第四章 強無序重整化群法
4.1 一維無序反鐵磁海森堡鍊的重整化群法
國
立 政 治 大 學
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
第 四 章 強無序重整化群法
本論文的目的在於探討海森堡自旋鏈及 JQ 鏈之基態在強無序自旋耦合下的 性質。最適合探討這類無序量子系統的方法之一為所謂「強無序重整化群方法」
(strong-disorder renormalization group method, SDRG)，最早由 Ma 等人於 1979 年針 對具無序耦合的海森堡鏈提出 [34,35]，之後 D. Fisher 更詳細地得出重整化群的定 點解 (fixed-point solution) [2]，並將此方法應用於其他量子自旋系統 [36,37]。強無 序重整化群方法的基本概念是以微擾計算逐漸縮減能量較高的自由度，藉此尋找 系統的基態。至今此處理無序量子多體系統的方法之應用已擴及至許多其他物理 模型及問題，包含古典統計物理模型 [38] 及量子資訊理論 [39]。關於強無序重整 化群法應用的回顧可見 [40]。
在先簡要說明一維反鐵磁海森堡鍊的 SDRG 方法概念後，我們介紹處理具多 自旋耦合的 Q 鏈的 SDRG 方法。
4.1 一維無序反鐵磁海森堡鍊的重整化群法
考慮一具相鄰耦合的無序海森堡反鐵磁鍊，其耦合強度 Ji 為非均質（隨不同 晶格位置而異）且隨機的。我們可利用單態投影算符將式 (3.1) 改寫成等價的形式
（只差一常數）：
HJ =−∑
i
JiPi,i+1 =−∑Ji
(1
4I− ⃗Si· ⃗Si+1
)
, Ji > 0 . (4.1)
這主要對比 Q 鏈的形式。
由於耦合強弱不一，我們可排序挑出最強的耦合。SDRG 的處理是將最強耦合 連結的自旋狀態「凍結」於所屬（局部）哈密頓項的基態，並將這些自旋與其他 相鄰自旋的耦合視為微擾項，再由微擾計算結果建立與凍結項相鄰的自旋間之等 效耦合，如此完成一重整化步驟。重整化步驟將持續進行至最後一哈密頓項，每 一步驟最大的耦合強度定出該重整化步驟（標號 n）的能量標度 Ωn ≡ max{J}；
比較耦合強度時，原系統的耦合及重整化後的等效耦合一律列入考慮。
以下推導 SDRG 所產生等效耦合的強度。假設在第 n 重整化步驟，最強耦合
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(random-singlet state) [2,41]。我們注意到，經多次重整化步驟後產生的等效耦合強 度具以下形式 呈無窮大 Γ → ∞；故此 RG 定點又稱「無窮無序定點」(infinite-randomness fixed point) [42,43]。這趨向無限寬的無序行為保證重整化過程微擾近似處理的合理性，
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因為在重整化過程最強的等效耦合將較微擾項顯著地強，且這個趨勢於低能量標 度範圍愈趨明顯。若以等效耦合 ˜J 表示，式 (4.12) 成為
P ( ˜J ) ∼ ˜J−1+1/Γ, (4.13) 我們注意到，此分布在 ˜J → 0 處發散。
在重整化過程另外一重要的觀察量為在能量標度為 Ω 時還「存活」未被去除的 自旋密度 nΩ。此自旋密度與能量標度關係為 [2]
nΩ ∼ 1
ln2Ω. (4.14)
如此，我們可建立自旋間的平均距離 ℓ 與能量標度之關係：
ℓ ∼ 1
nΩ ∼ ln2Ω . (4.15) 這個關係也隱含無限大的動力學指數 z → ∞，因為特徵時間相當於 ξt ∼ Ω−1，我 們得出其與關聯長度 (correlation length) 的關係為
ξt∼ exp(ξψ), ψ = 1
2, (4.16)
而非傳統的冪次關係
ξt∼ ξz. (4.17) 關於自旋間的平均關聯函數 C(r)，我們可考慮它正比於價鍵長度為 r 的數目，
也就是正比於在某一能量標度 Ω 同時存活且相隔距離為 r 的自旋對數目，故得 C(r) = [⟨ ⃗Si· ⃗Si+r⟩]av ∼ n2Ω ∼ 1
r2 , (4.18) 式中 [ ]av標示「無序平均」，即對不同無序樣本作平均的結果。這個結果將與無 序 Q 鏈的自旋關聯函數比較。