國中三年級學生二元一次方程式解題策略及錯誤類型之研究

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國立中山大學教育研究所碩士在職專班 碩士論文

國中三年級學生二元一次方程式解題策略及錯誤類型之研究

研究生：李憶琴撰 指導教授：梁淑坤

中華民國 96 年 6 月

誌 謝

本論文之完成，衷心感謝恩師梁淑坤教授的悉心指導與鼓勵。梁老 師的言教及身教，給予我非常多的啟示。老師從無到有，包含提供文獻 資料、幫我們建立正確觀念架構、以迄論文之撰寫，不斷地予以啟迪，

更對初稿逐字斧正，使得本論文得以順利完成，師恩浩瀚無垠，我會一 生感念。此外，口試老師楊淑晴教授、溫武男教授也給予許多寶貴的建 議與指正，在此致以最深的謝意。

感謝學校裡諸多好同事給我的配合與協助，使我的學業得在二年內 順利完成，併此申謝。另外孟惠和榮達則是這段期間配合度最佳的同窗 兼戰友，在教學心理學這門課中的通力合作，是一輩子難忘的回憶。姿 伶姐姐的努力及執著，則給了我很多的啟示與勇氣，一起拼論文的梁門 師兄弟，還有其他共同奮戰二年的同學，若沒有你們的陪伴，我一定會 走得更辛苦，特此一併致謝。

當然，我親愛的爸爸媽媽、婆婆和家人的鼓勵與支持是功不可沒 的，尤其我親愛的公，雖然長期不在身邊，但他給我的心理支持大於一 切，還有二個可愛的寶貝，俊呈和品萱，他們無限的包容我這個壞脾氣 的媽咪，尤其是在沒日沒夜拼功課和論文的日子裡，沒有他們的乖巧和 懂事，就不會有今天的成果。衷心感謝所有愛我、及我愛的人，擁有你 們，我真的很幸福。

李憶琴謹識

 中山大學教育研究所

中華民國九十六年六月

國中三年級學生二元一次方程式解題策略 及錯誤類型之研究

摘要

本研究以基本學力測驗試題為藍本改編進行施測，分析 207 位國三 學生在二元一次方程式單元之解題策略及所出現的錯誤類型，再依據晤 談內容，探究學生可能出錯的原因。

研究結果發現學生在計算題策略中，主要運用加減消去法。文字題 則為組織並列式。計算題的錯誤類型主要為等量公理、分配律、及其他 概念如正負數四則運算、指數律、分數的特殊計算型態（如約分）等概 念上的錯誤。而文字題則以文字的轉譯和整合錯誤佔最多。經由晤談所 分析的錯誤原因，在計算題上包含新舊學習經驗的互相干擾；算術和代 數運算法則的混淆；或是以自行建構的錯誤概念計算等三項。而文字題 部份，則包含了語言能力不足；文字題的整合及監控上的能力不足；以 及解題策略有限，不會利用其他方法解題。

最後針對研究結果，提出三方面的建議，以作為未來研究之參考。

也希望本研究能幫助教師在教學方式及內容上更加生動多元，引發學生 學習興趣及提高師生互動品質，對學生的學習有所裨益。

關鍵字：二元一次方程式、解題策略、錯誤類型

A Study of Problem-Solving Strategies and Errors in linear equations with two

unknowns for Junior High School Students

Abstract

This research referred to Basic Competency Test from 2001 to 2006 to construct test and analyzed 207 ninth-graders’ problem-solving strategies as well as errors in solving linear equations with two unknowns. Furthermore, the investigator referred to the contents of interview, to investigate the factors that cause students’ mistakes.

Results shows that the main strategy for solving equations is 'to add and subtract the elimination approach', while for solving application problems is 'organizing side by side'. The errors for solving equations are mistaking concepts including Equality Axiom, etc. The errors for solving application problems are mostly concerned about the translation and holistic mistake.

Through analyzing data from interviews, the reasons for mistakes in solving equations are: mutual interference of experience; mixed up different

operation rules; or, solving a problem with the wrong concept built by themselves. The reasons for mistakes in solving application problems are:

insufficient language ability; the lack of the self-monitoring; and limitation in strategies for solving problems.

Finally, based on the results of this research, the researcher gave

suggestions in three aspects. Hopefully, this research can assist teachers to have more variety in teaching methods heading towards an aim to benefit in students’ learning.

Keywords：

Linear equations with two unknowns, Problem-solving strategies, Errors.

國中三年級學生二元一次方程式解題策略 及錯誤類型之研究

內容目次

第一章 緒論 ...…………...1

第一節 研究動機...…...1

第二節 研究目的與待答問題...…...5

第三節 名詞解釋...…...5

第四節 研究範圍及限制...…...7

第二章 文獻探討 ...…….…...…...8

第一節 文字符號概念 ...…... 8

第二節 方程式概念之相關研究………..…… 16

第三節 數學解題之相關研究 ………..…..….20

第三章 研究方法 ………26

第一節 研究對象...…...…...26

第二節 研究設計及工具 ...…... 27

第三節 實施步驟...……...35

第四節 資料處理...…...37

第四章 結果及討論 .………..…...……….…38

第一節 二元一次方程式解題正確及錯誤百分比 ... 38

第二節 二元一次方程式之解題策略研究 ………43

第三節 二元一次方程式之解題錯誤類型

61

第四節 二元一次方程式之解題錯誤原因分析

84

第五章 結論及建議 ………..…..…………..….…………. 99

第一節 研究結論………...……. 99

第二節 研究建議………...104

參考文獻 ……….….……….… 108

附錄 A 二元一次方程式單元測驗預試試卷 ...…...115

附錄 B 改編後試題與原基本學力測驗題之差異 ...121

附錄 C 二元一次方程式單元測驗正式施測試卷 ...131

附錄 D 晤談計畫 ……….………..135

附錄 E 學生在各類型中之解題正誤百分率統計表…… 137

附表目次

表 1-1 自 1977 至 2002 年 PME 代數研究的主要議題 ………...15

表 3-1 研究樣本班級之基本資料表...…...27

表 3-2 「二元一次方程式單元測驗」預試題目雙向細目表....…...31

表 3-3 「二元一次方程式單元測驗」正式試卷雙向細目表...….34

表 4-1 所有題型答題正確與錯誤百分比統計………...….39

表 4-2-1 第（1）題所使用的解題策略……….………46

表 4-2-2 第（3）題所使用的解題策略 ……...……..……… 47

表 4-2-3 第（4）題所使用的解題策略………48

表 4-2-4 第（5）題所使用的解題策略………51

表 4-2-5 第（6）題所使用的解題策略………53

表 4-2-6 第（8）題所使用的解題策略………55

表 4-2-7 第（9）題所使用的解題策略………56

表 4-2-8 第（10）題所使用的解題策略……….……….58

表 4-3-1 第（1）題所出現的錯誤類型………64

表 4-3-2 第（3）題所出現的錯誤類型………65

表 4-3-3 第（4）題所出現的錯誤類型………66

表 4-3-4 第（2）題所出現的錯誤類型………69

表 4-3-5 第（5）題所出現的錯誤類型………70

表 4-3-6 第（7）題所出現的錯誤類型………73

表 4-3-7 第（11）題所出現的錯誤類型……….……….74

表 4-3-8 第（6）題所出現的錯誤類型………76

表 4-3-9 第（8）題所出現的錯誤類型………77

表 4-3-10 第（9）題所出現的錯誤類型……….…….………79

表 4-3-11 第（10）題所出現的錯誤類型…….……….………..81

附圖目次

圖 2-1 《九章算術》中的方程組...17 圖 2-2 天元術中的方程式表示法... 18 圖 3-1 二元一次方程式之教材地位分析圖...28 圖 3-2 「二元一次方程式單元測驗預試」各題正確率統計圖..…32 圖 3-3 實施步驟流程圖...37

第一章 緒論

第一節 研究動機

記得有一次，在國三的班上出了一份考卷，內容是 35 題選擇題，但 是忘了配分，靈機一動，請同學幫忙算一算，每題 2 分或 3 分，滿分 100 分，那麼 2 分的有幾題﹖3 分的有幾題﹖這時只見底下愣了幾秒鐘，然後 有人怯怯的問：「老師，妳在說什麼﹖．．．」從這個小插曲中，我發現 了學生對於上課所學的數學知識和現實生活情境中所遇到的問題很難加 以連結，雖然學了那麼多年的數學，在遇到生活中所出現的實際問題時，

還是不知如何應用所學過的概念來解決，這實在是數學教育中很無奈的一 件事。

除了研究者在國內的教學經驗外，就其他國家而言，解決實際生活 情境中數學問題能力的重要性也相當受到重視。早在 1980 年，全美數學 教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）就在其 行動綱領中提出「問題解決（problem-solving）是 1980 年代裡數學教育 發展的重要焦點」，到 1989 年 4 月 NCTM 又公佈了數學課程及評量的標 準，其中解題擺在第一位。同樣的，我國教育部公佈的九年一貫數學領域 課程中，不管在總綱或是課程目標、分段能力指標，與上述 NCTM 一樣，

均強調要培養解決問題的能力。可見無論在國內或國外的觀點上，解題能 力在數學教育上的重要性，毋庸置疑。

民國 92 年公佈的九年一貫課程綱要中，將國中數學領域分為數和 量、幾何、代數、統計與機率、連結等 5 大主題，而在「代數」領域中，

由方程式衍生出來的觀念及題型，在以上 5 大主題中屢見不鮮，方程式是 其他許多數學概念的基礎，由此可見其重要性。有經驗的老師都知道，雖 然在國一上學期，同學們已經接觸了一元一次方程式，也對所謂文字符號 有了最基本的概念，但是大部份的同學只是用背誦的方式將解題方法記 住，然後再經由不斷的練習去熟練技巧，這種方式因為對未知數的涵義只 是一知半解，到國一下學期學習二元一次方程式時，便開始造成混淆不清 的狀況。

以上國內學生學習方程式的困難，在國外也有類似狀況。根據全美國 家教育進展評鑑（National Assessment of Educational Progress，NAEP）在 1992 年的研究中，歸納 13 至 17 歲學生的代數技能及理解情形，發現學生在解 方程式及利用文字符號列出方程式方面，均存在學習上的困難，顯示出學 生在學習文字符號時確實呈現較低成就（Carpenter et al., 1982），而且在未 知數個數增加時，此困難更加顯著。在加拿大，多數學生則認為代數的概 念及技巧是記憶性的，尤其是關於解方程式的學習（Kieran, 1992）。因為 學生在學習代數時，常被要求作一些零碎而沒有目的的練習，只是重複的 演練枯燥，無意義的題目，最後對於方程式的概念卻依然似是而非。

由上所述，無論在國內外，學生初學代數的時期，對於方程式的例

行性運算規則和概念之間的關係，始終無法區分得很清楚。所以學生在學 習方程式的解題時，如果一開始對於文字符號的概念和運算規則不夠清 楚，那麼類化到之後的一元一次及二元一次方程式時便會發生顯著的困 難。國中階段的二元一次方程式，除了是一元一次方程式的延續以外，也 會往後延伸到直角座標系中的直線方程式。其兼具代數和幾何的特質，是 很有趣也很重要的一個單元，研究者發現在實際教學中，同學在此會顯現 出迥然不同的解題風格，有的迅速確實，手到擒來，有的則是千迴百繞，

無所適從。這二者的差別主要在於解題時所運用的不同思考模式。

根據 Hiebert （1986）所著「數學的概念性及程序性知識」（Conceptual and Procedural Knowledge：the Case of Mathematics）中，定義概念性知識 為具廣泛連結的特質，藉助不同訊息間之關係建立而成。而程序性知識則 包含二種內涵，分別為數學符號表徵系統以及解決數學問題所需的律則

（law）、算則（algorithms）或程序（procedures）。真正的數學理解必須 建立在此二種知識的連結上。二者連結一旦建立，概念性知識使數學的符 號表徵有意義，也使數學計算程序方便記憶，並有效應用。學生在初學「以 符號代表數」時，先學習到將具體數字抽象化的概念，進而透過外在符號 表徵出其思考模式，再經由解方程式之固定程序以完成解題，在這個環節 中，運籌得當的同學解題便如魚得水，輕鬆自得。但是相反的，之前的認 知概念如果不夠清楚，在題型稍微變化後，便會打亂其思考模式，無法和

原有基模作有效連結，而導致挫折，而產生這種錯誤的原因是很值得探討 的。

Schwarzenberger 認為錯誤的解答和正確的解答一樣重要（引自王如 敏，2004）。當解題產生錯誤時，我們應該幫助學生釐清究竟是概念上還 是程序上的錯誤，如果是同學在建構教師上課所給予訊息的過程中出現錯 誤，那麼便要從重新給予正確概念著手，當然這個錯誤也有可能是因為學 生不用功所導致的不熟悉計算過程所致。探討學生面對問題所引發的概念 及解題策略，尤其是分析學生解題時發生的錯誤類型，可以了解學生在過 去學習活動及經驗中所累積的種種認知錯誤，進而作為診斷及補救教學的 依據，故其重要性不言而喻。

此外，學生是否能合宜的運用不同的策略解決問題，也是研究者想 探討的一個問題。因為一個好的解題策略，可使解題者有效率的解決問 題，反之，一個不適宜的解題策略，除了無法獲致正確答案以外，有時也 會使解題者誤入解題方向並因而浪費許多時間。

研究者認為，數學教育目標，首要在培養同學以數學觀點及思維解 決生活中可能遇到的種種問題。在從具體的數字運算到抽象的符號表徵這 種課程安排之下，我們深切期望學生能由所遇到的問題中自行建構其規 則，並能轉換為數學模式表達並解決問題。如果能釐清同學在此單元所遇 到的瓶頸，探討其正確解題策略或是錯誤原因，作為教學參考及改進依

據，相信對教師和學生都會有莫大助益，此為本研究動機所在。

第二節 研究目的及待答問題

基於以上研究動機，本研究之研究目的為

一、 國中學生對於二元一次方程式所展現的不同解題能力。

二、 國中學生在二元一次方程式單元所運用的解題策略研究。

三、 國中學生在二元一次方程式所出現的錯誤類型及原因分析。

而待答問題為

一、 國中學生在二元一次方程式的解題能力有何差異？

二、 國中學生解二元一次方程式所使用的解題策略為何？

三、 國中學生解二元一次方程式所產生的錯誤類型及原因為何？

第三節 名詞解釋

本研究所探討的名詞解釋如下：

一、 二元一次方程式（linear equation in two unknowns）：指形如 ax+by=c 的方程式，其含有 x，y 兩個未知數，且未知數次數均 為一次的數學等式。

二、 迷思概念（misconception）：學習者於學習某一數理概念之前或學習 之後，由於與環境交互作用，可能對此一概念，已經自行建構出另 一套與科學界公認之詮釋不同的涵義，此種異於科學界公認之詮釋

涵義，謂之對應於此一概念之「迷思概念」（Schoenfeld, 1987）。

三、 概念性知識（conceptual knowledge）：有多種說法，可以視為對主 題領域所擁有的知識，包含學習者對於特定主題的了解和熟悉程度

（Resnick, 1987）。本研究則界定其為數學的定義及無爭論性的引 理。

四、 程序性知識（procedural knowledge）：程序性知識，學者也給予多種 說法，其主要是指瞭解事情要如何做的知識，包括動作技能、認知 技能與認知策略等方面（Newell & Simon, 1972）。在本研究上，則 界定其為數學的語法、演算規律，也就是推導或證明出數學事實及 引理的演算步驟。

五、 解題歷程：Mayer（1992）從認知心理學的觀點，將數學解題分成 四部份：包括問題轉譯，問題整合，解題計畫及監控，解題執行。

而本研究的解題歷程是指學生在面對解二元一次方程式的問題情 境時，從假設到以未知數列式，並選定不同的方法（策略）求出正 確解答的過程。

六、 解題策略：在數學解題的歷程中，對於不同的問題擬出適當的解題 計畫，並完成解題(Polya, 1945)。在本研究中研究者將其分為解二 元一次聯立方程式計算題的解題策略及解二元一次方程式文字題 之解題策略兩個部分。

七、 錯誤類型：在數學計算式中產生錯誤的解題步驟，依據其錯誤關 鍵，分成幾種類型稱之（Kathleen, 1987）。本研究所討論的錯誤類 型，是經由本研究之「二元一次方程式單元測驗」正式施測試卷及 與學生面談資料分析歸類所得之錯誤類型。

第四節 研究範圍及限制

一、 研究範圍：本研究以高雄市、高雄縣、屏東縣各一所國中，共 207 位國中三年級學生為研究對象。

二、 研究限制：

1、因為僅以高雄市、高雄縣、屏東縣地區各一所國中作研究，故所得 結果只能推論到相同地區，若要作擴論，則須進一步研究。

2、本研究僅探討國中學生在二元一次方程式的解題上所產生的概念迷 思及錯誤想法，至於其他變項如地區（城鄉差異）、性別、不同教 師教學方式等，雖然也可能對學生解題產生影響，但此些變項並不 在本研究探討之列。

第二章 文獻探討

第一節 文字符號概念

文 字 符 號，在 數 學 的 學 習 內 容 中 是 一個 基 礎 的 概 念，也 是 代 數 方 程 式 的 入 門，尤 其 在 算 術 過 渡 到 代數 的 學 習 過 程 中，從 引 進 並 施 行 適 當 的 運 算 ， 進 而 解 決 問 題 的 學習 上 ， 更 扮 演 著 相 當 重 要 的 角 色 。 一 套 簡 潔 的 符 號 系 統 在 代 數 中能 夠 準 確 、 深 刻 地 表 達 某 種 概 念、方 法 和 邏 輯 關 係，亦 能 把 複 雜 的 文 字 及 數 字 的 關 係 表 達 出 來 。 這 也 就 是 代 數 課 程 在 中 學 數 學 教 育中 被 視 為 「 廣 義 算 術 」

（ generalized arithmetic） 的 原 因 （ Booth, 1988）。但是，代數符號 系 統 並 非 天 然，不 是 人 生 來 即 具 備，所以 探 討 學 生 在 數 學 學 習 中 的 文 字 符 號 概 念，是 過 去 許 多 學 者 一 直不 遺 餘 力 的 學 者 針 對 此 主 題 加 以 研 究 的 原 因 （ 袁 媛 ， 1992）。

一、 文字符號發展的歷史背景

若以歷史演進的觀點來看代數的發展，可以一窺代數語言符號化的 過程。國內王懷權 (1987) 就指出符號的功能，在於使數學家將繁長的敘 述化成簡短的式子，此功能正是數學語言威力最顯著的根源之一。而符號 在國外的研究中，Kieran（1992）則是依西方數學不同時代的發展特徵，

將代數符號的發展分為三大階段如下：（Harper, 1987; Kieran, 1992; 趙文

（一）文辭代數階段（rhetorical algebra stage）

文辭代數階段指的是在古代希臘數學家丟番圖（Diophantus，公元 246~330 年）提出運用符號之前。這階段的特徵是使用一般語言敘述一些 特殊問題的解決方法，但缺乏對未知數的符號或特殊記號（sign）的使用。

這個時期是代數的開始，雖然文字符號的發展尚未成熟，且各個民族的表 示方式也不同，但大部分都是為了解決日常生活的問題。如兌換錢幣、交 換商品、計算長度面積、在商業或農業上計算都有著相當大的用處，所以 代數在此階段著重於其實用的層面（列志佳、簡珮華、黃家鳴，2000）。

（二）簡單代數發展階段（syncopated algebra stage）

丟番圖是第一個自覺地運用數學符號的人，他寫了一部有 13 卷的《算 術》（Arithmetica）。在書中他運用了未知數，創設了代表未知數的符號。

自他開始，至 16 世紀末左右被稱為簡單代數發展階段。簡單代數發展階 段這個名稱並非指那些數學問題簡單，而是說代數學已經發展至利用符 號及較簡單的符號來代替文字，以表達複雜的代數關係。如文藝復興時 期使用 p 代表加（plus），m 代表減（minus）等，但當時只求特定方程式 的解，並沒有求出方程式的一般解，例如，把 axx+bx=c 和 axx+c=bx 和 bx+c=axx 視為三個不同的方程式。到此時，代數的發展開始脫離文辭的 階段。

（三）符號代數階段（symbolic algebra stage）

這個階段大概始於韋達（Francois Vieta , 法國，1544-1603）在 16 世紀用字母來替代給定量。它的特徵除了代數方程的係數以文字符號表 示，符號可如數字般化簡運算之外，方程式的任何一端也可以置零。例 如以 axx+bx+c=0 代表所有的一元二次方程式。

其後笛卡兒（Rene Descartes , 1596-1650）也開始看到代數的巨大潛 力，他認為代數學應該在數學其他各分支的最前列，是邏輯的引申。他 在《算法》（Le Calcul）（1638）一書中把代數學看作一門獨立學科，但 當時還未形成一個完整的符號體系以表達高度抽象的數學材料。他的代 數式中，以 a、b、c……表示已知數，x、y、z…..表示未知數，這種記法 在十六、七世紀的歐洲逐漸發展普及。至此，數學的基本符號體系從古 至今花了三千餘年的時間才終於形成。

二、符號體系學習之概念

符號體系發展至今，有很多學者根據學生學習狀況提出不同見解，

例如 Sfard（1991）建議可以用程序性和結構性兩種不同的方式形成抽象 的數學概念；Kieran（1992）更進一步從歷史性的分析將代數的發展看做 一種程序性到結構性的週期，而學校代數的學習則可以理解為一系列的 過程-客體（即程序性-結構性）的調整，其中程序性指的是作用在「數」

上的運算，而結構性可以泛指實施在「代數式」上的運算。將二者敘述

（1） 程序性（procedural）－ 使用算術運算，以實際數字取代文字符號 並求得代入後的結果值。例如在多項式 3x－8y 中，x、y 分別代入 2、1 來求得其值為－2。

（2）結構性（structural）－ 強調對代數運算規則的熟練運用。例如多項 式中同類項合併之類的化簡運算。例如 2x＋3y－x－y 可以合併為 x

＋2y。

而 Collis（1975）將文字符號的概念分類成六種不同的使用層次：

（1）文字符號為可算出的值(letter evaluated)，指文字符號代表一個設 定的數值。如：a-3=8 中的 a。

（2）文字符號可忽略而不用(letter ignored)，指文字符號雖然出現在題目 中，但在解題過程中可不加以考慮。如：a-b=43，求 a-b+2=?本例 中，前後兩式只在加 2 的不同，a-b 可加以忽略，而直接求出答案 為 43+2=45。

（3）文字符號當作物體(letter as concrete object)，即文字符號為某一代表 物的簡寫或標記(label)，直接加以運算。如：2a＋5b＋3a＝5a＋5b

（4）文字符號當作特定的未知數(letter as special unknown)，可以直接加 以運算。如：一多邊形有 n 個邊，而且每邊長為 7，得周長為 7n。

（5）文字符號當作一般化的數字(letter as generalized number)，即視文 字符號代表一組數字而非單一數值。如：c+d =10，且 c<d 中，c

代表所有小於 5 的數。

（6）文字符號當作變數(letter as variable)，即文字符號代表一未定的數 值，如當 n＜0 時，比較 n 和 2n 的大小。

在代數式的表示上，文字符號至少有以上六種可能意義，它所代表的 不再僅是數字而已，而可能是問題中某個數量，如長度、個數、年齡等。

故 Schwartz（1976）認為這些均屬於一種『可形容的數字』。 Küchemann

（1981）更指出這些文字符號不但有量（quantity）的性質，更具有質

（quality）的特色。所以學生在處理變數時經常感到困難，這往往與其無 法辨認變數的涵義有關。不論從教師、學生或是教學觀點而言，代數符號 的變化性都是很大的，如果學生只會機械性的操作符號而未曾思考其意 義，對學習就會是一項挑戰，或許要加強學生對代數語意的理解可以從討 論代數符號在不同情境下的涵義開始著手，然而這個過程也是目前教科書 上所缺乏的。

三、文字符號概念認知層次之相關研究

許多學生在學習文字符號時，會認為文字符號只是一種新的符號，但 在邏輯思考時卻仍使用舊的算術計算觀念；也就是說學生對於文字符號存 在的只是刻板的觀念，並無法完全了解其所代表的意義。Wagner（1981）

認為數學上的文字符號只有當它出現在某種特殊情境和代表某種對象時

Küchemann（1981）則認為學生能否有意義的了解文字符號是影響其 是否能有效學習中最重要的因素。二十年前，在英國倫敦大學 Chelsea 學 院有個研究計畫“Concepts in Secondary Mathematics and Science”，簡稱 CSMS。CSMS 前後花了五年的時間(1974-1979)，研究中學生數學與科學 理解能力發展層次的分類。在 CSMS 計畫中，Küchemann 根據 Collis 對 文字符號使用概念層次的六種分類，對 3000 名 13~15 歲的英國學生進行 紙筆測驗，從學生認知能力的不同，來探討學生對文字符號的了解情形及 成就表現，他將學生對文字符號的解釋分成四個認知層次：

（a）層次一：學生能處理文字符號的求值（可用試誤或具體的方法，無 須具備解方程式的能力）、忽略文字符號，或將文字符號當 成物件的簡易文字符號問題。

（b）層次二：能作較為複雜文字符號問題，但無法一貫處理特定未知數、

一般數、變數的問題。

（c）層次三：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，但僅限於 結構簡單的問題。

（d）層次四：能將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，且能處理 結構較為複雜的問題。

在其研究中，英國僅有 40％的 15 歲孩童能到層次三，而能達到層次 四的更僅有 9％。之後其所主持的 CSMS 研究報告結果更顯示，大部分

13 到 15 歲的學生只會把文字符號當成具體的實物或具體實物的標記 (label for concert objects)。他進一步分析學生學不好代數概念的原因有 三：文字符號認知上的差異；記號、制約認知上的差異；以及解題過程受 舊經驗影響。

以上 Küchemann 所得到的結果與國內的研究十分類似：郭汾派、林 光賢與林福來（1989）參考英國 CSMS 小組所設計的題目對全國分區抽 樣測試國中生在文字符號概念上的發展，在此研究中發現，台灣地區國中 三年級學生約有半數只會作結構簡單的題目（如單一文字符號的運算），

有 43％可以達到層次三的水準，而能達到層次四的更僅有 13.1％，雖然 比英國研究略高，但也可見不論中外，大多數中學生對文字符號概念的了 解並不完整，且有效使用文字符號的能力也相當有限。

除了上述英國 Küchemann 及國內郭汾派等人的研究之外，還有許多 大型的研究都曾針對代數學習作深入且持續的探討，例如全球數學教育心 理年會（The International Group for the Psychology of Mathematics

Education, PME）從第 1 屆（1977 年）到第 29 屆（2005 年）的 29 年間 就有 33 個代數的研究成果被發表，早期的研究比較針對代數概念及程序 性知識，代數文字題以及學生從算術進階到代數所產生的轉譯困難。到中 期，聚焦於代數一般化及多重表徵上的意義。直到近期，則傾向於研究小 學生的代數思考方式，代數教學、代數學習，甚至關聯到物理學的情境下

與代數環境相關的模型。詳細年代與主要議題對照於表 1-1。

表 1-1 自 1977 至 2005 年 PME 代數研究的主要議題 年份 主要議題

1977~2005

算術到代數的轉譯，變數、未知數、方程式、方程 式解題及代數文字題。

1980 年中期~2005 運用技巧及工具，並著重於多重表徵及一般化。

1990 年中期~2005 小學生的代數思考，教師的教學，及將其模型化並 運用於其他物理情境或代數環境。

由 29 屆的 PME 研究可知，學生的代數思維深受算術思維的影響，

要將文字符號視為特定未知數、一般數或變數，對大部分的初學者而言，

有其困難度，這不只是教學上的問題，更可能是成長及學習過程中認知不 足的困難。PME 在這方面的早期研究上，通常使用認知層次（Kuchemann, 1981）、先備的算術經驗、思考的方法（Booth, 1984）以及等號所代表的 多重涵義（Kieran, 1981; Vergnaud, 1984）來解釋學生學習代數符號的困 難。尤其因為算術和代數使用許多相同的符號，學生在初學代數時便需要 作相當多概念上的調整，才能夠正確銜接算術到代數的學習。

從國民教育的數學內容來看，符號化是學生跨入代數思維的第一步，

而符號化絕不是學生的自然、直觀的想法，這也是為何九年一貫數學領域 代數主題中，要安排較長的時間來培養學生對於符號理解與使用，且針對

不同認知層次的學生採用循環、螺旋的方式，以期學生能在足夠且成熟的 經驗後，順利進入符號化的代數領域（謝佳叡，2003）。

第二節 方程式概念之相關研究

一、代數方程式的發展

巴比倫在公元前二千多年，一塊編號 AO8862 的泥板上，就已經出現 了用語文敘述的方程式。由於當時大部份的數學問題均來自幾何，因此他 們多用 u š （長）、sag（寬）和 a š a（面積）來代表問題中的未知量。

再依據經驗，一步一步將答案推算出來，最後甚至發展出一元二次方程式 的公式解。

埃及在公元前 1700 年時，雖然還不懂如何使用未知數列出方程式來 解題，但是已經知道利用假設法來推測答案。他們把有關代數方程式計算 的資料記載在草片文書，如：蘭德草書（Rhind Papyrus），當中全為文字 敘述，含有問題列、答案、解法、驗算五步驟，但是並沒有說明為何用那 些方法。

至於中國，成書於約公元前一世紀的著名數學典籍：《九章算術》中 的「開方術」及「方程術」，也都是用文字敘述來表達代數。這個時期是 中國代數學的開始，雖然文字符號發展尚未成熟，且各個民族的表示方式 不同，但大部分都是為了解決日常生活的問題，如兌換錢幣、交換商品、

上禾 中禾 下禾 實

左 中 右

應用主要仍在於實務的層面上（李信明，1998）。例如《九章算術》第 8 章「方程」章的第一個問題：

(李儼)今有

上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；

上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；

上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。

問上、中、下禾實一秉各幾何。

其解決方法是利用「算籌」來運算。算籌是古代數學的一種獨特的計 算工具，"算術" 的意義即是運用算籌的技術。《九章算術》是本以算籌為 算具的數學教科書，算籌作為當時世界最靈巧的計算工具，使用起來既方 便又準確，在中國歷史上延續了 1500 年以上。在這類題目的計算方法上，

會先用算籌排出有關數字，如圖 2.1，然後利用算籌的操作把左、中、右 三條方程式加、減消元就找出答案。

圖 2-1 《九章算術》中的方程組

在第七世紀的時候，中國人已經找到了求一次、二次方程的解法，到 了宋朝時代，著名的數學家秦九韶在《數書九章》的著作裏，更進一步提 出了求高次方程的近似解法。中國古代的代數是有趣的，它差不多總跟一 些田畝、倉廩、粟米等應用問題聯繫著，當時人們把這種方法叫做「天元 術」，在運算的時候，先立「天元」表示所求的未知數，再根據問題中給 出的數據，列出兩個相等的多項式，然後再將這兩個多項式相減，構成一 個一端為零的方程式。

圖 2-2 天元術中的方程式表示法

在天元術裏，多項式是用分離係數法表示的。通常在一次項旁邊注個

「元」，或者在常數項邊上寫個「太」，像上圖 2-2 中「元」字左邊是個 零，所以「一次項」為零；在它上面兩行分別表示二次項和三次項的係數，

在它下面一行裏的就是常數。如果先從「元」字所在的「一次項」往上看，

那就是「二次項」的係數等於 3，「三次項」的係數等於 2。再從「元」

字所在的那一行往下瞧，那麼常數項等於 6。所以由上而下用現在的習慣

不很方便，但是「分離係數」的方法，卻一直沿用到現在。至於現在國際 上用拉丁字母 x、y、z……而不是根據「位置」來表示未知數，那則是近 幾百年間的事情（雪山圖書公司，1986）。

二、 代數方程式的相關研究

十七世紀法國哲學家、數學家笛卡兒 (Rene Descartes, 1596-1650) 曾 說：「一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化為代數 問題，一切代數問題都可以轉化為方程式，一切的問題均將迎刃而解。」

也就是說，以問題解決與數學的角度來看，方程式在代數的領域中，扮演 著極重要的角色（Polya, 1945）。

所謂方程式其實就是一個用未知數所表示的等式，如日本數學家大村 平所說：「只限於某些特定的值代入時，才成立的等式，就叫做方程式。」

（李正宏譯，1990，第 36 頁）。而解方程式的最基本方法，可分為等量公 理及移項法則，等量公理不管在過去的課程標準或是九年一貫的課程綱要 中都是相當重要的學習概念，而移項法則則是運用等量公理推論而得的性 質，一般在學校正規教法上，我們希望同學能從等量公理去了解如何用”

平衡”的概念找出方程式的解，然而大部份的學生卻習慣用移項法則來解 方程式，原因在於只要背一些口訣就能方便運用，但其實仍會有一些狀況 會讓學生混淆，例如：－5x＝8，學生會搞不清楚這裡的「－」是指性質 符號還是運算符號？應該看成負號還是減號？通常概念錯誤的同學會選

擇將”－”看成減號，移項到等號右邊之後變成加法，也就是本來應該是

÷（－5），卻寫成＋5，而造成錯誤。

Kieran（1989）、Booth（1988）等學者則認為方程式中的「等號」是 一種「兩邊式子等價」的結構概念，因為受到先前算術經驗的影響，學生 往往只注意到等號是要去「計算」的符號，會將等號看成一種程序性的運 算，其代表的是「接下來我要做的是」、「答案是」、「結果是」….等解題 的過程，所以會在解題過程中出現類似 2.8＋3.3＝6.1－4.9＝1.2 這類的寫 法，學生會將等號視為一個獨立的符號，而忽略數學上的等價關係。而 Vergnaud（1984）也認為學習代數的重點就是必須能將等號看成對稱與等 價的概念。「等號」是「方程式」學習的重要核心之一，而「方程式」又 是「代數」中不可或缺的一環，所以強化「不管情境或敘述是何程序，等 號所代表的都是兩邊等量」的觀念是代數思維能否進展的主要議題（國立 編譯館，2000a、2000b）。

人類一直致力於尋找出一種既容易又具系統化的方法來解決日常生 活中所遇到的數量問題，因而產生了代數學，代數的特點即是用符號代表 數，而用方程式去表達出各數量之間的關係，從而使解題更為簡潔，這就 是方程式在代數學習中所呈現的重要性。

第三節 數學解題的相關研究

思考，語文，解題等，都是個體組織經驗所形成或重組的認知結構，我們 可以針對同學解題時的心理現象進行探索，從解題歷程中，歸納出其解題 策略，分析錯誤發生之類型及解題時的後設認知。其目的有二，其一，將 研究的重心轉移到學生解題歷程中的心理表現，能更清楚的知道學生解題 觀念正確與否；其二，成功的解題策略和後設認知模式可以成為補救教學 的重點。

一、數學解題策略

Schoenfeld（1985）認為啟發學生的認知策略能夠幫助解題者更了解 問題，也更能應用技巧來解決問題。就像「畫一個圖」一樣。他從認知科 學的觀點提出有關解題技巧的問題：描述解題策略要如何表達才能讓學生 應用地如魚得水？並從專家生手的角度來切入問題，發現專家由於熟練的 經驗累積，而較能發展出一致且可用性極高的解題策略。再將這些策略特 徵化，列出解題的步驟及相關策略，讓學生可以實際使用這些特徵作為解 題指引。

PME 對於初學代數的學生如何解方程式的程序有過相當多的研究，

包含直覺解題、使用數字事實、覆蓋法、試誤法、以及一般正規方法。另 外，Kieran（1992）則將學生解方程式的解題策略更細密的歸納成以下七 項：

(1) 數字事實(use of number facts)：又稱為「代入法」。指任意代入數字到

方程式中，直到找到正確答案為止。

(2) 數數策略（use of counting techniques）：將數字以有順序的方式一一代 入，直到得到正確答案為止。

(3) 覆蓋(covering-up)：將一個較複雜的代數式視為一個新的未知數來運 算，解出此未知數後再代回求原未知數。

(4) 復原(undoing)：又稱「還原法」。用逆運算的方式求原未知數。

(5) 嘗試錯誤(trial-and-error substitution)：類似於「數字事實」法，以不同 數字代入方程式直到求出正確答案，但其不同處在於必須掌握代入數 字的變化，因此可以建立學生對解的概念。

(6) 等量公理(performing the same operation on both sides)：在代數方程式 運算時經常運用，指在等號兩側同加減乘除一個數，以求得未知數的 一個方法。呂溪木（1987）發現學生學習初等代數時，若能先學好等 號兩邊平衡運算的概念，解方程式學習成就會更好，故建議學生要先 學好等量公理，有助於之後方程式的學習。

（7）移項法則(transposing)：逆運算的一種，由等量公理推論而來。

以上七種解題策略，可提供研究者分析研究參與對象之未知數解題策 略之向度。但較偏重於解純粹計算的方程式題型。

而在代數文字題的部分，Mayer（1992）認為成功解文字題必須要完 成：（1）能將題目語句轉譯成內在表徵的語言及事實知識。（2）有足夠解

題的基模知識並能正確整合。（3）能思考解題計畫的策略知識並加以監 控。（4）能正確執行算術或方程式運算的程序性知識。Schoenfeld（1985）

談及解題的啟發策略時，認為啟發策略應包含（1）減少變數；（2）計算 特例；（3）使用歸謬法三種策略在內。而其中特別強調分析、探討及驗證 三個階段。Kilpatrick（1967）探討學生解決文字題時的策略，發現受試 者所使用的解題策略可分為（1）了解問題：包含辨認未知資料或條件、

畫圖、引入符號。（2）擬定計畫：重新敘述問題、考慮相關問題。（3）執 行計畫：使用連續漸進、發現結果之前先檢查步驟。（4）檢討：檢查結果 是否合理、檢查結果是否符合條件、回溯論證的步驟、使用其他方法獲得 結果。

另外，國內學者黃敏晃（1991）則認為解題策略會依個人不同的解題 風格而殊異，主要策略有一般化、特殊化、極端化、圖示、對稱原則等。

吳德邦、吳順治（1989）則將常用的解題策略分為理解、化簡並變形、試 驗及模擬、猜測及嘗試、邏輯演練、組織列式、回顧舊經驗等 7 類。

綜觀國內外學者意見，學生解題時最常使用的策略可約略區分為畫 圖、製表、化簡、算式之理解、猜測及嘗試、組織並列式、應用相關的問 題、邏輯演練等 8 類。因此，教師便可配合教材內容，教導學生如何運用 適當的解題策略，以增進其數學解題能力。

二、數學錯誤類型之分析研究

探討學生面對問題所引發的概念及解題策略，尤其是錯誤的概念與 策略的意義，可以了解學生在過去學習活動及經驗中所累積下來的種種認 知錯誤，以此作為補救教學的出發點。在代數計算題的部分， Robert

（1968）針對錯誤類型分為：錯誤的演算（Wrong operation）、明顯的計 算失誤（Obvious computation error）、不完整的計算過程（Defective algorithm）、隨意作答（Random response）。Engelhardt（1982）則將錯誤 類型區分為機械性錯誤（Mechanical error）、粗心（Careless）、概念上的 錯誤（Conceptual error）、運算過程中之錯誤（Procedural error）。

而代數文字題在學生的認知歷程中就顯得更複雜了，其常以日常生活 情境做為題材，以語文型態來描述情境（Cummins, 1991）。學生在解代數 文字題時，需要結合兩種能力，一為計算能力，一為理解能力，也就是必 須先了解題目的意涵，回憶或激發出相關知識的連結，並建構出可以表徵 此問題的模式，最後才經由方程式計算推論出其結果（唐淑華，1989）。

然而多數同學均對此感到困難，主要原因就在於剛開始的步驟中，將語文 轉譯為算式或方程式的困難 （Lewis & Mayer, 1987）。在此，Radatz（1979）

針對文字題部分的解題錯誤類型，將其區分為語言上的困難（Language difficulties）、獲得空間性訊息的困難（Difficulties in obtaining spatial information）、先備技巧不夠熟練（Deficient mastery of pre-requisite

skills）、錯誤的連結或是僵硬的思考（Incorrect associate or rigidity of thinking）、無關的原理原則及策略（Application of irrelevant rules or strategies）。Marshall（1987）則分為處理語言訊息的錯誤（Errors in processing language information）、處理空間訊息的錯誤（Errors in

interpreting spatial information）、選擇適當步驟的錯誤（Errors in selecting appropriate procedures）、概念連結的錯誤（Errors in making concept

association）、應用不相關的規則或資訊（Errors in using irrelevant rules or information）；而在 1987 年，Marshall 根據訊息處理理論，又增加「不專 心」這一項。在國內，張景媛（1994）將代數文字題的錯誤類型歸納為問 題轉譯錯誤、問題整合錯誤、解題計畫及監控錯誤、解題執行錯誤四項。

綜合以上文獻資料之分析，研究者希望透過二元一次方程式單元的

施測，觀察並了解學生在本單元解題時所運用的概念及策略，並探討其發 生錯誤的類型及原因，以便改進未來的教學型態，並協助學生做最有效率 的學習。

第三章 研究方法

本研究之主要目的在探討國中生在二元一次聯立方程式單元解題時 所使用的策略、可能出現的錯誤類型、以及其錯誤概念之原因。比較特 別的是，研究者想針對的是即將面對國中基本學力測驗的國三學生，希 望藉由已經學習此單元一年多的同學所發生的解題情況，回頭省思教師 最初的教學，進而提供改進教學策略的依據及方法，更確實的增進學習 成效。

本研究的研究方法質量並重，在紙筆測驗上對學生的解題歷程探討 有二：其一為所運用的解題策略；其二為所發生的錯誤類型、原因；並結 合文獻探討、教室觀察、訪談等方式蒐集更詳盡的資料以作比對驗證。是 次以國三學生作為施測對象，在研究工具上研究者以基本學測試題為藍 本，再加上文獻理念的指引來編修。本章將就本研究之研究對象、研究設 計及工具、實施步驟、資料處理等四個部分加以說明。

第一節 研究對象

研究者取方便樣本，在高雄市 A 校、高雄縣 B 校及屏東縣 C 校，各 選取 2 個班級，合計共 6 班的國中三年級學生，三校均為公立國中，高雄 市 A 校及屏東縣 C 校的 4 個班級為常態編班，高雄縣 B 校所選取的 2 班 則恰巧為全校成績最好的 2 個班，3 校共 207 人。三所學校分處都會及鄉

偏離一般常態太遠。另外在九年一貫課程綱要的設計下，強調一綱多本，

故研究者設定不同學校所採用的不同教材在本研究結果的界定上並不會 有太大影響。現將各校所使用版本列於表 3-1。

表 3-1 研究樣本班級之基本資料

學校 參加人數 使用版本及本單元之各分節 高雄市 A 國中 81 南一版第三冊第三章：

3-1 二元一次方程式

3-2 二元一次聯立方程式的 列式與求解

高雄縣 B 國中 65

南一版：同上

屏東縣 C 國中 61 康軒版第三冊第二章：

2-2 二元一次方程式 2-3 二元一次聯立方程式

合計 207

第二節 研究設計及工具

一、 教材地位分析

為確實調查出國中學生在二元一次方程式單元的學習內容，本研 究依據民國 92 年公布之九年一貫課程綱要數學領域的內容，並參考南 一、康軒、部編版等教師手冊、相關文獻及其他參考資料，分析本單 元之教材地位於圖 3-1，以便為之後的研究提供更適合的定位。

已習教材 本章教材 未習教材

線線線線 (高高高高)

一一一一一一一 (國高國一國國5章)

等等等等 移移移移 (國高國一國國5章)

二一一一二二 一一一方方方一

(高高高高) 了了二一一一一一一方了了

能能二一一一一方能能

能能能能能能能移 了二一一一二二一一一

二一一一一一一 在在在在在在方 圖圖(國高國二國

國第章) 以以以以以線

(國國國國國)

能能能2個個個線個個個個個 所所所所所所所二二一一一

直直在在直 (國高國二國國第章)

能能所了所能個個高所能 可能可可可能以可可 能個線能以能二一一一一以

確確確確確確了

能能能以能能能移 了二一一一二二一一一

能了能個個個個所所高所能方 二一一一二二一一一 能能能能能能圖一

了所(國國國國國) 線能數移能能

(國國國國國)

圖 3-1 二元一次方程式之教材地位分析圖

二、 研究設計

研究設計主要分為兩階段，並依此設計研究工具：

階段一為紙筆測驗，研究者於施測後，分析並歸納學生作答內容，將 其分成正確和錯誤兩個部份，分別探討學生在解二元一次方程式時的正確 解題策略或是可能發生的錯誤觀念及類型。而此研究工具是根據 90~95 年基本學力測驗數學科題目改編之"二元一次方程式單元測驗"。

階段二則為晤談，在施測的試卷分析中，選擇學生的錯誤類型具代 表性、特殊性、或是不易了解者進行晤談。由晤談的過程中釐清學生解題 的歷程、想法、及犯錯的原因。晤談所使用的工具為階段一紙筆測驗試卷 的分析結果。

三、研究工具

研究者由整理文獻資料所得，再加上多年教學心得，觀察學生在二 元一次方程式單元的學習歷程後，決定了本研究之研究工具為"二元一次 方程式單元測驗"試卷，試卷以教學內容分為二元一次方程式之化簡（化 簡）、解二元一次聯立方程式（解聯立）、依照題意列出二元一次聯立方 程式（列式）、二元一次方程式之文字題（解文字題）四類，試卷設計流 程如下：

（一）測驗題選擇：研究者自 90~95 年基測考古題中整理並改編 20 題有 關二元一次方程式之測驗題，包含解聯立方程式計算題以及文字

題（附錄 A）。試題係以正式的基本學力測驗題目改編，測驗之能 力指標概念已經專家學者及專業數學教師審核確認過，研究者改 編試題時維持題型原有架構，只有在數據上有些微的變化。改編 試題和基測原題的差異詳列於附錄 B。在內容效度方面，表 3-2 附 上預試試卷的施測題目雙向細目表，此份雙向細目表除了研究者 之外，另外請教了 2 位任教國中多年，經驗豐富的數學教師作檢 核，以符合專家效度。另外為了清楚檢視學生的思考及解題歷程，

在正式施測時，將部分選擇題改編為計算題的形式，而其精神仍 然符合九年一貫中課程綱要之能力指標。雖然題型改編可能對同 學的答題表現有所影響，因為選擇題中的選項可以代入的方式猜 答，也從中暗示同學正確解題模式；而計算題則需要同學以自己 的代數概念由無到有順序解題，難度上實有差異，但是依本研究 所要討論的解題策略及錯誤類型而言，將題型改編為計算題才有 足夠資料以供分析，確實有其必要性。

表 3-2 「二元一次方程式單元測驗」預試試卷之雙向細目表

＊：括弧內數字代表題號

（二）預試：為了準備適當之執行工具，研究者先做預試，目的在初步 了解學生對於二元一次方程式的概念能力發展，以作為增刪及修 改試題的依據，對象為高雄市 A 國中國三學生一班共 33 人，採集 體測驗，時間為 45 分鐘，題數共 20 題。

（三）試題增刪並確認：根據預試結果，研究者利用 Microsoft Excel 軟 教 學 目 標

概念理解

（概念）

基本運算

（運算）

問題解決

（解題）

合計 題數 二元一次方程式之

化簡（化簡）

（1）＊ （2） （3） 3

解二元一次聯立方 程式

（解聯立）

（4） （5）（6）

（7）（8）

5

依照題意列出二元 一次方程式（列式）

（9）（10）

（11）

（13）

（12）

（14）

6 教

學 內 容

二元一次方程式之 文字題（解文字題）

（16）

（17）

（15）

（18）

（19）

（20）

6

合計題數 6 7 7 20

體加以統計，刪除錯誤率太低或太高，鑑別度不佳的試題，並修 改文字及數據，使題意更清晰，最後經由指導教授的修訂及指正，

選擇正確率在 40~65%之間的題目，計有第 2、3、4、5、6、7、

12、16、17、18 共 10 題。分析其題目內容後，發現第 5、6、7 三題同質性太高，故只留存第 6 題，再根據雙向細目表分析，加 入第 1 及第 20 題。至此 10 題試題均屬於難度中等的題目，但由 於本研究欲分析同學的錯誤解題概念，所以難題的存在有其重要 性，故加上一題在預試中答對率最低的第 14 題，共取 11 題。最 後將部份題目修改為計算題的形式。預試之統計情形數據列於圖 3-2。

二一一一一一一單一預試正確率統計

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 所以

正確率(%)

圖 3-2 「二元一次方程式單元測驗」預試各題正確率統計圖

（四）正式施測：目的在確實了解學生對於二元一次方程式的概念及解 題能力，並據以分析產生錯誤的類型及原因，樣本為高雄市 A 國 中國三學生 2 班共 81 人、高雄縣 B 國中國三學生 2 班共 65 人、

屏東縣 C 國中國三學生 2 班共 61 人，合計 6 班共 207 人，採集 體測驗的方式，施測時間 45 分鐘，題數為 11 題。正式施測測驗 結果，研究者同樣利用 Microsoft Excel 軟體加以分析，分為正確 解題的策略選擇及錯誤類型兩部分作討論。詳細結果請參考第四 章。表 3-3 附上正式試卷的施測題目雙向細目表，正式施測試卷 則詳見附錄 C。

表 3-3 「二元一次方程式單元測驗」正式試卷之雙向細目表 教 學 目 標

概念理解

（概念）

基本運算

（運算）

問題解決

（解題）

合計題數

二元一次方程 式之化簡

（化簡）

（4）＊ （3） （1） 3

解二元一次 聯立方程式

（解聯立）

（2） （5） 2

依照題意列 出二元一次 方程式（列 式）

（7）

（11）

2 教

學 內 容

二元一次方程 式之文字題

（解文字題）

（8）

（9）

（6）

（10）

4

合計題數 2 4 5 11

＊：括弧內數字代表題號

（五） 晤談計畫：研究者為完整了解學生在解二元一次方程式時所使用的 概念及採用的策略，在正式施測後會進行學生的晤談計畫。晤談的 方式採非結構性，引導學生說出自己的想法及解題步驟。晤談進行 方式由研究者選定樣本後，為了減低學生焦慮感，請任課老師做為

引導學生說明其解題概念及方法。在晤談過程中以筆記和錄音並重 的方式作紀錄。除了詢問同學測驗時的作答歷程外，必要時也會請 同學當場回答類似的問題，以確實釐清其正確或錯誤想法。詳細晤 談計畫見附錄 D。

第三節 實施步驟

本研究實施步驟分為：蒐集資料、編製研究工具、選取適合樣本、

試題預試及修訂、正式施測、晤談等六個階段，分別說明如下：

（一）資料蒐集：自 95 年 6 月到 95 年 9 月，一方面閱讀國內外代數相關 書籍，論文，期刊及其他參考資料，另一方面分析現階段二元一次 方程式教材相關內容及基本學力測驗曾出現的題目，在與指導教授 討論之後，確認本研究的研究架構。

（二）編製研究工具：依據本研究的需要及研究目的，編製「二元一次方 程式單元測驗」，以基本學力測驗的題型作為藍本，題型包含二元一 次式的化簡（化簡），解二元一次聯立方程式（解聯立），依照題意 列出適當之二元一次方程式（列式），以及解二元一次聯立方程式之 文字題（解文字題）共四大類。

（三）選取適合樣本：本研究在正式施測時，選取之研究樣本包含高雄市、

高雄縣、屏東縣三個地區各一所學校，每所學校選取 2 個國三的班 級，共 6 班，合計 207 名學生。

（四）試題預試及修訂：本測驗由高雄市 A 國中在 95 年 10 月 20 日進行 預試，以確認題目文字表達的清楚及合理性，及刪除過易或過難的 題目，透過刪改及修訂，決定正式試卷內容。

（五）正式施測：本測驗於 95 年 11 月正式施測，測驗時間 45 分鐘，任課 教師以集體測驗方式進行，題目設計有選擇題及計算題，實施前皆 由研究者說明測驗目的及作答注意事項，其中特別強調要有完整的 計算過程（計算題部分），因若沒有計算過程，不管答案正確或錯誤，

均無法分析其解題策略或錯誤類型。

（ 六 ） 晤 談 ： 測 驗 資 料 統 計 完 成 後， 研 究 者 開 始 分 析 學 生 的 錯 誤 作 答 情 形 ， 並 歸 類 錯 誤 類 型 ， 再 依 據錯 誤 人 數 多 寡 決 定 晤 談 人 數 ， 並 從 中 選 取 具 有 代 表 性 、 特 殊性 或 不 易 了 解 其 錯 誤 情 形 的 學 生 接 受 晤 談 。 在 和 諧 的 氣 氛 下由 任 教 老 師 為 訪 談 者 ， 適 時 引 導 學 生 表 達 其 想 法 及 觀 念 ， 以錄 音 配 合 紙 筆 紀 錄 ， 呈 現 其 正 確 或 錯 誤 的 概 念 ， 綜 合學 生 的 思 考 方 式 加 以 分 析 。

（七）實施步驟流程圖，參考圖 3-3

實 施 步 驟 流 一

資資資資

高教教教,建建建建

編編編編編編

選選選選選選

正一施正

晤晤晤晤

綜選綜綜 試所預試試試試

進進預試

試所試試以確試正一試試 編編預試試試

與選選與與,高教二教 閱閱閱閱試閱閱資資

統計與個統統統統 綜綜正一試試

選選晤晤與個 綜綜晤晤資資

圖 3-3 實施步驟流程圖

第四節 資料處理

在測驗結束之後，隨即進行測驗資料的統計，以分析學生在二元一次 方程式的概念及理解情形。資料處理分為二個部分：

（一）量化資料：在「二元一次方程式單元測驗」施測後，使用 Microsoft Excel 軟體作正確率統計，及錯誤類型的歸納分析。

（二）質性資料：統計資料完成後，再依據晤談計畫選取適合學生進行面 談，使用錄音並以紙筆輔助紀錄，綜合學生的正確解題策略或錯誤 思考方式，了解其錯誤解題歷程，並加以分析。

第四章 結果及討論

本章將就全體受試學生在接受「二元一次方程式單元測驗」施測之 後，整理其作答情形及晤談結果來了解學生的解題策略及錯誤類型，再依 據所得資訊分析學生解題錯誤的原因。

以下將分為四節加以說明，第一節為學生在此單元之解題正確及錯誤 百分比。第二節探討學生之解題策略。第三節將歸類出學生之解題錯誤類 型。第四節則是分析學生解題錯誤原因。

第一節 二元一次方程式解題正確及錯誤百分比

. 本研究使用「二元一次方程式單元測驗」施測試卷來調查學生在此

單元的學習情形，將二元一次方程式依教學內容區分為化簡（第（1）、

（3）、（4）題）、解聯立（第（2）、（5）題）、列式（第（7）、（11）題）、

解文字題（第（6）、（8）、（9）、（10）題）四類，先在表 4-1 列出所有題 型之正確與錯誤百分比統計，之後再綜合所有施測資料，並逐題表列三 所施測學校之正確答題百分率、錯誤答題（有作答但錯誤）百分率及空 白（未作答）百分率統計表於附錄 E，於本節依不同類別作初步之歸納及 分析。

表 4-1 所有題型答題正確與錯誤百分比統計

題號 正確答題率 錯誤答題率 空白率 二元一次方程

式之化簡（化 簡）

(1)(3)(4) 66.34 20.93 12.73

解二元一次聯 立方程式（解聯 立）

(2)(5) 75.85 15.75 8.40

依照題意列出 二元一次方程 式（列式）

(7)(11) 68.36 23.85 7.79

二元一次方程 式之文字題（解 文字題）

(6)(8)(9)(10) 63.41 15.83 20.76

合計 67.98 18.62 13.39

一、 「化簡」類別

根據附錄 E 之表 E-1，在「化簡」類別共 3 題，其中第（4）題在 檢驗同學在文字題轉譯為二元一次方程式並求解的歷程中概念之理解程 度，第（3）題測驗同學在二元一次方程式中的化簡及運算，第（1）題

則是實際問題的解決。

在「化簡」類別的整體解題正確率上，研究者發現第（1）題不需解 方程式，只要對已知代數式（3 包餅乾和 2 個麵包）和未知代數式（6 個 麵包和 9 包餅乾）之間的倍數關係有概念即可，較為容易，有接近 8 成的 同學能正確解題（79.7﹪）。第（3）題是有關二個未知數所組成的代數式 在等式中的化簡，因為涉及分數整數的混合四則，還需要指數律的運算概 念，再加上最後要求的是 x-y，而不是單一未知數，對很多同學來說較為 複雜，能夠正確解題者僅佔 51.2﹪。

空白率部分則發現，第（1）題相當低，只有 2.4％，表示題意清楚不 複雜，多數同學均樂於嘗試解題。但是第（3）（4）題空白率相對偏高，

尤其第（4）題有 3 個未知數，研究者發現，題目若有 2 個以上未知數時，

往往會讓同學對列式感到困惑，會因不知如何下手而空白。

二、 「解聯立」類別

根據附錄 E 之表 E-2，在「化簡」類別共 2 題，其中第（2）題測試 同學對何謂方程式解之基本概念理解，第（5）題則測驗同學是否能自行 運用計算策略來解二元一次聯立方程式。

在「解聯立」類別中發現，此類型的 2 題雖然同樣都是解基本的二 元一次聯立方程式，但是第（2）題可以用選項代入的方式找解，同學只 需要有整數四則運算基礎即可，較為容易，正確率達 87.4％；相對的第

（5）題需要運用等量公理先化為整數方程式，再利用加減消去法或代入 消去法解 x、y，最後還要再作絕對值運算，除非有完整解聯立方程式的 概念，否則不容易求出答案，正確率明顯較低，只有 64.3％。

錯誤率約介於 10％~20％之間，顯示同學對於解二元一次聯立方程式 的步驟及方式並不陌生，也可以解釋為從國一到國三，2 年的練習較為足 夠，已由生手漸漸轉變為專家。空白率約 2﹪~15﹪，顯示同學有心求解，

且大部分也均有解二元一次聯立方程式的能力。因為題目是清楚的計算題 型，不會產生解讀文字的錯誤，所有的錯誤均出現在計算過程之中。

三、 「列式」類別

根據附錄 E 之表 E-3，在「列式」類別共 2 題，這 2 題均是在測驗同 學是否能由實際具體情境中列出二元一次聯立方程式，以選擇題型態呈 現，除了測驗同學對文字是否有足夠的轉譯能力外，能否清楚分辨變數間 數量相對關係的改變，也是這 2 題的重點。

本類別之正確率約在 65％~71％之間，因為是單純的列方程式題，不 需任何計算過程，只需正確解讀題意並分析其數字變化型態，即可選擇正 確之二元一次聯立方程式。同學的錯誤大多出現在解讀文字並轉譯、整合 到列方程式的過程，尤其在數量的相對關係上（哥哥給弟弟紀念卡，哥哥 減少的張數會等於弟弟增加的張數），更容易混淆。而空白率約在 5﹪~11

﹪之間，研究者認為此二題題意清楚，題目中也已假設好未知數，解讀不

困難，不過因為有較多的數據及敘述呈現在題目中，如果同學沒耐性思考 或分析，就會不想作答，但是因為題目設計為選擇題，同學即使不會做也 大多會任意猜一個答案，所以空白比率並不高。

四、 「解文字題」類別

根據附錄 E 之表 E-4，在「解文字題」類別中共 4 題，其中第（8）、

（9）題，題目敘述較單純，主要在測驗同學在基本文字題中從假設、列 式、解方程式等完整過程的運算概念；第（6）及第（10）題敘述則較為

繁雜，同學必須有較佳的文字轉譯及整合能力，才能順利解決問題。

在「解文字題」類別中發現，正確率部分，各題間差距相當大，計 算協力車有幾輛，題意簡單清楚的第（8）題可達 74.9％，而敘述複雜，

條件、數據較多的第（10）題則只有 46.9％。顯示雖然都是文字題，但 題目解讀的難易度對同學解題仍然有相當大的影響。

其中錯誤率最高的第（10）題，是有關網咖收費及時間關係的一題，

除了題目敘述複雜之外，題目中需要解讀另一個表格，並且使用 s、t 來 假設未知數，對於大多數習慣用 x、y 來解聯立方程式的同學，不同字母 所代表的未知數也會造成概念上的混亂。其餘各題之錯誤率差異較小，

都是將要求的變數以傳統的 x、y 來假設，然後以題目敘述的方式直接轉 譯為二元一次方程式，再解題即可。研究者發現在此類型中的錯誤主要

方程式一連串的解題歷程）的關係，從施測後的晤談中發現，很多同學 的反應是”看不懂”、”不知如何列式”、或是作到一半就接不下去，對同學 而言，有較多的迷思概念。

另外（6）、（8）、（9）這 3 題也可以只假設一個未知數，用一元一次 方程式來解，但想到的同學很少。研究者認為主要原因應該是整份試題 表明為二元一次方程式試題，所以即使是不會列出二元一次方程式的同 學，也很難將解題方式聯結到一元一次方程式，多半就直接放棄（空白）。 這種僵化的思考方式往往在同學解題上造成困擾，我們常常強調數學解 題不只一種方法，可是在實際教學中，為了使同學熟練解題技巧以應付 考試，在某些單元所產生的過度學習，卻往往會扼殺了其他更有趣，更 特別的思考型態。

第二節 二元一次方程式單元解題策略研究

一、策略之歸類

研究者對於所有學生解題正確的策略部分之歸類，係參考 Kieran

（1992）有關學生解方程式之解題策略，Schoenfeld（1985）的解題啟發 策略，吳德邦、吳順治（1989）所歸納之學生解題策略，以及研究者本身 在教學活動中所發現之學生常用之解題策略，可分為「方程式計算題」及

「代數文字題」兩大項，研究者又發現，學生解題時經常會合併使用 2