第四章 強無序重整化群法
4.2 一維無序 Q 3 鍊的重整化群法
4.2.2 等效耦合之建立
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.2. 一維無序 Q3 鍊的重整化群法
Q
Q0 i L L0 M M0 R0 R j b b0 b00 b000
Q/16
Q0/4 i L L0 M M0 R0 R j b b0 b00 b000
圖 4.3: 此類型 Q 鍵之強度在縮減過程中將減弱。
注意價鍵態|vg⟩ 中無價鍵連結 R 及 j。同樣地，矩陣元 ⟨vg|PM′,R′PR,j|vg⟩ 牽涉兩 次不作用於價鍵上的單態投影，故得
⟨vg|PM′,R′PR,j|vg⟩ = 1
16. (4.32)
如此不難看出 H3 及 H4的縮減不僅耦合變短，且強度變弱：
−QPM′,R′PR,jPb,b′ → −Q
16Pb,b′, (4.33)
−Q′PR,jPb,b′Pb′′,b′′′ → −Q′
4 Pb,b′Pb′′,b′′′ (4.34) 隨著耦合縮減情形的發生，系統哈密頓算符裡將產生 Q2 及 J 項，而這些較短 的耦合亦可能成為某一重整化步驟最強的耦合，此時我們對微擾項縮減的處理與 上述的例子相似。綜合來說，微擾項內單態投影作用於價鍵上，縮減的耦合強度 不變；若單態投影作用在一對不互相配對成價鍵的自旋上，則產生 1/4 的因子減 弱縮減的耦合強度，兩個如此的單態投影將產生 1/16 的因子，依此類推。
4.2.2 等效耦合之建立
這章節我們將考慮不同組合的微擾項所造成的等效耦合。以下將分別就系統最 強耦合為 Q3, Q2 或 J 項的情況作討論及整理。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
a000 a00 a0 a i L L0 M M0 R0 R j b b0 b00 b000 圖 4.4: 紅色粗線為重整化過程形成的三價鍵（為 H0基態），黑色曲線標示因微擾項 貢獻而成的等效耦合。
（一）最強耦合為 Q3項 假設最強耦合項為
H0 =−Q0PL,L′PM,M′PR′,R, (4.35) 此哈密頓項之基態為對應本徵能量為 E0 =−Q0的六自旋單態，形成三價鍵
|v0⟩ = |(L, L′)(M, M′)(R′, R)⟩ ; (4.36) 而激發多重態|e⟩ 能量為 Ee = 0，具 63 重簡併（對應其中任一單態投影算符之本 徵值為 0 的狀態）。此重整化步驟的能量標度為 Ω = Q0。以下我們討論不同組合 的微擾項所可能的貢獻，主要討論建立於 H0 左右相鄰自旋（位於 i 和 j）間的等 效耦合；討論中所引用的晶格點標號請見圖 4.4，關於位置的敘述如外側、內側等 將以三價鍵態|v0⟩（圖 4.4三紅粗線）為中心而言。
Q3(i)
Q0
Q00
a000 a00 a0 a i L L0 M M0 R0 R j b b0 b00 b000
圖 4.5: 紅色粗線為 H0基態的三價鍵。情形 Q3(i) 的微擾項為綠色與藍色兩 Q3項組 成。
考慮的微擾項 H1為兩 Q3 項，其最外側耦合分別位於 (i, L) 及 (R, j)，使兩項 的耦合於 (L′M ) 及 (M′R′) 處重疊（見圖 4.5）；此微擾哈密頓項為
H1 =−Q′Pi,LPL′,MPM′,R′ − Q′′PL′,MPM′,R′PR,j. (4.37) 考慮連結位於 i 及 j 兩自旋間的等效耦合，我們考慮二階微擾項（一階微擾對此 無貢獻）：
∑
e′
⟨vg|H1|e′⟩⟨e′|H1|vg⟩ E0 − Ee
=∑
e′
⟨vg|H1|e′⟩⟨e′|H1|vg⟩
−Ω , (4.38)
‧
‧
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.2. 一維無序 Q3 鍊的重整化群法
a000 a00 a0 a i L L0 R0 R j b b0 b00 b000 圖 4.10: 紅色粗線為重整化過程形成的 Q2項的基態兩價鍵，黑色曲線標示因微擾項 貢獻而成的等效耦合。
此哈密頓項之基態|v0⟩ 為對應本徵能量為 E0 =−Q0 的四自旋單態，形成兩價鍵：
|v0⟩ = |(L, L′)(R′, R)⟩ ; (4.64) 而激發態|e⟩ 為 15 重簡併，能量為 Ee = 0。重整化過程，H0 項將凍結於兩價鍵 態|v0⟩ ，如圖 4.10表示。底下我們分述不同組合的微擾項所可能的影響。
Q2(i)
Q0
Q0
Q00
Q00
a000 a00 a0 a i L L0 R0 R j b b0 b00 b000
圖 4.11: 紅色粗線為 H0基態的兩價鍵。情形 Q2(i) 的微擾項由綠色與藍色兩 Q 項配 對組成，左右兩項最內側耦合在 (L′, R′) 間重疊。
這裡考慮的微擾項為一對 Q 項，此左右兩項最內側的耦合重疊於 (L′, R′) （見 圖 4.11）；此類微擾項可能配對的哈密頓項如下：
H1 =−Q′Pi,LPL′,R′ − Q′′PL′,R′PR,j (4.65) H1 =−Q′Pi,LPL′,R′ − Q′′PL′,R′PR,jPb,b′ (4.66) H1 =−Q′Pa′,aPi,LPL′,R′ − Q′′PL′,R′PR,j (4.67) H1 =−Q′Pa′,aPi,LPL′,R′ − Q′′PL′,R′PR,jPb,b′. (4.68) 為建立 i 與 j 間的等效耦合，我們考慮二階微擾計算中的交叉項：
Eeff =−2Q′Q′′
Ω
∑
α=x,y,z
⟨v|SiαSjα|v⟩⟨v0|SLαPL′,R′SRα|v0⟩ . (4.69)
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
a000 a00 a0 a i L R j b b0 b00 b000
圖 4.14: 紅色粗線為重整化過程形成的 J 項基態的價鍵，黑色曲線標示因微擾項貢獻 而成的等效耦合。
三重態，能隙為 Ω。以下分述不同組合的微擾項所可能的影響。
J (i)
Q0
Q0
J
J0
Q00
Q00 a000 a00 a0 a i L R j b b0 b00 b000
圖 4.15: 紅色粗線為 H0基態的價鍵。藍綠標示的微擾項最內側耦合分別位於 (i, L) 及 (R, j)。
此情形討論的微擾項可包含 Q 項或 J 項，其共同特徵在於最內側的耦合位於 (i, L) 及 (R, j)，例如：
H1 =−JPi,L − J′PR,j (4.84) H1 =−JPi,L − Q′′PR,jPb,b′ (4.85) H1 =−JPi,L − Q′′PR,jPb,b′Pb′′,b′′′ (4.86) H1 =−Q′Pa′,aPi,L− J′PR,j (4.87) H1 =−Q′Pa′,aPi,L− Q′′PR,jPb,b′ (4.88) H1 =−Q′Pa′,aPi,L− Q′′PR,jPb,b′Pb′′,b′′′ (4.89) H1 =−Q′Pa′′′,a′′Pa′,aPi,L− J′PR,j (4.90) H1 =−Q′Pa′′′,a′′Pa′,aPi,L− Q′′PR,JPb,b′ (4.91) H1 =−Q′Pa′′′,a′′Pa′,aPi,L− Q′′PR,jPb,b′Pb′′,b′′′. (4.92) 由二階微擾計算很快看出，這些微擾項所產生的建立於 i 與 j 間的等效耦合與海 森堡鏈的情形雷同，得
J˜ij = J J′
2Ω 或 J Q′′
2Ω 或 Q′J′
2Ω 或 Q′Q′′
2Ω . (4.93)
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
4.3. 無序重整化之執行