三相壓電壓磁複合材料中含有三種材料，其中至少有一相為壓電材料，有一相為 壓磁材料，以此獲得比雙相壓電壓磁複合材料更好的磁電耦合效應。在本章以雙層法 以及有限元素法進行分析，探討含有殼層內含物的三相顆粒狀壓電壓磁複合材料之等 效性質以及磁電電壓係數(ME Voltage Coefficient) E,11與E,33。其中E,11指的是施加 在x 方向的磁場時，量測在1 x 方向產生的電場；1 E,33指的是施加在x3方向的磁場時，
量測在x3方向產生的電場。若磁電電壓係數為負數，則表示產生的電場與磁場方向相 反。
除了探討三相複合材料之磁電電壓係數除外，為比較起見，亦探討雙相複合材料 的案例，以證明三相複合材料能得到較佳的磁電耦合效應。此外本文先使用既有的材 料來做為三相複合材料之配置，爾後變動不同的材料係數以期獲得最高的磁電耦合效 應。
最後討論雙層法與三相Mori-Tanaka 模式於三相複合材料之磁電耦合分析，兩者 之磁電耦合效應相差甚大，但是其等效彈性係數卻是相等的。故傳統複合材料力學的 彈性行為研究領域裡，含有殼層之結構，均簡化成兩種獨立的內含物來求解。
3-1 含有殼層內含物 (Core-Shell inclusion) 之三相複合材料
含有殼層內含物之三相複合材料如圖3-1 所示，其為內含物與母材之間加入第三 種材料，在此稱為殼層(Shell)，在其它研究發表裡也有塗料層(Coating)、相間層 (Interphase)的稱呼，此幾何結構使得三相複合材料在材料的選擇上能更具自由度，已 利用在內含物與母材之間非完美交界面(Imperfect interface)的模擬[72]以及壓電感測 元件設計[73]。
38
圖3-1 含有殼層內含物示意圖
三相複合材料之彈性理論已有許多的研究：例如三相的Mori-Tanaka 模式[60]、
延伸的Mori-Tanaka 模式(Extension of the Mori-Tanaka)[49]以及延伸的雙內含物模式 (Extension of Double-inclusion)[62]。Fisher 和 Brinson 的研究[74]是關於 Mori-Tanaka 模式與延伸Mori-Tanaka 模式兩種微觀力學模型與有限元素分析的比較，Mori-Tanaka 模式是將原本含有殼層之內含物如圖3-2a 示，將殼層轉換為獨立之內含物如圖 3-2b，
但是Mori-Tanaka 模式對於本文含有殼層內含物的壓電壓磁複合材料預測與有限元素 分析結果有誤差，其理論分析與數值結果會在本章最後討論。延伸的雙內含物模式其 想法與三相Mori-Tanaka 模式相似，均是將殼層轉換為獨立之內含物如圖 3-3，只有 近似模式的不同，另外還有廣義自洽法[50]以及平面與反平面模式(Inplane and antiplane model)[75]，此類研究多屬於纖維複合材料，其理論模型經由係數的簡化得 到，無法求解本文探討的問題。
39
(a) 延伸 Mori-Tanaka 模式示意圖 (b) Mori-Tanaka 模式示意圖 圖3-2 直接與延伸 Mori-Tanaka 模式示意圖[74]
(a) 三相複合材料示意圖 (b) 延伸雙內含物模式 圖3-3 雙內含物模式示意圖[62]
本文選用的近似方法為雙層法，其為Friebel 等人於 2006 年提出用於求解黏彈性 複合材料之方法[10]。如圖 3-4 所示，其想法在於先將核層與殼層當作雙相複合材料 來處理(稱為深層 deepest level)，接著再與母材(matrix)一起當作雙相複合材料來近似 (稱為高層 highest level)，得到最終三相複合材料之等效性質。
40
圖3-4 雙層法(Two-level recursive scheme)示意圖[10]
三相複合材料示意圖如圖3-1，核的材料性質為Lc、殼層的材料性質為Ls、母 材的材料性質為L 、殼層的內徑為 a，外徑為 b，如圖 3-1 所示，在此設定半徑比m a b， 故假設內含物(核+殼層)體積比為 f 的情況下：
3 3 ,c a b f f
f
1
3
1 3 ,s ab f f
f
其中 fc為核之體積比， fs為殼層之體積比。
在深層(deepest level)時，從 Mori-Tanaka 模式得到核與殼層之等效性質：
3
c s
c ,s c
s c s c
c s
*
sc MT MT
f f
f L L A L L L A
L
L
(3.1)
*
Lsc即為核與殼層之等效性質
s c c
1,c c
dilute dilute
MT A f I f A
A (3.2)
c s
1,1 s c c
I S L L L
Adilute (3.3)
其中Sc為利用核之幾何形狀以及殼層材料係數Ls求得之廣義Eshelby 張量。
接著再將等效的內含物L*sc置入原母材(高層 highest level)，再以 Mori-Tanaka 模式
41
得到最終三相複合材料之等效性質：
m
sc ,* sc s c m
* L f f L L AMT
L (3.4)
m ( c s) sc
1,sc sc
dilute dilute
MT A f I f f A
A (3.5)
I S L L L
.Ascdilute sc m1 sc m 1 (3.6)
其中Ssc 為利用內含物之幾何形狀以及母材材料係數L 求得之廣義 Eshelby 張量。 m
3-1-1 壓電/壓磁/壓磁複合材料 (BTO(LNO)/CFO/TD)
壓電/壓磁/壓磁三相複合材料的磁電耦合效應，其中所選用的材料，核為BaTiO3
(BTO)、殼層為 CoFe2O4 (CFO)、母材為 Terfenol-D (TD)。
圖3-5 表示不同的半徑比 下，對應不同的內含物體積比所得之磁電電壓係數
11 ,
E 、圖3-6 為磁電電壓係數E,33，E,11與E,33均是隨著半徑比 增加，磁電耦合效 應也漸漸增加，其最大值出現在半徑比 =0.8 時，此時核的體積比
f ffc 0.8 3 0.512 ，表示核與殼層之體積約在內含物一半左右時最佳。
若將三相複合材料BTO/CFO/TD 與對應的雙相複合材料 BTO/TD 之E,11與E,33 比較，發現三相複合材料的E,11之極值為-6.8 V/cmOe 比起雙相複合材料的E,11之極 值-1.7V/cmOe 提高了約四倍；三相複合材料的E,33之極值-5.5 V/cmOe 比起雙相複 合材料的E,33之極值-3.2V/cmOe 提高了約 1.7 倍。表示三相複合材料在增加 CFO 殼 層後比雙相複合材料可得到更大的磁電耦合效應。
圖3-7 為三相複合材料 BTO/CFO/TD 在半徑比 為0.8 時之等效材料係數求解結 果與有限元素分析比較，顯示雙層法的求解結果與有限元素分析是相同的。
42
圖3-5 E,11與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(BTO/CFO/TD)
圖3-6 E,33與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(BTO/CFO/TD)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 BTO/CFO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,11 (V/cmOe)
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 BTO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8 FEM BTO/TD
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 BTO/CFO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,33 (V/cmOe)
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 BTO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8 FEM BTO/TD
43
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
C*11
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Coefficients (C/m2)
e*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2/N m2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Coefficients (N/Am)
q*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2/C2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
*11
*33 FEM *11 FEM *33
44
為了找出壓電/壓磁/壓磁複合材料合適之材料搭配，以核：BTO、殼層：CFO、
母材：CFO 之材料係數為基礎，乘上不同的倍數來放大與縮小材料係數。依序改變彈 性係數C、壓電係數e與壓磁係數q 、介電係數κ 與磁導率 μ ，以尋找最合適之材料
搭配，其結果於附錄A。每張圖將母材材料係數固定，水平軸與垂直軸分別是核與殼
層相對之材料性質，等高線圖代表磁電電壓係數E,11與未變動材料係數之磁電電壓係 數E0,11之比值。
綜合附錄A-1，發現降低壓電材料的介電係數以及選擇彈性係數與磁導率較低的 母材能提升磁電電壓係數，因此從現有的材料中選擇核：LiNbO3 (LNO)、殼層：CFO、
母材：TD，此搭配係因為 LNO 擁有較低的介電係數，母材 TD 擁有較小的彈性係數 與磁導率，經雙層法分析後得到的結果如預期一樣，E,11隨著半徑比γ提高而增加，
最大值出現在半徑比γ=0.8 時；E,33最大值則是出現在半徑比γ=0.9 時，E,11之極 值增加到-38 V/cmOe (圖 3-8)，比起 BTO/CFO/TD 之E,11極值-6.8 V/cmOe(圖 3-5)增 加了5.6 倍；E,33之極值也從BTO/CFO/TD 之-5.5 V/cmOe(圖 3-6)增加了 2 倍到 LNO/CFO/TD 之-11V/cmOe(圖 3-9)，同時磁電耦合效應也比雙相複合材料 LNO/TD 的E,11極值-9V/cmOe 與E,33極值-6.5V/cmOe 來的佳。
圖3-10 為三相複合材料 LNO/CFO/TD 在半徑比 為0.8 時之等效材料係數求解 結果與有限元素分析比較，顯示雙層法的求解結果與有限元素分析是相同的。
45
圖3-8 E,11與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(LNO/CFO/TD)
圖3-9 E,33與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(LNO/CFO/TD)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5
0 LNO/CFO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,11 (V/cmOe)
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 LNO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8 FEM LNO/TD
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-12 -10 -8 -6 -4 -2
0 LNO/CFO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,33 (V/cmOe)
= 0.2
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 LNO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8 FEM LNO/TD
46
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
C*11
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Coefficients (C/m2)
e*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2/N m2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Coefficients (N/Am)
q*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2/C2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
*11
*33 FEM *11 FEM *33
47
3-1-2 壓磁/壓電/壓磁複合材料 (CFO/BTO(LNO)/TD)
在壓磁/壓電/壓磁三相複合材料中，選擇核為CFO、殼層為 BTO、母材為 TD，
此配置把壓電材料放在殼層位置，結果如圖3-11 與圖 3-12 所示，E,11與E,33極值皆 出現在半徑比
=0.9 時，表示當殼層越薄時，磁電耦合效應越高，E,11極值為 -4.6V/cmOe 與E,33極值為-5.5V/cmOe，均比雙相複合材料 BTO/TD 之極值E,11為 -1.7V/cmOe，E,11極值為-3.2V/cmOe 來的佳。圖3-11 E,11與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/BTO/TD)
圖3-12 E,33與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/BTO/TD)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0 CFO/BTO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,11 (V/cmOe)
BTO/TD
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM BTO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
CFO/BTO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,33 (V/cmOe) BTO/TD
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM BTO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
48
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
C*11
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Coefficients (C/m2)
e*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2/N m2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Coefficients (N/Am)
q*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2/C2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
*11
*33 FEM *11 FEM *33
49
由附錄A-2 歸納，將壓電部份替換成介電係數較低的 LNO，經雙層法求解後得 到圖3-14 與圖 3-15，E,11極值增加到-17V/cmOe(圖 3-14)，比 CFO/BTO/TD 之E,11極 值-4.6 V/cmOe(圖 3-11)增加了 3.7 倍，也比雙相複合材料 LNO/TD 之E,11極值 -9V/cmOe 還高；E,33極值為-7V/cmOe，與 CFO/BTO/TD 之E,33極值-5.5V/cmOe 以 及LNO/TD 之E,33極值-6.5V/cmOe 相比，並沒有大幅增加。
圖3-14 E,11與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/LNO/TD)
圖3-15 E,33與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/LNO/TD)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
0 CFO/LNO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,11 (V/cmOe)
LNO/TD
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM LNO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
CFO/LNO/TD
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient * E,33 (V/cmOe) LNO/TD
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM LNO/TD FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
50
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
C*11
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Coefficients (C/m2)
e*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2/N m2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Coefficients (N/Am)
q*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2/C2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
*11
*33 FEM *11 FEM *33
51
3-1-3 壓磁/壓磁/壓電複合材料 (CFO/TD/BTO(PVDF,LNO))
壓磁/壓磁/壓電複合材料首先以核：CFO、殼層：TD、母材：BTO 做分析，如圖 3-17 與圖 3-18 所示，磁電電壓係數E,11隨著半徑比γ提高而增加，表示殼層越薄也 就是體積比越小時，磁電耦合效應越好，E,33則在半徑比γ=0.8 時磁電耦合效應最佳。
與不含殼層之雙相複合材料CFO/BTO(圖 3-19)比較，E,11極值由-2.1V/cmOe 增加至 -3V/cmOe，增加約 1.4 倍；E,33極值由1V/cmOe 增加至-1.22V/cmOe，增加約 1.2 倍；
與不含殼層之雙相複合材料TD/BTO 比較，E,11極值為-1.4V/cmOe、E,33極值為 0.98V/cmOe，其磁電耦合效應均比三相複合材料 CFO/TD/BTO 還要低。表示三相複 合材料比雙相複合材料的配置佳。
圖3-20 為三相複合材料 CFO/TD/BTO 於半徑比 為0.8 時之等效係數，可顯示在 磁電係數上以雙層法求得的結果與有限元素分析有較大的誤差，但在等效彈性係數、
等效介電係數、等效磁導率、等效壓電壓磁係數上，雙層法求得的結果就與有限元素 分析相同。
圖3-17 E,11與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/TD/BTO)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0 CFO/TD/BTO
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient E* ,11 (V/cmOe)
TD/BTO
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM TD/BTO FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
52
圖3-18 E,33與半徑比γ及內含物體積比 f 之關係(CFO/TD/BTO)
圖3-19 內含物 CFO 母材 BTO 之磁電電壓係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0 CFO/TD/BTO
Volume Fraction of Inclusion ME Voltage Coefficient E* ,33 (V/cmOe)
TD/BTO
= 0.4
= 0.6
= 0.8
= 0.9 FEM TD/BTO FEM = 0.4 FEM = 0.6 FEM = 0.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
CFO/BTO
CoFe2O4 Volume Fraction
ME Voltage Coefficients (V/cmOe)
*E,11
E*,33 FEM *E,11 FEM *E,33
53
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
C*11
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Coefficients (C/m2)
e*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2/N m2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Coefficients (N/Am)
q*15
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2/C2)
*11
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
*11
*33 FEM *11 FEM *33
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由附錄A-3 歸納得到最適合壓磁/壓磁/壓電之材料配置，是將壓電相替換成彈性
由附錄A-3 歸納得到最適合壓磁/壓磁/壓電之材料配置，是將壓電相替換成彈性