壓電壓磁複合材料非完美交界面分析 - 三相壓電壓磁纖維複合材料之磁電耦合效應

前述章節描述磁電效應皆是假設界面為完美的狀態(Perfect interface)，然而，在真實材料之界面中存在的缺陷問題將直接導致實際與理論結果上的落差，

因此，在本章節藉由雙相壓電壓磁複合材料(BTO/CFO)模擬非完美交界面 (Imperfect interface)分析對磁電效應之影響。模擬方式採內含物與母材間置入一界面相材料(相當於半徑比取微小狀況下之三相殼層結構，參考圖 4-1)，而材料性質取已知之 BTO 及 CFO 作為基材，依序乘上一增加之倍數，使界面相趨於一極端值材料，藉以模擬壓電壓磁複合材料於非完美交界面中，廣義應力、位移、

電勢能及磁勢能之不連續狀態。

圖 4-1 非完美交界面於雙相複合材料之模擬([16]重新繪製)

4-1 非完美交界面

在彈性力學中，討論複合材料的界面功用最主要是在傳遞相與相間之徹體力 (Traction)與位移，因此，若是徹體力與位移在界面上可以完全傳遞，則稱為完美交界面，反之，則稱為非完美交界面，後者之主要探討原因在於實際之界面狀態或多或少存在著程度不一之界面缺陷，將導致徹體力與位移不連續現象，此現象會造成分析與實際結果有所出入，因此，界面科學(Surface science)的研究成為複

合材料重要的發展議題之一。

界面之研究於早期，受限於界面之詳細情形難以去確認[64]，致使大部分複合材料之發展皆朝向完美界面之假設，直至 1990 年代起，由相關學者所展開之研究，逐漸帶起了非完美交界面之探討。Bovik[65]於 1994 年提出將相與相間之交界面模擬為一獨立之薄層結構，以建立數學模型分析，另外，以 Bovik 研究作為背景，Benveniste[66]於 2006 年提出三維曲面中置入一薄層(圖 4-2)之非等向性材料之研究，並藉由泰勒展開式得到結果；Wang 等[67]於 2007 年提出多鐵性纖維狀複合材料於非完美交界面下之磁電效應分析，藉由複變理論探討界面間之廣義應力連續，廣義位移不連續現象，並於 2009 年[68]提出廣義應力不連續，廣義位移連續的非完美交界面的模擬；由 Gao[69]於 1995 年提出一含圓形內含物之非完美交界面的結果。過程將交界面設定為一彈性薄層，藉由 Airy 應力函數導出界面非完美之 Eshelby 張量。另一方面，由 Hashin[70]於 2002 年提出有關纖維複合材料以薄殼層結構作為界面相的非完美交界面分析，而界面相條件採用整體剛度的由小到大進行分析。

圖 4-2 相與相間之界面模擬為一獨立之薄層結構[66]

4-2 模型建立

本節以雙層法為基礎，模擬非完美交界面等效性質預測，並以 COMSOL Multiphysics 建構有限元素模型驗證其正確性。分析採完美界面假設下之雙相 BTO/CFO 之等效性質預測，而非完美交界面則採用雙層法分析，首先，半徑比取 0.9 與有限元素法進行驗證(由於 COMSOL Multiphysics 在薄殼層結構的網格處理上較為不利，因此選擇半徑比 0.9)，再來取較為接近實際界面的半徑比 0.99 進行分析。

4-2-1 界面材料取 CFO 材料係數乘積 (1)材料係數同時放大

將 CFO 材料性質乘上放大倍數置入界面相分析，並與完美交界面假設相互比較得到以下結果。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{=0 ,}^=0.9 M-T ^{=1 ,}^=0.9 M-T ^{=5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{=0 ,}^=0.9 FEM ^{=1 ,}^=0.9 FEM ^{=5 ,}^=0.9

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{=0 ,}^=0.9 M-T ^{=1 ,}^=0.9 M-T ^{=5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{=0 ,}^=0.9 FEM ^{=1 ,}^=0.9 FEM ^{=5 ,}^=0.9

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-3 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 CFO 放大倍數,γ=0.9)

其中，ξ代表以 10 為底的倍數乘積(式 4-1)。

) ) L ( L (

log₁₀ _Interpase _CFO ^¹

  (4-1)

其中，LInterphase、LCFO分別代表界面相的材料性質及 CFO 的材料性質，以矩陣型

式表示。

由圖 4-3 可以得知ξ=0 時，磁電電壓係數皆與雙相(完美界面假設)配置下有些許落差，尤其在體積比為 1 時甚為明顯(相當於 BTO/CFO 體積比 0.81)，可以直接反應出半徑比無法取至微小時所造成的誤差。另外，當倍數乘積增加時磁電電壓係數皆有明顯之下降趨勢，且下降幅度收斂至零為止。圖 4-4 為等效性質 BTO/CFO*10¹/CFO (γ=0.9)之預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2/c2)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

由上述之驗證程序，証實雙層法用於處理 CFO 正倍數乘積薄層結構之可行性，接著將半徑比調整為 0.99 觀察磁電效應之變化，分析結果參考圖 4-5：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO, = 0.99

 = 0

 = 1

 = 3

 = 5

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = 1

 = 3

 = 5

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-5 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 CFO 放大倍數,γ=0.99)

由分析結果顯示出：當界面相取 CFO*10⁰時，曲線近乎重疊於完美假設下之狀態，說明著半徑比越大越接近實際界面之模擬。

(2)材料係數同時縮小

將 CFO 材料性質同時縮小置入界面相分析，並與完美交界面假設相互比較得到以下結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T  =0 , =0.9 M-T  = -1 , =0.9 M-T  = -5 , =0.9 FEM BTO/CFO FEM  =0 , =0.9 FEM  = -1 , =0.9 FEM  = -5 , =0.9

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{=0 ,}^=0.9 M-T ^{= -1 ,}^=0.9 M-T ^{= -5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{=0 ,}^=0.9 FEM ^{= -1 ,}^=0.9 FEM ^{= -5 ,}^=0.9

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-6 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 CFO 縮小乘積,γ=0.9)

由圖 4-6 可以得知ξ=0 時，其磁電電壓係數與雙相配置(完美界面假設)差異性在體積比為 1 時甚大，同樣由於半徑比無法取至微小所造成。另外，當負倍數乘積增加時磁電電壓係數皆有明顯之下降。圖 4-7 為等效性質

BTO/CFO*10^-1/CFO (γ=0.9)之預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion

q* (N/Am) q^*

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2/c2)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

由上述之驗證程序，証實雙層法用於處理 CFO 負倍數乘積薄層結構之正確性，接著將半徑比調整為 0.99 觀察磁電效應之變化，分析結果參考圖 4-8：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = -1

 = -3

 = -5

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = -1

 = -3

 = -5

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-8 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 CFO 縮小乘積,γ=0.99)

由分析結果顯示出：當ξ=0 時，曲線近乎重疊於完美假設下之狀態，說明著半徑比越大越接近實際界面之模擬，對於倍數乘積上之磁電電壓係數之趨勢，

大致上與半徑比為 0.9 時之趨勢相同。

4-2-2 界面材料取 BTO 材料係數乘積 (1)材料係數同時放大

將 BTO 材料性質乘上放大倍數置入界面相分析，並與完美交界面假設相互比較得到以下結果。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{=1 ,}^=0.9 M-T ^{=5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{=1 ,}^=0.9 FEM ^{=5 ,}^=0.9

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{=1 ,}^=0.9 M-T ^{=5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{=1 ,}^=0.9 FEM ^{=5 ,}^=0.9

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-9 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 BTO 放大倍數,γ=0.9)

其中，ξ代表以 10 為底的倍數乘積(式 4-2)。

) ) L ( L (

log₁₀ _Interpase _BTO ^¹

  (4-2)

其中，L_interphase、L_BTO分別代表界面相的材料性質及 BTO 的材料性質，以矩陣型

式表示。

由圖 4-9 可以得知界面相為 BTO 時，當倍數乘積增加時，_E^_,₁₁之值不減反增，說明著以 BTO 作為模擬界面材料之不適當性，_E^_,₃₃之現象則較符合非完美交界之模擬。圖 4-10 為等效性質 BTO/BTO*10¹/CFO (γ=0.9)之預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2/c2)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

由上述之驗證程序，証實雙層法用於處理 BTO 正倍數乘積薄層結構之正確性，接著將半徑比調整為 0.99 觀察磁電效應之變化，分析結果參考圖 4-11：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.1 -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = 1

 = 3

 = 5

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = 1

 = 3

 = 5

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-11 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 BTO 放大倍數,γ=0.99)

由分析結果顯示出：對於半徑比為 0.99 之 BTO 之正倍數乘積上之磁電電壓係數之趨勢，大致上與半徑比為 0.9 時之趨勢相同。

(2)材料係數同時縮小

將 BTO 材料性質同時縮小置入界面相分析，並與完美交界面假設相互比較得到以下結果。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{= -1 ,}^=0.9 M-T ^{= -5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{= -1 ,}^=0.9 FEM ^{= -5 ,}^=0.9

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

M-T BTO/CFO M-T ^{= -1 ,}^=0.9 M-T ^{= -5 ,}^=0.9 FEM BTO/CFO FEM ^{= -1 ,}^=0.9 FEM ^{= -5 ,}^=0.9

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-12 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 BTO 縮小乘積,γ=0.9)

由圖 4-12 可以得知界面相採 BTO 時，負倍數成長時磁電電壓係數皆有明顯之下降，可以觀察出非完美交界面之現象。圖 4-13 為等效性質

BTO/BTO*10^-1/CFO (γ=0.9)之預測結果。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Volume Fraction of Inclusion C* (Pa)

Volume Fraction of Inclusion e* (C/m2)

Volume Fraction of Inclusion

* (N/V2)

Volume Fraction of Inclusion q* (N/Am)

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns2/c2) _*

Volume Fraction of Inclusion

* (Ns/Vc)

由上述之驗證程序，証實雙層法用於處理 BTO 負倍數乘積薄層結構之正確性，接著將半徑比調整為 0.99 觀察磁電效應之變化，分析結果參考圖 4-14：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = -1

 = -3

 = -5

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 0

 = -1

 = -3

 = -5

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-14 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 BTO 縮小乘積,γ=0.99)

由分析結果顯示出：對於半徑比為 0.99 之 BTO 之負倍數乘積上之磁電電壓係數之趨勢，大致上與半徑比為 0.9 時之趨勢相同。

4-3 非完美交界面分析

由 4-2 節觀察到，界面相材料性質採倍數乘積之 BTO 或 CFO 時，磁電效應相對於完美界面假設下之值，部分呈現不減反增之非合理狀態，說明界面相材料選擇壓電或壓磁材料之不適當性，因此，經由多鐵性複合材料之磁電耦合效應產生觀點，初步研判造成上述之現象，可能在於材料中的壓電或壓磁係數直接影響到雙相材料的磁電耦合效應。分析過程中取 BTO 材料性質移除壓電係數為主(簡稱材料 1；Material-1)參考表 4-1，並與完美界面假設下之磁電效應狀態作比較。

表 4-1 材料 1 之材料性質

Material-1

C11 (GPa) 150.37 ₁₁(Ns²/C²) 5 C12 (GPa) 65.63 ₃₃(nC²/N m²) 10 C13(GPa) 65.94 e₃₁(C/m²) 0 C33(GPa) 145.52 e₃₃(C/m²) 0 C44 (GPa) 43.86 e₁₅(C/m²) 0 C66(GPa) 42.37 q₃₁(N Am) 0

11(nC²/N m²) 9.87 q₃₃(N Am) 0

33(nC²/N m²) 11.08 q₁₅(N Am) 0

以下界面性質採材料 1 之倍數乘積，分析結果如圖 4-17、4-18 所示：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.03

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 1

 = 2

 = 3

BTO/CFO

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = 1

 = 2

 = 3

BTO/CFO

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-15 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 MAT1 放大倍數,γ=0.99)

其中，ξ代表以 10 為底的倍數乘積(式 4-3)。

) ) L ( L (

log₁₀ _Interpase _MAT₁ ^¹

  (4-3)

其中，L_interphase、L_MAT1分別代表界面相的材料性質及 MAT1 的材料性質，以矩陣

型式表示。

由界面層取半徑比為 0.99 之結果顯示出，界面相取材料 1 之 10 的正次方倍數時，隨著倍數之增加磁電電壓係數亦隨之減少。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

* E,11 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = -1

 = -2

 = -3

BTO/CFO

(a) _E^_,₁₁與內含物體積比 f 之關係

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Volume Fraction of Inclusion

* E,33 (V/cmOe)

BTO/Interphase/CFO,=0.99

 = -1

 = -2

 = -3

BTO/CFO

(b) _E^_,₃₃與內含物體積比 f 之關係

圖 4-16 磁電電壓係數與體積比 f 的關係(界面相取 MAT1 縮小乘積,γ=0.99)

由界面層取半徑比為 0.99 之結果顯示出，界面相取材料 1 之 10 的負次方倍數時，磁電電壓係數所呈之現象與圖 4-17 之趨勢大致相同，說明著以 BTO 移除壓電係數來模擬非完美交界面之可行性。

4-4 結果與討論

由上述之分析結果可以得知：

1. 以 COMSOL Multiphysics 有限元素建模驗證雙層法於界面相分析之可行性。

2. 以壓電或壓磁材料作為界面相材料時，會造成磁電效應增加之現象(相對於完美界面假設下)。

在文檔中三相壓電壓磁纖維複合材料之磁電耦合效應 (頁 106-128)