第四章 實驗結果與分析
第一節 一因子模型分析
我們假設股價30、股價波動度23%、債券存續時間3年、票面價值100、轉換 比例3、贖回價值105、回收率0.32、無風險利率為常數10%、公司債殖利率15%、
違約門檻折現率為0、在外流通股數100000股。公司債務服從KMV模型，隱含債 務的存續時間長為一年。(i.e.公式2.2.1的T-t帶1年)
以一年一期為例，下表為本文與Chamber and Lu和Hung and Wang之間的比 較
表 4.1 一因子模型債券價格比較
債券價格
本文 93.47556
Chamber and Lu 92.50872 Hung and Wang 86.15
在一因子模型裡，本文考慮到債券價格以及公司股價對可轉債的影響，
Chamber and Lu則考慮了利率以及債券價格對可轉債的影響。以一年一期的價格 來看，本文的價格略高於Chamber and Lu，也就是說利率對於公司的信用風險比 股價更有影響力。
在圖4.1中我們可以看到可轉債價格隨著切割期數拉長會有明顯收斂情況。
在某些期數上會有明顯的跳動是因為非線性誤差所造成的影響。附錄A有一 因子模型初始假設的執行結果的所有資訊。
25
圖4.1 一因子模型切割期數
在一因子模型中，本文會對回收率、不同的水帄利率以及起始股價來做敏感 度分析。
當回收率越高時，公司發生違約債權人可拿到的剩餘價值越高。因此債券價格也 會越高。從圖4.2中可以看出在不同的切割期數都會有一樣的趨勢。
圖4.2 回收率敏感度分析
圖4.3為不同的無風險利率，加上5%的利差當作風險利率。分析不同基準利率與 債券價格的關係。我們可以發現不論切割期數為何，當無風險利率上升時債券價 格會下降。這是因為市場的無風險利率越高，公司必頇提供更高的殖利率來吸引 債權人購買，因此可轉債價格也會跟著下降。
26
圖4.3 利率敏感度分析
從圖 4.4 中可以看出，當起始股價越高，轉換後的公司債也就越高，所以可轉債 的價格也就隨之提高。
圖4.4 起始股價敏感度分析 第二節 二因子模型分析
二因子模型的參數接續Chamber and Lu (2007)在市場上找到的真實資料；股 價為15.006、股價波動度35.3836%、債券存續時間6年、票面價值100、回收率0.32、
轉換比例5.04524、利率波動度3.3%、股價與利率的相關係數為-0.1、無風險利率、
公司債利率以及可贖回價值如表4.2。根據我們的模型我們還加入了以下假設；
在外流通股數100000股、均數附回歸率0.1、公司債務維持水帄(α)0.5。此模型
27
服從Briys and Varenne (1997)的假設，隱含債務的存續時間為當期時間點與可轉 債到期日之差。(i.e.公式(2.3.1)的T帶可轉債到期日與當期時間點之差)
表 4.2 初始利率、贖回價值
1 2 3 4 5 6
無風險利率 5.969% 6.209% 6.373% 6.455% 6.504% 6.554%
公司債利率 6.11% 6.46% 6.63% 6.78% 6.83% 6.894%
可贖回價值 NaN NaN NaN 94.205 96.098 98.03 註:NaN代表當年度不可提前贖回
以一年一期為例，表4.3為本模型與Chamber and Lu與Hung and Wang之間的 比較。在附錄B中記錄了二因子模型初始假設的執行結果的所有資訊。
表 4.3 二因子模型債券價格結果
債券價格
本文 90.14862
Chamber and Lu 90.83511 Hung and Wang 90.4633
市場價值 88.706
在上表中我們可以看出本模型與Chamber and Lu和Hung and Wang的結果。
但在本模型中，仍有幾個額外的假設。若我們能夠拿到市場上真實的在外流通股 數、均數附回歸率、以及債務維持水帄，相信本模型的評價會更為合理。
接著我們對股價波動度、相關系數、利率波動度、利率帄移以及起始股價做 敏感度分析。
從圖4.5中可以看出股價波動度越大債券價格越高的趨勢，因為可轉債可拆 成普通債券加上轉換選擇權，所以股價波動度愈高,可轉債價格越高。
28
圖4.5 股價波動度敏感度分析
在Chamber and Lu的文章中有對相關系數做敏感度分析，本文增加了相關系數的 範圍，從-0.5到0.5。從圖4.6可以看出本模型與Chamber and Lu有相同的趨勢。
圖4.6 相關係數敏感度分析
圖4.7為債券價格與利率波動度的關係，從圖4.6中可以看出相關係數為正 時，利率波動度增加債券價格增加的趨勢是正向的。反之，相關係數為負時，利 率波動度增加債券價格的趨勢違反向。圖中有些許的上下震盪是因為圖中的點是 以一年一期為例子計算出來的。
29
圖4.7 利率波動度敏感度分析
我們同時帄移風險利率結構以及無風險利率結構曲線，從圖 4.8 中可看出。當利 率基準上升時，公司必頇提供更高的殖利率來吸引投資人，因此債券價格會隨之 下降。此現象與本文一因子模型有相同的現象。
圖4.8 利率結構帄移敏感度分析
我們對起始股價做敏感度分析。從圖 4.9 可以看出與一因子模型相同的趨勢；當 起始股價越高時，轉換後的價格也就越高，可轉債的價格也就越高。
30
圖 4.9 起始股價敏感度分析
31
第五章 結論與後續研究發展
第一節 結論
在本文的模型裡，同時改善了結構式模型中不考慮公司債隱含信用風險的缺 點，以及縮減式模型中，不考慮公司資產對於可轉債的影響。成功的把縮減式模 型與結構式模型結合在一起。在一因子模型中利用二分法的方式，找出每一期隱 含的違約門檻，並且求得各節點的違約機率，進一步求出可轉債的價值。而在二 因子模型裡，更放寬了利率的限制，同時考慮了股票、債券、利率對於可轉債的 影響，以Chamber and Lu所提供的實際例子也可證明，利用本模型評價可轉債能 夠更接近市場上的報價。
第二節 後續研究發展
本模型中雖然改善了兩種模型的缺點，但還有許多方面可以更加精進。
一、 債權人轉換方面
在現實情況，可轉債持有人不一定會在公司股價高時完全轉換成股票，大部 分情況下會部份轉換成股票、部分繼續持有。此外，可轉債轉換成股票後，
股東權益稀釋的問題也是在現實層面必頇考量的。後續研究可以加入部份轉 換的特性以及稀釋股權的影響，讓此模型更加符合現實狀況。
二、 模型機率方面
在二因子模型裡，本文利用Brigo and Mercurio (2006)所提供的方式來調整六 元或九元樹的機率，但未加入殘差項的節點機率還是與獨立機率相同。因 此，後續研究可以針對機率這部分，提出新的調整方法，讓各節點的機率都 能夠被相關係數影響。
32
參考文獻
中文文獻
[1] 曾右仲(2009), “利用三因子樹狀模型評價可轉換公司債”台灣大學財務金融 研究所碩士論文
英文文獻
[1] Black, F. and J.C. Cox (1976) Valuing corporate securities: Some effects of bond indenture provisions, Journal of Finance 31, 351-367.
[2] Briys, E., and De Varenne, F.(1997)“Valuing Risky Fixed Rate Debt：An Extension,”Journal of Finance and Quantitative Analysis, 32, 239-248,
[3] Chambers, D.R. and Q. Lu. (2007): “A Tree Model for Pricing Convertible Bonds with Equity, Interest Rate, and Default Risk,” The Journal of Derivatives, 4 (Summer 2007), 25–46.
[4] Dai, T. S. “Efficient Option Pricing on Stocks Paying Discrete or Path-Dependent Dividends with the Stair Tree. ” Quantitative Finance, Volume 9, Issue 7 October 2009 , pages 827 – 838
[5]Damiano Brigo and Fabio Mercurio（2006）: “Interest rate models: theory and practice, Springer Verlag New”
[6] Hull, J., and A. White (1996)“Using Hull-White Interest-Rate Trees,” Journal of derivatives, 3, 26-36
[7] Hull, J.(2006) Options, Futures, and Other Derivatives 6Th. Englewood Cliffs, NJ Prentice-Hall.
[8] Hung, M.W. and J.Y. Wang. (2002) “Pricing Convertible Bond Subject to Default Risk.” Journal of derivative, pp. 75-87.
[9] Jarrow, R. A. and S. M. Turnbull (1995) “Pricing derivatives on
33
financial securities subject to credit risk.” Journal of Finance 3, 93-115.
[10] Kunitomo, N. and Ikeda, M. “Pricing Option with Curve Boundaries.”,working paper
[11] Merton, R.C. (1974) “On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of interest.”Journal of Finance, 449-470
[12] Thomas S. Y. Ho and Sang-Bin Lee（1986）:Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims. The Journal of Finance, Vol. 41, No. 5.
(Dec., 1986), pp. 1011-1029.
34
附錄
A、一因子模型程式執行結果
圖A1 一因子模型程式詳細結果
第一欄為該節點的股票價格，第二欄為該節點的可轉債價格，第三欄為該節點的 違約機率，第四欄為該節點的存活機率，第五欄為該節點的公司資產價格，第六 欄為該節點的資產波動度。縮減式模型違約機率如(3.2.6)式所示。一因子模型 中，隱含違約門檻的債務存續時間期限為一年。
35 上漲機率 0.853374 0.747899 0.002332 0.669414 0.687072 0.413939 不變機率 0 0 0.563628 0 0 0.582 約門檻規劃求解對應的公司資產為31764991、資產波動度為0.021722
求出違約機率後我們先逆推當節點的違約強度，再改寫(1,1)節點的分支機率
36
我們可以找到一個違約門檻使得第二期所有節點的存活機率乘上條件違約機率 加總後會等於縮減式模型的違約機率
即0.0319180.7921690.3415480.1361110.071773，此違約門檻為
37109756，利用該違約門檻進行規劃求解可得(2,1)節點的公司資產為37455868、
資產波動度為0.023186。(2,2)節點的公司資產為37153230、資產波動度為0.014756 接著我們再一次逆推違約強度並且改寫分支機率
接著利用Cramer’s rule解(2.4.6)式可得Pu=0.002332,Pm=0.563628,Pd=0.43404 依此類推可以求下一期的存活機率，直到建構出整個樹狀結構。
接著我們舉幾個不同性質的節點來介紹Backward induction
(4,4)節點
在到期日時，可轉債的價值可寫成max(Si×CR,min(F,Q)) 代入各參數後可得 max(23.83601×3,min(100,105)=100
(4,1)節點
在到期日時，可轉債的價值可寫成max(Si×CR,min(F,Q)) 代入各參數後可得 max(94.74579×3,min(100,105)=284.2374
(3,1)節點
在到期日前，可轉債的價值為max(min(Q*,Q),Si×CR)，從上圖我們可以看出(3,1) 節點是以普通CRR樹狀結構展開，因此我們先計算二元樹的期望折現值
37
Q*=(284.2374×0.669414×(1-1.39×10-5)+179.4344×0.330586×(1-1.39×10-5)+0.32×100
×1.39×10-5)e-0.1×1 =225.83
則可轉債的價值為max(75.2781×3,min(225.83,105))=225.8361
(3,3)節點
在到期日前，可轉債的價值為max(min(Q*,Q),Si×CR) 從上圖我們可以看出(3,1) 節點是以stair tree的樹狀結構展開，因此我們先計算三元樹的期望折現值 Q*=(179.4344×0.413939×(1-0.291775)+113.274×0.582×(1-0.291775)+100×0.004061
×(1-0.291775)+0.32×100×0.291775) e-0.1×1=98.55288
則可轉債的價值為max(30×3,min(98.55288,105))= 98.55288
依照上述的方式一期一期由後往前推，則可以找到第一期的債券價格。
38
B、二因子模型利率樹
圖B1 二因子模型利率樹
註:本文與Hull-White的編號不一致，Hull-White的樹狀結構中間的節點編號為0。
本文第一期為(1,1)第二期為(2,1)(2,2)(2,3)，Hull-White第一期為(0,0)第二期為 (1,1)(1,0)(1,-1)
二因子模型違約機率如(3.2.6)式所示
表 B1 二因子模型各立體柱資料(節錄前三期)
註:(i,j)代表第i期第j個利率節點上的立體柱，第一欄為當節點的股價，第二欄為當節點的債 券價格、第三欄為違約機率、第四欄為存活機率，第五欄為公司資產價值，第六欄為公司 資產波動度。
(1,1) S0 15.006 90.14862 0.002087 1
1500667.487 0.353820088
39
(2,1)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 67.68826 111.3878 0.000344 2.33E-08 0.097454 0.068864 1053462.496 2137693.207 0.353817132 0.353826702
(2,2)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 76.78148 114.6564 0.005652 1.53E-07 0.332203 0.333072 1053477.308 2137708.019 0.353812157 0.35382425 (2,3)
Sd Su
10.5340632 21.3763703 86.33112 119.7449 0.049008 7.71E-05 0.068647 0.097672 1053496.022 2137726.734 0.353805872 0.353821153
(3,1)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 54.83387 79.80858 154.5466 5.55E-05 1.53E-09 1.96E-16 0.006207 0.010038 0.003986 739531.6175 1500650.826 3045160.834 0.353811682 0.353824016 0.353830094
40
(3,2)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 63.92697 83.70124 154.5466 0.000895 9.86E-08 4.42E-14 0.057576 0.112147 0.050037 739542.6312 1500661.839 3045171.848 0.353806413 0.353821419 0.353828815 (3,3)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 74.34895 89.57925 154.5466 0.008883 3.88E-06 3.65E-11 0.122715 0.262501 0.130029 739556.0626 1500675.271 3045185.28 0.353799987 0.353818252 0.353827254 (3,4)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 83.28558 97.12308 154.5466 0.054368 9.27E-05 5.00E-10 0.043635 0.113906 0.060026 739572.4109 1500691.619 3045201.628 0.353792166 0.353814398 0.353825354 (3,5)
Sdd S Suu
7.3948079 15.006 30.451100086 85.33509 102.9673 154.5467 0.207962 0.001342 2.05E-07 0.003067 0.010333 0.006425 739592.268 1500711.476 3045221.485 0.353782667 0.353809716 0.353823047
41
表 B2 二因子模型各節點機率(節錄前三期)
利率上漲 股價上漲
利率上漲 股價下跌
利率不變 股價上漲
利率不變 股價下跌
利率下跌 股價上漲
利率下跌 股價下跌 (1,1)S0 0.069008 0.097658 0.333769 0.332898 0.097876 0.068791 (2,1)Sd 0.05795 0.063716 0.389321 0.267346 0.145603 0.076064 (2,1)Su 0.057882 0.063785 0.388967 0.2677 0.145487 0.07618 (2,2)Sd 0.071213 0.095454 0.342565 0.324101 0.10007 0.066597 (2,2)Su 0.069809 0.096857 0.336969 0.329698 0.098675 0.067992 (2,3)Sd 0.095355 0.126312 0.325237 0.33143 0.074693 0.046974 (2,3)Su 0.079613 0.142054 0.278102 0.378565 0.06579 0.055876 (3,1)Sdd 0.599312 0.287355 0.018426 0.008241 0.073223 0.013444 (3,1)S 0.599229 0.287438 0.018423 0.008244 0.073216 0.013451 (3,1)Suu 0.599229 0.287438 0.018423 0.008244 0.073216 0.013451 (3,2)Sdd 0.058847 0.062819 0.393947 0.26272 0.147125 0.074542 (3,2)S 0.058668 0.062999 0.393023 0.263644 0.146821 0.074846 (3,2)Suu 0.058668 0.062999 0.393022 0.263644 0.146821 0.074846 (3,3)Sdd 0.073013 0.093654 0.349717 0.316949 0.101846 0.064821 (3,3)S 0.070785 0.095881 0.340861 0.325806 0.099645 0.067021 (3,3)Suu 0.070784 0.095882 0.340857 0.32581 0.099644 0.067022 (3,4)Sdd 0.098491 0.123176 0.334522 0.322145 0.076411 0.045256 (3,4)S 0.080815 0.140851 0.281733 0.374933 0.066487 0.05518 (3,4)Suu 0.080787 0.14088 0.281648 0.375018 0.066471 0.055196 (3,5)Sdd 0.047278 0.039388 0.018624 0.008043 0.632489 0.254178 (3,5)S 0.016788 0.069878 0.00941 0.017257 0.326682 0.559984 (3,5)Suu 0.01665 0.070017 0.009363 0.017304 0.32509 0.561577
42
如同一因子模型，我們以[0,2]時間間隔為例
計算[0,1]年
我們會利用二分法找到一個違約門檻[0,1]時間間隔的違約機率必頇與縮減式模 型相符，即10.0020870.002072，此違約門檻為746453.2。利用規劃求解同時 推出第一期的公司資產為1500667.487、資產波動度為0.353820088。
接著先計算違約強度再改寫股價上漲機率 接著利用(3.4.8)式解出ε=0.0144337
接著先計算違約強度再改寫股價上漲機率 接著利用(3.4.8)式解出ε=0.0144337