二元一次方程式解題正確及錯誤百分比

. 本研究使用「二元一次方程式單元測驗」施測試卷來調查學生在此

單元的學習情形，將二元一次方程式依教學內容區分為化簡（第（1）、

（3）、（4）題）、解聯立（第（2）、（5）題）、列式（第（7）、（11）題）、

解文字題（第（6）、（8）、（9）、（10）題）四類，先在表 4-1 列出所有題 型之正確與錯誤百分比統計，之後再綜合所有施測資料，並逐題表列三 所施測學校之正確答題百分率、錯誤答題（有作答但錯誤）百分率及空 白（未作答）百分率統計表於附錄 E，於本節依不同類別作初步之歸納及 分析。

表 4-1 所有題型答題正確與錯誤百分比統計

題號 正確答題率 錯誤答題率 空白率 二元一次方程

式之化簡（化 簡）

(1)(3)(4) 66.34 20.93 12.73

解二元一次聯 立方程式（解聯 立）

(2)(5) 75.85 15.75 8.40

依照題意列出 二元一次方程 式（列式）

(7)(11) 68.36 23.85 7.79

二元一次方程 式之文字題（解 文字題）

(6)(8)(9)(10) 63.41 15.83 20.76

合計 67.98 18.62 13.39

一、 「化簡」類別

根據附錄 E 之表 E-1，在「化簡」類別共 3 題，其中第（4）題在 檢驗同學在文字題轉譯為二元一次方程式並求解的歷程中概念之理解程 度，第（3）題測驗同學在二元一次方程式中的化簡及運算，第（1）題

則是實際問題的解決。

在「化簡」類別的整體解題正確率上，研究者發現第（1）題不需解 方程式，只要對已知代數式（3 包餅乾和 2 個麵包）和未知代數式（6 個 麵包和 9 包餅乾）之間的倍數關係有概念即可，較為容易，有接近 8 成的 同學能正確解題（79.7﹪）。第（3）題是有關二個未知數所組成的代數式 在等式中的化簡，因為涉及分數整數的混合四則，還需要指數律的運算概 念，再加上最後要求的是 x-y，而不是單一未知數，對很多同學來說較為 複雜，能夠正確解題者僅佔 51.2﹪。

空白率部分則發現，第（1）題相當低，只有 2.4％，表示題意清楚不 複雜，多數同學均樂於嘗試解題。但是第（3）（4）題空白率相對偏高，

尤其第（4）題有 3 個未知數，研究者發現，題目若有 2 個以上未知數時，

往往會讓同學對列式感到困惑，會因不知如何下手而空白。

二、 「解聯立」類別

根據附錄 E 之表 E-2，在「化簡」類別共 2 題，其中第（2）題測試 同學對何謂方程式解之基本概念理解，第（5）題則測驗同學是否能自行 運用計算策略來解二元一次聯立方程式。

在「解聯立」類別中發現，此類型的 2 題雖然同樣都是解基本的二 元一次聯立方程式，但是第（2）題可以用選項代入的方式找解，同學只 需要有整數四則運算基礎即可，較為容易，正確率達 87.4％；相對的第

（5）題需要運用等量公理先化為整數方程式，再利用加減消去法或代入 消去法解 x、y，最後還要再作絕對值運算，除非有完整解聯立方程式的 概念，否則不容易求出答案，正確率明顯較低，只有 64.3％。

錯誤率約介於 10％~20％之間，顯示同學對於解二元一次聯立方程式 的步驟及方式並不陌生，也可以解釋為從國一到國三，2 年的練習較為足 夠，已由生手漸漸轉變為專家。空白率約 2﹪~15﹪，顯示同學有心求解，

且大部分也均有解二元一次聯立方程式的能力。因為題目是清楚的計算題 型，不會產生解讀文字的錯誤，所有的錯誤均出現在計算過程之中。

三、 「列式」類別

根據附錄 E 之表 E-3，在「列式」類別共 2 題，這 2 題均是在測驗同 學是否能由實際具體情境中列出二元一次聯立方程式，以選擇題型態呈 現，除了測驗同學對文字是否有足夠的轉譯能力外，能否清楚分辨變數間 數量相對關係的改變，也是這 2 題的重點。

本類別之正確率約在 65％~71％之間，因為是單純的列方程式題，不 需任何計算過程，只需正確解讀題意並分析其數字變化型態，即可選擇正 確之二元一次聯立方程式。同學的錯誤大多出現在解讀文字並轉譯、整合 到列方程式的過程，尤其在數量的相對關係上（哥哥給弟弟紀念卡，哥哥 減少的張數會等於弟弟增加的張數），更容易混淆。而空白率約在 5﹪~11

﹪之間，研究者認為此二題題意清楚，題目中也已假設好未知數，解讀不

困難，不過因為有較多的數據及敘述呈現在題目中，如果同學沒耐性思考 或分析，就會不想作答，但是因為題目設計為選擇題，同學即使不會做也 大多會任意猜一個答案，所以空白比率並不高。

四、 「解文字題」類別

根據附錄 E 之表 E-4，在「解文字題」類別中共 4 題，其中第（8）、

（9）題，題目敘述較單純，主要在測驗同學在基本文字題中從假設、列 式、解方程式等完整過程的運算概念；第（6）及第（10）題敘述則較為

繁雜，同學必須有較佳的文字轉譯及整合能力，才能順利解決問題。

在「解文字題」類別中發現，正確率部分，各題間差距相當大，計 算協力車有幾輛，題意簡單清楚的第（8）題可達 74.9％，而敘述複雜，

條件、數據較多的第（10）題則只有 46.9％。顯示雖然都是文字題，但 題目解讀的難易度對同學解題仍然有相當大的影響。

其中錯誤率最高的第（10）題，是有關網咖收費及時間關係的一題，

除了題目敘述複雜之外，題目中需要解讀另一個表格，並且使用 s、t 來 假設未知數，對於大多數習慣用 x、y 來解聯立方程式的同學，不同字母 所代表的未知數也會造成概念上的混亂。其餘各題之錯誤率差異較小，

都是將要求的變數以傳統的 x、y 來假設，然後以題目敘述的方式直接轉 譯為二元一次方程式，再解題即可。研究者發現在此類型中的錯誤主要

方程式一連串的解題歷程）的關係，從施測後的晤談中發現，很多同學 的反應是”看不懂”、”不知如何列式”、或是作到一半就接不下去，對同學 而言，有較多的迷思概念。

另外（6）、（8）、（9）這 3 題也可以只假設一個未知數，用一元一次 方程式來解，但想到的同學很少。研究者認為主要原因應該是整份試題 表明為二元一次方程式試題，所以即使是不會列出二元一次方程式的同 學，也很難將解題方式聯結到一元一次方程式，多半就直接放棄（空白）。 這種僵化的思考方式往往在同學解題上造成困擾，我們常常強調數學解 題不只一種方法，可是在實際教學中，為了使同學熟練解題技巧以應付 考試，在某些單元所產生的過度學習，卻往往會扼殺了其他更有趣，更 特別的思考型態。

第二節 二元一次方程式單元解題策略研究

一、策略之歸類

研究者對於所有學生解題正確的策略部分之歸類，係參考 Kieran

（1992）有關學生解方程式之解題策略，Schoenfeld（1985）的解題啟發 策略，吳德邦、吳順治（1989）所歸納之學生解題策略，以及研究者本身 在教學活動中所發現之學生常用之解題策略，可分為「方程式計算題」及

「代數文字題」兩大項，研究者又發現，學生解題時經常會合併使用 2

個以上策略，而其中代數文字題因為包含解讀、列式及解方程式，所以其 解題策略也包含方程式計算題之解題策略。現將歸納後的策略分類敘述如 下：

（一） 「方程式計算題」之解題策略

（1）覆蓋法：將一個較複雜的代數式視為一個新的未知數來運算，解出 後再代回原方程式。

（2）等量公理：國中一年級學習方程式前已經教導過的先備知識。指等 號的兩邊同加（減、乘、除）一數，其等值關係不變。（但必須注 意同乘或同除的數不得為零）

（3）移項法則：由等量公理導出之運算法則。

（4）代入消去法：解二元一次聯立方程式常用的方法之ㄧ，將其中 1 個 未知數以另 1 個未知數組成的代數式代入以求解的方法。

（5）加減消去法：解二元一次聯立方程式常用的方法之ㄧ，將 2 個方程 式以相加或相減的方式消去 1 個未知數以求解的方法。

（6）嘗試錯誤法：以不同數字嘗試代入至求得正確答案為止。

（二） 「代數文字題」之解題策略

（1）~（6）在計算過程中，與以上「方程式計算題」相同之解題策略。

（7）製表法：將題目數據以表格形式列出，以協助解題。

（8）化簡並變形：將較長的式子或較多的數據先行合併，簡化為較短的

方程式或改變其形式來解題。

（9）算式之理解：理解變數之間的和、差、倍數或其他關係，並運用此 關係解題。

（10）組織並列式：在此單元中定義為組織題目中有用數據，並將其列 為二元一次方程式以求解。

（11）邏輯推論：利用其他與二元一次方程式無關的邏輯概 念推論並解 得正確答案。

（12）減少變數：只用一個未知數假設、列式、並解出正確答案。

（13）其他。

二、 逐題探討學生作答情形及解題策略

除了第 2、7、11 題為選擇題，無法看出學生用來解題的方式或策略，

在此節不予討論外，其餘各題依教學內容區分為化簡（第（1）、（3）、（4）

題）、解聯立（第（5）題）、解文字題（第（6）、（8）、（9）、（10）題）三 類別（列式類別因均為選擇題，無法討論），且就計算題型及文字題型之 解題策略分別加以歸納分析並以表格呈現，因為其中有些同學使用策略不 只一種，故策略數總和不一定等於正確解題人數。當同學所運用的解題策 略較為特殊時，將附上實際計算過程，以便能更清楚的檢視及探討其思考 型態：

一 、 「 化 簡 」 類 別

（1）某 商 店 促 銷 活 動 ，買 3 包 餅 乾 和 2 個 麵 包， 僅 需 105 元 。 若 小 芬 至 此 商 店 購 買 6 個 麵 包 和 9 包 餅 乾 ， 付 500 元 鈔 票 一 張 ， 應 可 找 回 多 少 元 ？ 表 4-2-1 第 （ 1） 題 所 使 用 的 解 題 策 略

A 校 B 校 C 校 合計 覆蓋法 68 54 40 162

組織並列式 57 35 34 126

算 式 之 理 解 11 19 6 36

猜測及嘗試 0 2 1 3

在本題中，同學使用的解題策略可分為 1、 覆蓋法及組織並列式（共 126 人）

此種策略組合運用最廣泛，將 3 包餅乾及 2 塊麵包合併為一個代數 式，再分析之後的 9 包餅乾加 6 塊麵包為前者的 3 倍，不計算餅乾及麵包 的價格，就可得到500−105×3之正確答案。

2、覆蓋法及算式之理解（共 36 人）

採用此策略的同學和前面策略最大的差別在於他們理解題意之後，完 全不使用未知數，直接以 105 乘以 3 作為總價，再用 500 去減，就可以得 到正確答案，是最簡單的計算過程。

3、猜測及嘗試（共 3 人）

採用此種策略的同學將餅乾、麵包以符合題意之數字代入，在過程上 並不完全正確，但可以得到同樣答案。