三相壓電壓磁纖維複合材料 - 三相壓電壓磁纖維複合材料之磁電耦合效應

三相壓電壓磁複合材料由三種材料所組成，在選擇材料與配置方面皆比雙相複合材料來得多元，且有了更多樣化的方式來提升磁電耦合效應。本章藉由理論分析及有限元素法，預測三相壓電壓磁纖維複合材料之等效性質，並由磁電電壓係數(Magnetoelectric effect Voltage Coefficient , ME)_E^_,₁₁、 _E^_,₃₃來探討磁電效應 (Magnetoelectric effect)。其中，_E^_,₁₁與_E^_,₃₃分別表示在x 與₁ x₃方向施加磁場時，

在同方向上量測到的電場。另外，若磁電電壓係數呈現負值，則表示產生的電場與施加的磁場方向相反。

本文考慮母材(Matrix)內置入一圓柱纖維形式之內含物，且圓柱由一殼層 (Shell)以及鑲嵌其中之核心(Core)所構成，如圖 3-1，文中表示為核心/殼層/母材。

圖 3-1 三相纖維複合示意圖

本章節分析著重於兩部分：〝置換殼層結構之材料屬性對磁電效應之影響〞

及〝磁電效應之最佳化〞。章節安排上，先於 3-1 節介紹含殼層內含物之相關理論；3-2 節則考慮將 BTO/殼層/CFO 及 CFO/殼層/BTO 兩種配置下，殼層結構分別置換為壓電、壓磁材料時，觀察對磁電效應之影響；3-3 節，藉由附錄 A 所提

供之變動材料性質，進行磁電效應最佳化分析。最後為結果及討論。

3-1 含殼層內含物(Core-shell inclusion)之理論

三相複合材料的發展已有一段歷程，而對於殼層之複合結構最早始於 1956 年由 Kerner[59]提出的彈性及熱彈性理論複合材料。另外，在理論方面有直接 Mori-Tanaka 模式[51]、延伸 Mori-Tanaka 模式(Extension of the Mori-Tanaka)[60]、

廣義自洽法(Generalized Self-consistent method)[61, 62]、延伸的雙內含物模式 (Extension of Double-inclusion)[53]等等。

文中，以直接 Mori-Tanaka 模式與 Friebel 等[63]提出之雙層法理論，預測含殼層內含物之複合材料等效性質，並藉由有限元素分析結果比較，選擇適合用於含殼層結構之分析方式。

3-1-1 直接 Mori-Tanaka 模式

圖 3-2 獨立內含物概念[63]

本節是利用直接 Mori-Tanak 模式可預測多種內含物之等效性質特性，將本文所探討的殼層內含物獨立為一個別的內含物形式(圖 3-2)進行分析，並藉由第二章之(2.42)式，將 N 代入 2(表示兩種獨立內含物)並展開得到(3.1)式，即得到三

相材料中含兩相獨立內含物之等效性質表達式。

 

f_c _c _m ^MT_c _s _s _m ^MT_s

m L L A L L A

L^      (3.1)

其中半徑比γ  a b、內含物體積比 f  f_s  f_c 、核心體積比 f_c  γ² f 以及殼層體積比 f_s [1γ²]f 。而下標 c、s 以及 m 分別代表核心(Core)、殼層(Shell) 以及母材(Matrix)。



^f ^f ^f ^dilutes



dilute c dilute

MT A I A A

A_c  _s _m  _c  _s (3.2)



^f ^f ^f ^dilutes



dilute c dilute

MT A I A A

A_s  _s _m  _c  _s (3.3)

 

 

dilute 1

m c 1 m c c

 





 I S L L L

A (3.4)

 

 

dilute 1

m s 1 m s s

 





 I SL L L

A (3.5)

其中母材體積比 f_m  1 f ，Sc、Ss 分別表示利用核心、殼層之幾何形狀及母材材料係數L 求得之廣義 Eshelby 張量。 _m

3-1-2 雙層法(Two-level recursive scheme)

雙層法用以處理含有殼層之幾何結構。其原理在於先將核心與殼層當作一個雙相複合材料進行等效性質分析，稱為深層(Deepest level)。接著再以深層求得之等效性質與母材材料性質重複執行上述步驟，最後求解出高層(Highest level)之等效性質，參考圖 3-3。其中，採取的等效性質分析使用 Mori-Tanaka 模式預測。

圖 3-3 雙層法概念([63]重新繪製)

 ^dilute ^dilute

接下來由深層與母材間再進行一次 Mori-Tanaka 模式的分析，求得三相複合材料等效性質L 如圖^* 3-3b。

 ^dilute ^dilute

MT A f I f A

3-1-3 直接 Mori-Tanaka 模式與雙層法差異性

本節將模擬直接 Mori-Tanaka 模式與雙層法兩者之等效性質，並從中探討磁電效應之行為，藉由比較結果，選擇適合用於含殼層結構之理論。在 COMSOL Multiphysics 建立有限元素模型方面，分別以兩種獨立內含物的型式(圖 3-4(a)) 與含殼層內含物(圖 3-4(b、c))的型式，驗證直接 Mori-Tanaka 模式與雙層法的正確性。在分析過程中，以核心為 BTO、殼層 CFO、母材 TD 之配置下，比較半徑比 0.8的磁電效應，相關結果分別顯示於圖 3-5(a)及(b)。其中，圖中虛線部分代表直接 Mori-Tanaka 模式，實線部分代表為雙層法分析；正方形(Square)的部分代表以 COMSOL Multiphysics 建立之正方型體積代表元素之有限元素分析 (參考 2-3-1 體積代表元素)；六角星形(Hexagonal)的部分代表以 COMSOL Multiphysics 建立之正六邊形體積代表元素之有限元素分析。

COMSOL Multiphysics 有限元素法建構模型(RVE)

含兩種獨立內含物含殼層內含物

正方形(SQU) 正六邊形(HEX)

(a) (b) (c)

圖 3-4 COMSOL Multiphysics 有限元素法模型

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.3

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Volume Fraction of Inclusion

ME Voltage Coefficents (V/cmOe)

BTO,CFO/TD,=0.8

^*E,11 Direct M-T

^*E,33 Direct M-T

^*E,11 FEM two inclusion

^*E,33 FEM two inclusion

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Volume Fraction of Inclusion

ME Voltage Coefficents (V/cmOe)

BTO/CFO/TD, = 0.8

^*_E,11 Two-level

^*_E,33 Two-level

^*_E,11 FEM-SQU

^*_E,33 FEM-SQU

^*_E,11 FEM-HEX

^*_E,33 FEM-HEX

(a) 直接 Mori-Tanaka 模式 (b)雙層法

圖 3-5 磁電電壓係數與內含物體積比 f 之關係(BTO,CFO/TD、BTO/CFO/TD)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

Volume Fraction of Inclusion

ME Voltage Coefficents (V/cmOe)

BTO/CFO/TD, = 0.8

^*_E,11 Two-level

^*_E,33 Two-level

^*_E,11 Direct M-T

^*_E,33 Direct M-T

^*_E,11 FEM-SQU

^*_E,33 FEM-SQU

^*_E,11 FEM-HEX

^*_E,33 FEM-HEX

圖 3-6 雙層法、直接 Mori-Tanaka 模式磁電電壓係數與內含物體積比 f 之關係

由圖 3-6 顯示，雙層法與直接 Mori-Tanaka 模式於磁電電壓係數之比較上有顯著的差異性，且由有限元素法模擬含殼層複合材料結果，說明雙層法較適合處理含殼層結構，並且印證此法不僅可以運用於彈性分析中，亦可用於磁電效應之預測上，因此，後續分析採雙層法為主。圖 3-7 為等效性質預測結果。

材料配置：左為直接 Mori-Tanaka 模式 (BTO,CFO/TD) ；右為雙層法

Volume Fraction of Inclusion

C* (Pa) _C^* FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

^*₁₁

^*₃₃

BTO,CFO/TD, = 0.8

Direct M-T FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2 /c2 )

BTO,CFO/TD, = 0.8

^*₁₁

^*₃₃ Direct M-T

FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2 /c2 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2) FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am) FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc) FEM (two inclusions)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

3-2 含殼層內含物之分析

本節探討在 BTO/殼層/CFO 及 CFO/殼層/BTO 兩種配置下，殼層之材料屬 性(壓電或壓磁)、內含物體積百分比 f (Volume fraction of inclusion)以及半徑比 γ(Ratio of radius)，對磁電電壓係數_E^_,₁₁、^_E_,₃₃之影響。

3-2-1 壓電/壓磁/壓磁(BTO/TD/CFO)

 11 ,

(1)磁電電壓係數E

壓電/壓磁/壓磁配置下磁電效應_E^_,₁₁之關係如圖 3-8 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/TD/CFO

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8 SQU =0.4 SQU =0.6 SQU =0.8 HEX =0.4 HEX =0.6 HEX =0.8 BTO/CFO SQU BTO/CFO HEX BTO/CFO

圖 3-8 _E^_,₁₁與內含物體積比、半徑比之關係(BTO/TD/CFO)

由結果顯示：_E^_,₁₁大致上隨體積比、半徑比增加而提升，僅於半徑比為 0.8 時呈下降趨勢。另外，當體積比為 1，半徑比為 0.7 時有_E^_,₁₁最大值-0.5

(V/cmOe)，而由體積比為 1 這點可以得知，對於提升_E^_,₁₁而言，雙相材料 BTO/TD 的配置已較三相 BTO/TD/CFO 之配置下效果來得好。另一方面，由圖面上內含

物體積比越大時_E^_,₁₁有增加的趨勢觀點來看，CFO 抑制了_E^_,₁₁的發展，說明以 CFO 作為壓電/壓磁/壓磁中之母材配置不太適當。

 33

(2)磁電電壓係數E_,

壓電/壓磁/壓磁配置下磁電效應_E^_,₃₃之關係如圖 3-9 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/TD/CFO

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8 SQU =0.4 SQU =0.6 SQU =0.8 HEX =0.4 HEX =0.6 HEX =0.8 BTO/CFO SQU BTO/CFO HEX BTO/CFO

圖 3-9 _E^_,₃₃與內含物體積比、半徑比之關係(BTO/TD/CFO)

由結果顯示：^_E_,₃₃大致上隨體積比、半徑比增加而提升，並於體積比為 0.06、

半徑比為 1 時有最大值 1.4(V/cmOe)，而由半徑比為 1 表示為雙相 BTO/CFO 的配置。另外，當半徑比增加(BTO 逐漸取代 TD)，_E^_,₃₃亦隨之增加，說明著 TD 會抑制_E^_,₃₃而不適合配置於殼層之位置。圖 3-10 為 BTO/TD/CFO 等效性質預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2 )

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2/c2)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

3-2-2 壓電/壓電/壓磁(BTO/PVDF/CFO)

 11 ,

(1)磁電電壓係數E

 11 ,

E 與體積百分比、半徑比關係如圖 3-11 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/PVDF/CFO

^=0.2

^=0.4

^=0.6

^=0.8 SQU ^=0.4 SQU ^=0.6 SQU ^=0.8 HEX ^=0.4 HEX ^=0.6 HEX ^=0.8 BTO/CFO SQU BTO/CFO HEX BTO/CFO PVDF/CFO SQU PVDF/CFO HEX PVDF/CFO

圖 3-11 _E^_,₁₁與內含物體積比、半徑比之關係(BTO/PVDF/CFO)

由結果顯示：當體積比朝向 0.2 至 0.4 之間發展以及隨半徑比的提升下，_E^_,₁₁ 有相對幅度的成長，並於體積比為 0.34、半徑比為 1 時有最大值-0.034(V/cmOe) 的呈現。而由半徑比為 1 得知其為雙相材料 BTO/CFO 的配置。另外，由 PVDF 完全被 BTO 取代的過程來看，顯而易見地，_E^_,₁₁之值由正轉為負值，關於這一點可以從 BTO 與 PVDF 材料性質中壓電係數之正負異向性觀察出。值得一提的是：不論內含物包含兩種壓電相或是單一壓電相時_E^_,₁₁最大值之趨勢大約都落於 0.3 至 0.4 之間。

 33

(2)磁電電壓係數E_,

 33 ,

E 之關係如圖 3-12 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/PVDF/CFO

^=0.2

^=0.4

^=0.6

^=0.8 SQU ^=0.4 SQU ^=0.6 SQU ^=0.8 HEX ^=0.4 HEX ^=0.6 HEX ^=0.8 BTO/CFO SQU BTO/CFO HEX BTO/CFO PVDF/CFO SQU PVDF/CFO HEX PVDF/CFO

圖 3-12 ^_E_,₃₃與內含物體積比、半徑比之關係(BTO/PVDF/CFO)

由結果顯示：當體積比朝向 0.05 發展以及隨半徑比的提升下，_E^_,₃₃有相對幅度的成長，並於體積比為 0.06 以及半徑比為 1 時，有最大值 1.2V/cmOe 呈現，

而半徑比為 1 代表雙相 BTO/CFO 配置之結果。另外，隨著半徑比增加(BTO 逐漸取代 PVDF)^_E_,₁₁與_E^_,₃₃亦隨之增加，說明 PVDF 不適合配置於殼層。圖 3-13 為 BTO/PVDF/CFO 等效性質預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2 /c2 )

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

(3)殼層為壓電或壓磁材料之比較

圖 3-14 為在 BTO/殼層/CFO 配置下，殼層置入壓電或壓磁相對磁電電壓係數_E^_,₁₁及_E^_,₃₃之影響，皆取半徑比為 0.8 之結果討論。

1. _E^_,₁₁方面：當 TD 置換為 PVDF 時，顯示置換後磁電效應_E^_,₁₁呈下降之趨勢。

2. _E^_,₃₃方面：當置換 TD 為 PVDF 後_E^_,₃₃大致上亦存在下降之趨勢，惟在約 0.9 至 1 之間時結果略有不同。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

PE/Shell/PM

BTO/TD/CFO, ^=0.8 BTO/PVDF/CFO, =0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

PE/Shell/PM

BTO/TD/CFO, ^=0.8 BTO/PVDF/CFO, ^=0.8

(a)_E^_,₁₁ (b) _E^_,₃₃

圖 3-14 磁電電壓係數與內含物體積比 f 之關係(壓電/壓磁(壓電)/壓磁)

進一步分析及驗證：當取體積比取固定時，將兩者所呈現之_E^_,₁₁、_E^_,₃₃作一比較，並由圖 3-15 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01

Ratio of radius

* E,11 (V/cmOe)

PE/Shell/PM, f =0.3

BTO/TD/CFO BTO/PVDF/CFO

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ratio of radius

* E,33 (V/cmOe)

PE/Shell/PM, f =0.05

BTO/TD/CFO BTO/PVDF/CFO

(a)_E^_,₁₁ (b) _E^_,₃₃ 圖 3-15 材料殼層體積影響示意圖(壓電/壓磁(壓電)/壓磁)

其中，右上標 BTO/TD(PVDF)/CFO,f =0.3 及 0.05 分別表示著內含物體積佔有率 固定為 30%及 5%兩者之值皆是取 BTO/PVDF/CFO_E^_,₁₁、_E^_,₃₃最大值位置；x 軸方向為殼層與核心間之半徑比，而 y 軸於圖(a)、(b)中分別表示_E^_,₁₁、_E^_,₃₃之值；

圖中兩線分別代表 TD 與 PVDF 在殼層中以同體積下做比較。

最後，由圖 3-15(a)得知殼層放置 TD 會得到較好之_E^_,₁₁，而在_E^_,₃₃方面由圖 3-15(b)可以得知，不論殼層放置壓電或壓磁材料，最大值結果皆由雙相材料所控制(最大值結果皆發生於半徑比為 1 殼層完全被核心所取代)，顯示對於_E^_,₃₃ 而言殼層的配置是不必要的。

3-2-3 壓磁/壓磁/壓電(CFO/TD/BTO)

 11 ,

(1)磁電電壓係數E

壓磁/壓磁/壓電配置下磁電效應_E^_,₁₁之關係如圖 3-16 所示

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

CFO/TD/BTO

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8 SQU =0.4 SQU =0.6 SQU =0.8 HEX =0.4 HEX =0.6 HEX =0.8 CFO/BTO SQU CFO/BTO HEX CFO/BTO TD/BTO SQU TD/BTO HEX TD/BTO

圖 3-16 _E^_,₁₁與內含物體積比、半徑比之關係(CFO/TD/BTO)

由結果顯示：當體積比朝向 0.95 發展以及隨半徑比的提升下，_E^_,₁₁有相對幅度的成長，並於體積比為 0.98、半徑比為 1 時有最大值-0.028(V/cmOe)的呈現

。而由半徑比為 1 這點來看，對於_E^_,₁₁之提升而言，雙相材料 CFO/BTO 的配置比三相 CFO/TD/BTO 之配置下之效果為佳。

 33

(2)磁電電壓係數E_,

壓磁/壓磁/壓電配置下磁電效應_E^_,₃₃之關係如圖 3-17 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

CFO/TD/BTO

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8 SQU =0.4 SQU =0.6 SQU =0.8 HEX =0.4 HEX =0.6 HEX =0.8 CFO/BTO SQU CFO/BTO HEX CFO/BTO TD/BTO SQU TD/BTO HEX TD/BTO

圖 3-17 _E^_,₃₃與內含物體積比、半徑比之關係(CFO/TD/BTO)

由結果顯示：當體積比朝向 0.95 發展以及隨半徑比的提升下，_E^_,₃₃有相對幅度的成長，並於體積比為 0.94、半徑比為 1 時有最大值 1.48(V/cmOe)的呈現。而由半徑比為 1 可以得知：雙相 CFO/BTO 的配置已較三相 CFO/TD/BTO 之配置下之效果為佳。另一方面，由半徑比提升(CFO 逐漸取代 TD)_E^_,₁₁與_E^_,₃₃亦隨之提

在文檔中三相壓電壓磁纖維複合材料之磁電耦合效應 (頁 49-106)