0.003067 0.010333 0.006425 739592.268 1500711.476 3045221.485 0.353782667 0.353809716 0.353823047
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表 B2 二因子模型各節點機率(節錄前三期)
利率上漲 股價上漲
利率上漲 股價下跌
利率不變 股價上漲
利率不變 股價下跌
利率下跌 股價上漲
利率下跌 股價下跌 (1,1)S0 0.069008 0.097658 0.333769 0.332898 0.097876 0.068791 (2,1)Sd 0.05795 0.063716 0.389321 0.267346 0.145603 0.076064 (2,1)Su 0.057882 0.063785 0.388967 0.2677 0.145487 0.07618 (2,2)Sd 0.071213 0.095454 0.342565 0.324101 0.10007 0.066597 (2,2)Su 0.069809 0.096857 0.336969 0.329698 0.098675 0.067992 (2,3)Sd 0.095355 0.126312 0.325237 0.33143 0.074693 0.046974 (2,3)Su 0.079613 0.142054 0.278102 0.378565 0.06579 0.055876 (3,1)Sdd 0.599312 0.287355 0.018426 0.008241 0.073223 0.013444 (3,1)S 0.599229 0.287438 0.018423 0.008244 0.073216 0.013451 (3,1)Suu 0.599229 0.287438 0.018423 0.008244 0.073216 0.013451 (3,2)Sdd 0.058847 0.062819 0.393947 0.26272 0.147125 0.074542 (3,2)S 0.058668 0.062999 0.393023 0.263644 0.146821 0.074846 (3,2)Suu 0.058668 0.062999 0.393022 0.263644 0.146821 0.074846 (3,3)Sdd 0.073013 0.093654 0.349717 0.316949 0.101846 0.064821 (3,3)S 0.070785 0.095881 0.340861 0.325806 0.099645 0.067021 (3,3)Suu 0.070784 0.095882 0.340857 0.32581 0.099644 0.067022 (3,4)Sdd 0.098491 0.123176 0.334522 0.322145 0.076411 0.045256 (3,4)S 0.080815 0.140851 0.281733 0.374933 0.066487 0.05518 (3,4)Suu 0.080787 0.14088 0.281648 0.375018 0.066471 0.055196 (3,5)Sdd 0.047278 0.039388 0.018624 0.008043 0.632489 0.254178 (3,5)S 0.016788 0.069878 0.00941 0.017257 0.326682 0.559984 (3,5)Suu 0.01665 0.070017 0.009363 0.017304 0.32509 0.561577
42
如同一因子模型，我們以[0,2]時間間隔為例
計算[0,1]年
我們會利用二分法找到一個違約門檻[0,1]時間間隔的違約機率必頇與縮減式模 型相符，即10.0020870.002072，此違約門檻為746453.2。利用規劃求解同時 推出第一期的公司資產為1500667.487、資產波動度為0.353820088。
接著先計算違約強度再改寫股價上漲機率 接著利用(3.4.8)式解出ε=0.0144337
新的六元樹機率 0.069008 0.097658 0.333769 0.332898 0.097876 0.068791 此時我們可以計算下一期樹狀結構中，六個分支節點的存活機率
(2,1)Su：0.0069008×(1-0.002087)=0.00688 (2,1)Sd：0.097658×(1-0.002087)=0.09745 (2,2)Su：0.333769×(1-0.002087)=0.33307 (2,2)Sd：0.332898×(1-0.002087)=0.3322 (2,3)Su：0.097876×(1-0.002087)=0.09767 (2,3)Sd：0.068791×(1-0.002087)=0.06864 計算[1,2]年
我們接著會找到一個最佳的違約門檻為558695.1，使得第二期六個節點的違約機 率總合(結構式模型違約機率)等於縮減式模型的機率
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005357 .
0 097672 .
0 10 71 . 7 068647 .
0 049008 .
0 333072 .
0 10 53 . 1
332203 .
0 005652 .
0 068864 .
0 10 33 . 2 097454 .
0 000344 .
0
5 7
8
依此類推我們可以找出每一期個節點的違約機率。
我們以第二期六個節點簡介如何用後推法算回第一期的債券價格。
我們知道在到期日前，可轉債的價值為max(min(Q*,Q),Si×CR)，而第一期的期望 折現值Q*可以利用第二期六個節點的債券價格乘以分支機率後用前一期的利率 折現求出。
即Q*=(111.3878x0.069008x(1-0.002087)+67.68826x0.097658x(1-0.002087)+
114.6564x0.333769x(1-0.002087)+ 76.78148x0.332898x(1-0.002087)+
119.7449x0.097876x(1-0.002087)+ 86.33112x0.068791x(1-0.002087)+0.002087 x100 x0.32) e-0.05969×1= 90.14862
第一期不可提前贖回，因此可轉債的價值可改寫成max(Q*,Si×CR) 可轉債的價值為max(90.14862,15.006×5.04524)=90.14862
各期每一個節點都利用此方法即可求出可轉債的價值。
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