第五章 計算結果
5.2 自旋關聯函數
5.2.2 四自旋關聯函數
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10 20 40 60 80
N 10-3
10-2 10-1
C(N/2-1)
d = 1 d = 2 d = 5 d = 10 1 / N2
(a) 無序海森堡反鐵磁鍊
10 20 40 60 80 100 200
N 10-5
10-4 10-3 10-2 10-1 100
C(N/2-1)
d = 1 d = 10 d = 50 d = 100 1 / N2
(b) 無序 Q3鍊
圖 5.2: 不同鏈長 N 中距離最遠的雙自旋平均關聯函數。考慮不同無序強度 d，至少 各取 106無序樣本作平均。
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5.2. 自旋關聯函數
i i + 1 j j + 1
(a)
i i + 1 j j + 1
(b)
圖 5.3: 在一維二分價鍵態中兩種可貢獻四自旋關聯函數矩陣元的價鍵組態（黑色曲線 標示）之交疊圖。價鍵態 (a) 為|va⟩ = |(i, i + 1)(j, j + 1)⟩；價鍵態 (b) 對應的狀態為
|vb⟩ = |(i, j + 1)(i + 1, j)⟩。綠色符號標示二聚算符 Bi及 Bj
值的四自旋關聯函數矩陣元，其對應到的價鍵態分別含以下價鍵：(a) 兩具最短鍵 長的價鍵，|va⟩ = |(i, i + 1)(j, j + 1)⟩，及 (b) 兩不交疊且一端分別連結兩對近鄰自 旋的價鍵，|vb⟩ = |(i, j + 1)(i + 1, j)⟩，如圖 5.3 示。以下我們分別計算兩種情形的 貢獻值：
價鍵態 (a) 由式 (5.4) 得
⟨va|BiBj|va⟩ =⟨(i, i + 1) S⃗i· ⃗Si+1 (i, i + 1)
⟩⟨
(j, j + 1) S⃗j· ⃗Sj+1 (j, j + 1)
⟩
= 9
16. (5.5)
價鍵態 (b) 首先整理成
⟨vb|BiBj|vb⟩ = ⟨vb|( ⃗Si· ⃗Si+1)( ⃗Sj · ⃗Sj+1)|vb⟩
=⟨vb|( ⃗Si· ⃗Si+1)(1
4 − Pj,j+1)|vb⟩
= 1
4⟨vb|( ⃗Si· ⃗Si+1)|vb⟩ − ⟨vb|( ⃗Si· ⃗Si+1)Pj,j+1|vb⟩. (5.6) 因價鍵態|vb⟩ 不含連結 i 及 i + 1 的價鍵，得
⟨vb|( ⃗Si· ⃗Si+1)|vb⟩ = 0 . (5.7)
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10 20 40 60 80
N
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2
D* (N/2)
d = 1 d = 2 d = 5 d = 10 1 / N4
(a) 無序海森堡反鐵磁鍊
10 20 40 60 80
N
10-4 10-3 10-2 10-1
D* (N/2)
d = 1 d = 10 d = 50 d = 100 1 / N4
(b) 無序 Q3鍊
圖 5.5: 交錯四自旋關聯函數。考慮的距離為鏈長 N 的一半，並對不同鏈長及不同無 序強度 d 的系統作計算。兩模型的結果在大 d 極限下均趨於 N−4的冪次遞減。
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不同於無序 J1-J2 鏈中可觀察到的 Anderson 局域性，我們的 Q 模型在弱無序 強度下並無排除價鍵固態與非晶形價鍵固態間的相變。由我們的計算結果（尤其 比對量子蒙地卡羅計算結果），可預期非晶形價鍵固態中的二聚化區域平均長度將 在極弱無序強度極限下延長，並在均質（零無序）無限長鏈發散。在有限的無序 強度下，如同我們觀察到的，基態形成交錯的短距離二聚化區域及旋子域壁，但 不同於 J1-J2 鏈 [49]，旋子間並不會在強無序情形下產生等效鐵磁鏈而導致部分 極化現象。綜合來說，無序 Q 模型提供一可藉調控無序強度來引發價鍵固態－非 晶形價鍵固態間相變的模型。
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第 六 章 總結與討論
本論文使用強無序重整化群法得到無序海森堡反鐵磁鍊以及 Q3 鍊的近似基 態，並且藉由討論關聯函數來探討此兩模型的基態性質，藉此找尋一維無序 JQ3 鍊是否存在自旋液態以及價鍵固態間的量子相變現象。計算結果顯示無論是無 序海森堡反鐵磁鍊或無序 Q3 鍊的基態均落在隨機單態。因此，我們判斷在無序 JQ3 模型當中，並不會發生如同在均質 JQ3 模型以及具同樣普適類的 J1-J2海森 堡模型所產生的相變現象 [30,51]。儘管量子相變因無序效應而消失，無序 Q3鍊 所呈現的隨機單態在某程度上也非全同於無序海森堡鍊所產生的隨機單態，尤其 是在短距離範疇它具價鍵固態序，在長距離極限下則漸近形成隨機單態的行為，
我們稱此有趣的量子物質態為「非晶形價鍵固態」。可預期的是，在弱無序效應 下 JQ 鍊可兼具均質系統的臨界現象及無序系統的隨機單態行為。因本論文使用 的重整化群法僅適用探討強無序效應，關於弱無序效應尚待以其他非近似的方法
（如量子蒙地卡羅計算）探討。
價鍵固態以及非晶形價鍵固態也適用探討自旋－聲子耦合效應。在古典極 限下，任何微弱的自旋－聲子耦合（spin-phonon coupling）將導致二聚化（spin-Peierls 變形），然而在有限頻率下，此相變只發生於當自旋－聲子耦合達某一臨 界值以上 [52–54]。此種相變與 J1-J2 的基變關係密切 [55]，而不具挫折性的 JQ 模型及其非晶形價鍵固態可提供探討相同物理現象的另一更有趣的系統。實驗 上非晶形價鍵固態應可實現於一些準一維的自旋聲子材料，例如 CuGeO3 [56] 和 TiOCl [57] 。
已知實驗上隨機單態的性質可用核磁共振 (nuclear magnetic resonance) 技術來 探測 [58,59]，進一步我們也可利用無序重整化群法計算與溫度相關的磁性性 質 [45]，例如磁化率 (magnetic susceptibility)，這些性質更具實驗相關性。在未來，
實驗上或許也能藉由離子阱系統的二聚化態來研究非晶形價鍵固態相關的無序效 應。
另一個值得討論的問題，即是 5.2.2 節最後所提出的自旋關聯函數 C(r) 與交錯 四自旋關聯函數 D∗(r) 之間的冪次關係，我們的計算結果巧合地得到其冪次方是 呈現倍數關係。由於我們並無法單純由關聯函數的定義上去發現此關係，期待未
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來將有相關研究能夠針對這個有趣的問題提出解析解。
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參考文獻
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