理論架構

本章節介紹求解壓電壓磁複合材料等效性質之微觀力學模型以及有限元素 法，並從等效性質中探討磁電耦合效應。文中，2-1 節介紹壓電壓磁複合材料的 材料組成律、等效性質方程式以及材料性質，說明壓電壓磁複合材料中為求得等 效性質之相關條件；2-2 節介紹預測複合材料等效性質行為之微觀力學模型理 論；2-3 節介紹有限元素法模擬複合材料行為之邊界條件設定、建模流程以及收 斂性分析。

2-1 材料組成律與等效性質

2-1-1 材料組成律與統御方程式

對於壓電與壓磁材料而言，其材料之行為特徵分別在於施加電場、磁場下 之彈性耦合現象。而對於壓電、壓磁材料進一步之相關定義及材料組成律，分別 在美國國家標準協會(ANSI)與國際電機電子工程師學會(IEEE)共同之標準 ANSI/IEEE Std 176-1987[43]以及 IEEE Std 319-1990[44]中皆有詳細之規範。

壓電材料組成律：

, ,

l il kl ikl i

l lij kl ijkl ij

E κ ε e D

E e ε C σ







 (2.1)

其中σ_ij與ε_kl分別為應力(Stress)和應變(Strain);D_i與E_l分別為電位移(Electric displacement)和電場(Electric field)； C_ijkl為彈性係數(Elastic stiffness)、e_ikl為壓電 係數(Piezoelectric coefficient)、κ_il為介電常數(Dielectric permittivity)。

壓磁材料組成律：

, H ε

q B

, H q ε C σ

l il kl ikl i

l lij kl ijkl ij







 (2.2)

其中B_i、H_l、q_ikl以及_il，分別為磁通量密度(Magnetic flux density)或稱磁感應

(Magnetic induction)、磁場(Magnetic field)、壓磁係數(Piezomagnetic coefficient) 以及磁導律(Magnetic permeability)。

由於分析是在一個線性力學基礎之假設下，對於同時含有壓電、壓磁複合 為發展壓電壓磁複合材料之重要指標，在組成率中以λ_il磁電係數(Magnetoelectric coefficient)表示。 (Magnetic potential)。

為了方便描述複合材料的行為，將(2.3)式以廣義應力應變形式表達如下



.

複合材料的等效性質L^*(Effective modulus)為連結平均廣義應力以及廣義應 變之間的物理量表示為：

. Z A

Z_r  _r (2.13)

其中 Z 為第_r r相的平均廣義應變、 Z 為整體的平均廣義應變以及連結此兩者 之間的A_r稱為應變集中因子(Strain concentration factor)由(2-2 節)微觀力學模型 求得。

另外，本文中採用_E^_,ij( V/cmOe)磁電電壓係數(Magnetoelectric voltage coefficient)作為比較耦合效應的依據，其定義為：「當外加每單位(Oe)磁場時，在

2-1-3 材料選擇

本文所使用的壓電材料有：BaTiO3、LiNbO3、P(VDF-TrFE)、PZT-5J；壓磁 材料有：CoFe₂O₄、Terfenol-D，其中，BaTiO₃(BTO)、CoFe₂O₄(CFO)以及鋯鈦酸 鉛(PZT-5J)皆為陶瓷材料，其晶體結構為 6mm 的對稱性；P(VDF-TrFE)為聚合物 材料，以下簡稱 PVDF，晶體結構同樣為 6mm 對稱性；LiNbO₃(LNO)為一單晶 材料，晶體結構為 3m 對稱性；Terfenol-D(TD)為一稀土金屬合金，其晶體結構 為 4mm 對稱性。以上述及之材料性質參考表 2-1。對於晶體結構對稱性參考國 際電機電子工程師學會 IEEE[43]之標準如圖 2-1 所示，其中，左上方 6×6 代表的 彈性係數矩陣 C，對於壓電材料，左下方 3×6 和右上方 6×3 矩陣分別代表壓電係 數矩陣 e 及其轉置 e^t、右下角 3×3 矩陣表示為介電常數矩陣κ ；對於壓磁材料，

左下方 3×6 和右上方 6×3 矩陣分別代表壓磁係數矩陣q及其轉置q^t、右下角 3×3 矩陣代表磁導率矩陣 μ。

圖 2-1 3m、4mm 與 6mm 晶體對稱矩陣型式(應力控制)[43]

表 2-1 材料性質

BTO

[47]

LNO

[47]

PVDF

[48]

PZT-5J

[47]

CFO

[49]

TD

[48]

C11 (GPa) 150.37 203 4.84 82.3 286 82 C12 (GPa) 65.63 52.9 2.72 34.1 173 40 C13(GPa) 65.94 74.9 2.22 30.2 170.3 40 C33(GPa) 145.52 243 4.63 59.8 269.5 82 C44(GPa) 43.86 59.9 0.526 21.3 45.3 38 C66(GPa) 42.37 74.9 1.06 24.1 56.5 21

4

C1 (GPa) 0 8.99 0 0 0 0

C56(GPa) 0 8.985 0 0 0 0

11(nC²/N m²) 9.87 0.39 0.07^*1 14.53 0.08 0.053^*1

33(nC²/N m²) 11.08 0.26 0.07 10.12 0.093 0.053

11(Ns²/C²) 5_[49] 5_[49] 1.26 1.26_[48] 590 6.283

33(Ns²/C²) 10[49] 10[49] 1.26 1.26[48] 157 6.283 e31(C/m²) -4.32 0.19 0.0043 -10.45 0 0 e33(C/m²) 17.36 1.31 -0.11 16.58 0 0 e15(C/m²) 11.4 3.7 -0.015 14.26 0 0 e21 (C/m²)

e16(C/m²)

0 0

-2.538 -2.534

0 0

0 0

0 0

0 0 q31(N Am) 0 0 0 0 580.3 -60.9_[50]

q33(N Am) 0 0 0 0 699.7 156.8 q15(N Am) 0 0 0 0 550 108.3

備註： ^*1. ₁₁₃₃

2-2 微觀力學模型

在複合材料中為了求得等效性質，關鍵在於(2.13)式中應變集中因子A_r，因 此，隨著研究的發展，相繼出現不同的微觀力學模型來處理工程中對於不同環境 下(內含物形狀、體積百分比等)的應變集中因子，藉以取得合理的等效性質。目 前，較常使用的模型有 Dilute 模式、Mori-Tanaka 模式[51]、自洽法(Self-consistent method)[52]以及雙內含物(Double-inclusion model)[53]模式等等。

文中以 Mori-Tanaka 模式來預測複合材料的等效性質，在於 Mori-Tanaka 模 式考慮了內含物與內含物之間的交互作用，可以模擬母材內沒有內含物的情況下 至完全充滿內含物的等效性質，適用範圍較廣泛。本節中先行介紹等效夾雜理論 以及 Eshelby 張量，再由此兩項基礎理論逐步推導至 Dilute 模式及 Mori-Tanaka 模式。

2-2-1 等效夾雜理論 (Equivalent Inclusion Method)

圖 2-2 等效夾雜理論示意圖[46]

圖 2-2(a)所示為一母材 D ，材料性質為L ，置入一內含物₀  ，材料性質為

L ，此形式為一非均質狀態，其中，母材與內含物之廣義特徵應變皆為 0；圖1

2-2(b)所示母材D 其材料性質為L ，置入內含物₀  其材料性質為L ，此形式為₀ 均質狀態，且內含物外加一廣義特徵應變(Eigenstrains)Ζ^，母材廣義特徵應變為 0，此兩種形式皆受到相同的邊界條件：

.

|_S Σ n n

Σ  ⁰ (2.19)

由於異質物或廣義特徵應變的存在，使廣義總應力成為Σ ⁰ Σ^pt；廣義總應 變為Ζ ⁰ Ζ^pt，其中Σ⁰與Ζ⁰是由外加邊界條件引起的廣義應力與應變，而Σ^pt與

Ζpt是由於內含物的存在而造成的廣義擾動(Perturbation)應力與應變。

在遵守廣義虎克定律的情況下，  內之總廣義應力為：



^{0 pt}



1 pt

0 Σ L Ζ Ζ

Σ

Σ     , (圖 2-2a) (2.20)



^{  }







 Σ Σ L Ζ Ζ Ζ

Σ ^{0 pt} ₀ ^{0 pt} , (圖 2-2b) (2.21)

依據等效夾雜理論，當調整廣義特徵應變Ζ^，使得內含物  內廣義應力 (2.20) 式與(2.21)式相等，即可得到一關係式：



Ζ Ζ



 L



Ζ Ζ Ζ^



.

L₁ ^{0 pt} ₀ ^{0 pt} (2.22)

2-2-2 廣義 Eshelby 張量

Eshelby 張量為用來連接因內含物造成的擾動應變ε 與特徵應變^pt ε 之間的^* 關係：

. S_{ijkl kl}

ij

 

^pt (2.23)

特徵應變屬於非彈性應變如：溫度應變、相轉換應變、初始應變、塑性應變等等，

Sijkl為 Eshelby 張量為四階張量型式，其與母材的材料性質與內含物之形狀有所 關聯。Eshelby 張量最早由 Eshelby [54]於 1957 年提出等向性(Isotropic)材料的解，

其後對於不同物理場之 Eshelby 張量的研究陸續提出。

由於 Eshelby 張量初期之發展，僅用於處理單一場變數下之力學行為，因此

面對壓電壓磁複合材料之多個場變數處理上，採用 Li 與 Dunn[55]由數值積分得

利用高斯積分法(Gauss quadrature method)求出廣義 Eshelby 張量[56]：

 

p

3 及權重W_^p；對積分時使用高斯積分點^q及權重W_^q，高斯積分點之數量 U 和 V 參考文獻[56]分別取 16 與 64。

2-2-3 Dilute 模式

Dilute 模式於等效性質計算上，排除內含物彼此間之影響，藉由內含物與 母材間之擾動情況作為計算複合材料等效性質之依據，由此可見，Dilute 模式適 用於內含物體積百分比越小時，內含物彼此間所造成的影響越低，所預測之行為 相對較為準確。其推導方法主要利用等效夾雜理論。

由於忽略內含物彼此間之影響下，Dilute 模式下所考量之內含物體積佔有率 須處於很小之狀態下，且零星散布於母材中，也因此，母材內之廣義應力分布情 形，即為外加邊界條件下之廣義應力。

圖 2-4 Dilute 模式[46]

在邊界條件為Σ n |_S Σ⁰n 的假設下，由等效夾雜理論：



^{Ζ  Ζ}



^{ L}



^{Ζ  Ζ Ζ}



L₁ ^{0 pt} ₀ ^{0 pt} , (2.27)

再由廣義 Eshelby 張量的關係：

 SΖ

Ζ^pt , (2.28)

將(2.28)式代入(2.27)式得：



^{Ζ  SZ}



^{ L}



^{Ζ  SZ  Ζ}



L₁ ⁰ ₀ ⁰ , (2.29)

將(2.29)式整理移項後得：

 



0



^{1 0}

1 0

1 L L Ζ

L S

Ζ^    ^{ } , (2.30)

內含物的總應變為：

 

 

 

 

⁰

0 pt 0

I SL L L Ζ

Ζ L L L S S Ζ Ζ Ζ Ζ

1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1

 

 

















 , (2.31)

由平均應變定理 Z Z⁰以及內含物應變Z= Z_r (r 為內含物)，並由(2.31)式與 (2.13)式相比較後得到：

 

 

^.

dilute 1

0 1 1 0

 





 I SL L L

A (2.32)

其中 I 為單位矩陣，A^dilute為 Dilute 模式下求得之應變集中因子。

2-2-4 Mori-Tanaka 模式

相較於 Dilute 模式，Mori 與 Tanaka 所提出用以計算等效性質行為的微觀力 學模型，將內含物彼此間之交互作用加入考量，因此當內含物之體積百分比變動 之時，不會受到如 Dilute 模式中對內含物之限制，因此 Mori-Tanaka 模式適用的 範圍也較廣。

由於考量內含物間之交互作用，Mori-Tanaka 模式下之母材及各內含物，當 受到外加邊界條件之作用下，所得相應之個別廣義應力，且為了應用於整體行為 之分析上取平均值作為代表，因此，此行為之特徵在於內含物受到一平均廣義應 力之作用，而非直接由外加邊界條件下施加之廣義應力。

圖 2-5 Mori-Tanaka 模式[46]

同樣在邊界條件為Σn |_S Σ⁰n 的假設下，有別於圖 2-4 中內含物受到的廣 義應力，Mori-Tanaka 模式中由於考量內含物彼此間之交互作用，因此內含物受 到的為一整體的平均廣義應力，因此內含物的廣義總應力為：



0 ^pt



1 pt

0 Σ L Ζ Ζ

Σ

Σ    , (2.33)



^{  }







 Σ Σ L Ζ Ζ Ζ

Σ ₀ ^pt _{0 0} ^pt , (2.34)

由等效夾雜理論：



^{Ζ Z}



^L



^{Ζ Ζ Ζ}



L_{1 0} ^pt _{0 0} ^pt , (2.35)

再由廣義 Eshelby 張量的關係Ζ^pt  SΖ^，代入(2.35)式中移項整理：

 

 

0 ^,

1 0 1 0

1 L L Z

L S

Ζ^    ^{ } (2.36)

由總應變關係式Ζ Ζ₀ Ζ^pt  Ζ₀ SZ^*將(2.36)式代入並比較(2.13)式與(2.32) 式：

0 pt

0 Ζ A Ζ

Ζ

Ζ   ^dilute , (2.37)

再由平均定理：

0 r

N

1 r

r 0

r N

1 r

r 0

0 r N

0 r

r

0 Ζ Ζ Ζ Ζ I A Ζ

Ζ 







 











  







dilute

f f

f f

f , (2.38)

0,

r N

1 r

r 0

0 I A Ζ

Ζ

1









 

 ^f



^{f dilute (2.39)}

將(2.39)式代入(2.37)式中得：

0 0

1

r N

1 r

r

0I A Ζ A Z

A

Ζ ^dilute f f ^dilute  ^MT







 









^{, (2.40)}

其中：

.

1

r N

1 r

r 0











 

 ^dilute



^dilute

MT A f I f A

A _(2.41)

其中A^MT為 Mori-Tanaka 模式下求得之應變集中因子。

對於 N 相複合材料於 Mori-Tanaka 模式下其等效性質表示為：

 

^MT

r

f _r

N

1

0 r r

0 L L A

L

L





    . (2.42)

2-3 有限元素法

2-3-1 體積代表元素

體積代表元素(Representative Volume Element, RVE)定義為「材料組成中最 能代表整體組成之最小單位元素」。另外，在有限元素法中，於體積代表元素上 設定週期性邊界條件來達到無限域之設定，以求得複合材料之等效性質。

(a)正方形 (b)正六邊形

圖 2-6 體積代表元素

本文中採用兩種體積代表元素，分別為正方形及正六邊形體積代表元素(圖 2-6)，內含物形式採纖維狀，其半徑由於受到體積代表元素邊長之限制，對於正 方形及正六邊形之纖維狀內含物體積比上限分別為 0.7854

4 

 及 0.9069 3

2 

。 由上述兩者之比較，正六邊形體積代表元素較能預測較廣之體積比範圍。另外正 六邊形由正三角形組成，說明內含物之圓心與相鄰圓心間之距離相等，相較於正 方形，其圓心只有在水平和垂直方向的距離相等，因此，在分析上正六邊形較符 合橫向等向性的特性，但是由於正六邊形體積代表元素之建模流程以及求解時間

皆比正方形體積代表元素來的繁複，因此，本文建立兩種體積代表元素並且求得 相應之等效性質與 Mori-Tanaka 模式相互印證(圖 2-7)，證實正六邊形體積代表元 素可以如預期般得到較為接近實際 Mori-Tanaka 模式的解，而正方形體積代表元 素可做為一個比較性參考。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 Error (%)

BTO/CFO(Error analysis)

Mori-Tanaka model,Finite element(SQU) Mori-Tanaka model,Finite element(HEX)

(a)_E,11^ 誤差性分析

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 Error (%)

BTO/CFO(Error analysis)

Mori-Tanaka model,Finite element(SQU) Mori-Tanaka model,Finite element(HEX)

(b)_E,33^ 誤差性分析

圖 2-7 正方形與正六邊形體積代表元素之誤差性分析

2-3-2 週期性邊界條件(Periodic Boundary Condition)

為了達到無限域的假設，於體積代表元素上設定週期性邊界條件，且在各

個元素之位移(Displacement)、電勢能(Electric potential)及磁勢能(Magnetic

* 1

 

^,

本文選用 COMSOL Multiphysics[58]有限元素軟體進行分析，選用此軟體的 目的在於其含有處理電相與磁相之相關模組，便於處理壓電壓磁複合材料中電與 磁間之場變數關係以及系統化之材料資料庫。另外，此軟體的另一個特色在於其 與 Matlab 程式之間可以互相搭配使用，對於 COMSOL Multiphysics 程式內完成 之建模流程，可轉換成 Matlab 程式，有利於建模之模組化、自動化，降低人為 造成錯誤的風險，提高工作效率，而本文以此軟體建模之流程參考圖 2-8。

圖 2-8 COMSOL Multiphysics 建模流程

2-3-5 有限元素之收斂性分析

有限元素在處理上，其結果之精確度與網格處理間的關係密不可分，當網格 選擇較細時，對精確度的提升將有所助益，也相對於付出更多的運算成本及時

有限元素在處理上，其結果之精確度與網格處理間的關係密不可分，當網格 選擇較細時，對精確度的提升將有所助益，也相對於付出更多的運算成本及時

在文檔中 三相壓電壓磁纖維複合材料之磁電耦合效應 (頁 25-49)