功能性漸變材料(Functionally Graded Material, FGM)為近年來在智能材料領域受 到廣泛注意的一種材料，其特性是材料性質會沿著方向連續梯度變化，在本章節中將 功能性漸變材料設置於顆粒狀內含物與母材之間，內含物設定為BaTiO3(BTO)，母材 設定為CoFe2O4(CFO)，功能性漸變材料其材料性質為介於內含物與母材之間，其材 料性質可分為材料性質隨著半徑變化產生線性(Linear)變化；或是材料性質隨著半徑 變化產生指數(Exponential)變化。
分析方法是採用有限元素分析，數值計算得到的等效性質會與雙相複合材料 (BTO/CFO)相互比較，同時也會比較雙相複合材料與功能性漸變複合材料之電勢能、
電場、磁勢能分佈。
4-1 功能性漸變材料
功能性漸變材料其設計概念為，在兩種不同材料之間，增加另外一種材料其材料 性質是介於兩者之間，透過連續改變材料的組成與得到過渡性的中間材料。能使兩種 相異材料的結合能抵抗材料破壞的情形產生，其早期運用在航太上做為太空梭的表面 材料，以抵抗因為高溫造成內外膨脹係數不同而造成的破壞。
與智能材料相關的功能性漸變材料研究有Reddy 和 Cheng[76]發表功能性漸變金 屬材料與壓電材料層狀複合材料的三維理論解；Zhong 與 Shang [77]發表功能性漸變 壓電平板在簡單支承下的三維解析解；Ray 與 Sachade [78]假設漸變之楊氏系數與 PZT-5H/epoxy 之層狀複合材料的有限元素分析。其目的皆是為了讓壓電材料能夠承受 大的變形，以及消除兩層不同極化方向之壓電材料交界面造成應力集中的現象。
功能性漸變材料於多鐵性複合材料的研究有Pan 與 Han[79]假設漸變材料成指數 變化之層狀壓電壓磁複合材料在施加不同物理場之理論解。在研究磁電效應方面，
Petrov 與 Srinivasan [80]使用線性變化的 PZT 及 NZFO(Ni-Zn ferrite)層狀複合材料之
101
磁電效應，結果顯示壓電壓磁材料的漸變性質對於磁電效應有提高的效果；Wang 等 人[81]發表多層狀功能性漸變多鐵性複合材料的等效性質，其假設線性及指數兩種材 料漸變特性，結果顯示漸變的壓電壓磁材料對於磁電電壓係數有提升的效果。
4-2 功能性漸變複合材料設計模型
本文所設計的複合材料是將雙相複合材料(BTO/CFO)之間，配置功能性漸變材料 其性質是介於內含物與母材之間，也就是第三章中含有殼層的三項複合材料，把殼層 替換為功能性漸變材料，材料性質會隨著殼層厚度r的增加材料性質由BTO 漸漸變 成CFO。在這樣功能性漸變材料的假設下，材料的變化因子 則在每個材料係數都 會有不同的變化值。
圖4-1 功能性漸變複合材料示意圖
4-2-1 線性變化的功能性漸變材料
材料性質線性變化隨著殼層厚度 不同而改變，其材料分布為： r
a r b
L L L
r
LiJMn iJMn iJMn iJMn Δ )
(
) ) (
Δ (
c
c m
, (4.1)
102
其中上標m 代表母材之材料係數，上標 c 代表核之材料係數，中括號內即為材料的變 化率，不同的係數會有不同的變化率，有正變化率也有負變化率，此假設方式使功能 性漸變材料介於內含物BTO 與母材 CFO 之間。
表4-1 BTO 與 CFO 材料係數
BTO (LciJMn ) CFO (LmiJMn)
對稱性 6mm 6mm
C11(GPa) 150.37 286
C12(GPa) 65.63 173
C13(GPa) 65.94 170.3
C33(GPa) 145.52 269.5
C44(GPa) 43.86 45.3
C66(GPa) 42.37 56.5
e31(C/m2) -4.32 0
e33 (C/m2) 17.36 0
e15 (C/m2) 11.4 0
q31 (N Am) 0 580.3
q33 (N Am) 0 699.7
q15 (N Am) 0 550
11 (109C2/N m2) 9.87 0.08
33(109C2/N m2) 11.08 0.093
11(106N s2/C2) 5 590
33(106N s2/C2) 10 157
4-2-2 指數假設的功能性漸變材料
材料性質隨著殼層厚度 的增加，增加率成指數分布： r ),
( exp )
( ciJMn iJMn
iJMn r L r
L (4.2)
( )
,exp m
c
iJMn iJMn
iJMn b a L
L (4.3)
其中iJMn即為材料的變化率，因此
103
104
(a) 簡單立方建模 (b)面心立方建模 圖4-2 有限元素簡單立方與面心立方建模
前述之假設方式為簡單立方建模內含物的中心點為原點(0,0,0)如圖4-2a，但是在 計算等效性質時，需要的是面心立方建模如圖4-2b 所示。其兩者之間的設定觀念是 相同的，差別為每個內含物的中心都需設定一個參考點，圖4-2a 的簡單立方模型只 需設定一個參考點即原點，但圖4-2b 面心立方模型在立方體的八個頂點以及六個面 的中心均需設置參考點，共14 個點。
所以設定方式更動為：
1. 設定一常數a，其值為殼層內徑之值。
2. 設定常數x1、y1、z1、x2、y2、z2 至 x14、y14、z14 共 42 個常數，其值為 14 個參考點之位置點。
3. 因為有14 個參考點，故表示式也會有 14 條，依序為 1r 、 2r 至 4r1 ，其為：
2 2
2 ( 1) ( 1)
) 1 (
1 x x y y z z
r ,
2 2
2 ( 2) ( 2)
) 2 (
2 x x y y z z
r ,
至r14 (xx14)2(yy14)2(zz14)2 .
4. 最後r1a、r2a等...即為殼層厚度 r ，即可設定材料性質為漸變。
105
4-3 線性變化的功能性漸變材料等效性質
有限元素分析建模是採用半徑比 為0.6 的三相複合材料，殼層的部分為功能性漸 變材料(FGM)，其等效性質如圖 4-3 至圖 4-9 所示。與有限元素數值結果相比較的為雙 相複合材料使用Mori-Tanaka 模式的分析結果，結果顯使用線性變化的 FGM 最為中間 材料，磁電電壓係數相對於雙相複合材料之磁電電壓係數，並沒有顯著的增加。
圖4-3 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效彈性係數
圖4-4 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效介電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 50 100 150 200 250 300
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
MT BTO/CFO C*11 MT BTO/CFO C*33 MT BTO/CFO C*13 MT BTO/CFO C*12 MT BTO/CFO C*44 FEM BTO/FGM/CFO C*11 FEM BTO/FGM/CFO C*33 FEM BTO/FGM/CFO C*13 FEM BTO/FGM/CFO C*12 FEM BTO/FGM/CFO C*44
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x 10-9
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2 /N m2 )
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO 11 FEM BTO/FGM/CFO 33
106
圖4-5 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效磁導率
圖4-6 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效壓電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
x 10-4
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2 /C2 )
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO *11 FEM BTO/FGM/CFO *33
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Constants (C/m2 )
MT BTO/CFO e*15 MT BTO/CFO e*31 MT BTO/CFO e*33 FEM BTO/FGM/CFO e*15 FEM BTO/FGM/CFO e*31 FEM BTO/FGM/CFO e*33
107
圖4-7 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效壓磁係數
圖4-8 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之等效磁電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 100 200 300 400 500 600
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Constants (N/Am) MT BTO/CFO q*15 MT BTO/CFO q*31 MT BTO/CFO q*33 FEM BTO/FGM/CFO q*15 FEM BTO/FGM/CFO q*31 FEM BTO/FGM/CFO q*33
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5 -4 -3 -2 -1
0x 10-10
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Modulus (Ns/VC)
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO *11 FEM BTO/FGM/CFO *33
108
圖4-9 半徑比 0.6 殼層為線性變化 FGM 之磁電電壓係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5 -1 -0.5 0
Volume Fraction of Inclusion
ME Voltage Coefficients (V/cmOe)
MT BTO/CFO *E,11 MT BTO/CFO *E,33 FEM BTO/FGM/CFO *E,11 FEM BTO/FGM/CFO *E,33
109
4-4 指數變化的功能性漸變材料等效性質
有限元素分析一樣採用在半徑比 為0.6 時，殼層為功能性漸變材料，其指數變 化FGM 之磁電電壓係數(圖 4-16)，較線性變化 FGM 之磁電電壓係數(圖 4-9)來的高。
圖4-10 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效彈性係數
圖4-11 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效介電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 50 100 150 200 250 300
Volume Fraction of Inclusion
Effective Elastic Constants (GPa)
MT BTO/CFO C*11 MT BTO/CFO C*33 MT BTO/CFO C*13 MT BTO/CFO C*12 MT BTO/CFO C*44 FEM BTO/FGM/CFO C*11 FEM BTO/FGM/CFO C*33 FEM BTO/FGM/CFO C*13 FEM BTO/FGM/CFO C*12 FEM BTO/FGM/CFO C*44
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x 10-9
Volume Fraction of Inclusion Effective Dielectric Permittivity (C2 /N m2 )
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO *11 FEM BTO/FGM/CFO *33
110
圖4-12 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效磁導率
圖4-13 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效壓電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
x 10-4
Volume Fraction of Inclusion Effective Magnetic Permeability (Ns2 /C2 )
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO *11 FEM BTO/FGM/CFO *33
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Volume Fraction of Inclusion Effective Piezoelectric Constants (C/m2 )
MT BTO/CFO e*15 MT BTO/CFO e*31 MT BTO/CFO e*33 FEM BTO/FGM/CFO e*15 FEM BTO/FGM/CFO e*31 FEM BTO/FGM/CFO e*33
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圖4-14 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效壓磁係數
圖4-15 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之等效磁電係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 100 200 300 400 500 600
Volume Fraction of Inclusion
Effective Piezomagnetic Constants (N/Am)
MT BTO/CFO q*15 MT BTO/CFO q*31 MT BTO/CFO q*33 FEM BTO/FGM/CFO q*15 FEM BTO/FGM/CFO q*31 FEM BTO/FGM/CFO q*33
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-5 -4 -3 -2 -1
0x 10-10
Volume Fraction of Inclusion
Effective Magnetoelectric Constants(Ns/VC)
MT BTO/CFO *11 MT BTO/CFO *33 FEM BTO/FGM/CFO *11 FEM BTO/FGM/CFO *33
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圖4-16 半徑比 0.6 殼層為指數變化 FGM 之磁電電壓係數
4-5 結果與討論
由圖4-17 所示，有限元素分析結果為 FGM 在指數變化下之磁電電壓係數E,11比 線性變化下來的高。E,33則是雙相複合材料BTO/CFO 較高，FGM 在線性變化下次 之，在指數變化下最差。
圖4-17 半徑比 0.6 殼層不同變化下之磁電電壓係數
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Volume Fraction of Inclusion
ME Voltage Coefficients (V/cmOe)
MT BTO/CFO *E,11 MT BTO/CFO *E,33 FEM BTO/FGM/CFO *E,11 FEM BTO/FGM/CFO *E,33
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Volume Fraction of Inclusion
ME Voltage Coefficients (V/cmOe)
MT BTO/CFO *E,11 MT BTO/CFO *E,33
FEM BTO/FGM/CFO *E,11 (linear) FEM BTO/FGM/CFO *E,11 (exponential) FEM BTO/FGM/CFO *E,33 (linear) FEM BTO/FGM/CFO *E,33 (exponential)
113
本節使用三相複合材料的有限元素模型，將殼層配置FGM 材料，以及雙相複合 材料的有限元素模型，經由有限元素建模分析得到其兩著的數值結果，比較其電勢能、
磁勢能以及電場分佈。
由圖4-19 電勢能分佈以及圖 4-21 電場分佈所示，電勢能以及電場在功能性漸變 材料上也會呈現漸變分佈。其中指數變化的FGM 材料漸變分佈比線性變化的 FGM 明顯。
圖4-20 為磁勢能分佈，發現雙相材料磁勢能極值是出現在內含物與母材之間的 交界面(圖 4-20a)，線性 FGM 材料其磁勢能極值分別出現在內含物與 FGM 材料以及 FGM 材料與母材的交界面上(圖 4-20b)，指數 FGM 材料其磁勢能極值出現在內含物 與FGM 材料之間(圖 4-20c)。由漸變的物理量來觀察，指數 FGM 材料應較接近實際 物理行為。
施加x 方向電場1 1V m
在週期性邊界條件上設定1V 的梯度變化，作用在邊長為 1m 的立方體上即為 電場1V m 。擷取的剖面資料為x 面：1x2 x30.5, 0.5x1 0.5, 0.5x2 0.5,之 剖面(如圖 4-18)
圖4-18 施加x 方向電場1 1V m之x 剖面 1x2
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(a) 雙相複合材料
(b) 線性 FGM 之三相複合材料
(c) 指數 FGM 之三相複合材料
圖4-19 施加x 方向電場1 1V m 電勢能分佈
115
(a) 雙相複合材料
(b) 線性 FGM 之三相複合材料
(c) 指數 FGM 之三相複合材料
圖4-20 施加x 方向電場1 1V m 磁勢能分佈
116
(a) 雙相複合材料
(b) 線性 FGM 之三相複合材料
(c) 指數 FGM 之三相複合材料
圖4-21 施加x 方向電場1 1V m 電場分佈
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