第五章 結論及建議
第二節 研究建議
將類似觀念融入題意，舉生活中的例子協助同學聯結有關概念，進而順利 解題。
（3）培養學生進行自我覺察，亦即後設認知之思考能力
為了增進學生在代數概念上的理解，教師在教學時不應只重視程序性的 解題過程，尤其對學習成就較差的同學，教師可從一開始教學時，就教導 同學如何隨時監測自己的解題歷程，包括評估解題過程的合理性，是否和 其他概念產生矛盾，以及驗證最後答案等等，讓學生能更有效的經營管理 自己的解題行為。
（4）培養學生多元思維型態的解題技巧
善用不同的數學多元表徵是相當有效的策略。多元解題的能力一直是 各國數學教育所強調的，尤其代數方程式的題目經常與生活相關，在日常 生活環境中遇到數字問題時，並不一定會以方程式來解決，包含猜測並嘗 試、概算、逆推法、圖形、表格之輔助等反而是較經常使用的。也就是說，
解題的歷程並不唯一，而應是動態的，若是能嘗試以不同的形式來思考問 題，往往能激發出更有趣、更有價值的火花。例如本施測試卷中的第（4）
題有關鉛筆、原子筆、橡皮擦個數的題目，就有同學以表格的方式來列出 所有可能答案，雖然沒有正規計算過程，但也可以達到正確解題的目的。
二、在教材的改進上
（1）未知數概念可提早代入國小課程
二元一次聯立方程式在國中代數領域是必要的學習單元，也銜接在小 學已學的未知數概念與國一的一元一次方程式之後，教學形式的一以貫之 有其重要性。但是國小數學所學的未知數概念，依皮亞傑的認知發展理論 來講，著重於具體操作的教學，而國中數學卻以形式運思期的抽象思考和 邏輯推理為主，在教材和教法上均有明顯的不同（張景媛，1994）。因此，
以目前教材而言，在國中和國小的教科書，代數觀念的銜接存在相當大的 落差，研究者認為，時代社會的快速進步，現代兒童的成熟度和數十年前 已有相當差距，在教材上可以嘗試將較為抽象的未知數概念在國小五、六 年級的課程中予以代入，也許對兒童日後在國中的代數學習能夠有更佳的 成效。
（2）文字題的語意必須明確清晰，且結合學生日常生活
近年來，數學教育強調解決問題的能力，所以符合生活情境的文字題 在各版本的教科書中出現相當頻繁，但是文字題的重點除了要與學生日常 生活結合外，還要注意個體或城鄉間之差距。例如捷運系統對非大台北地 區的孩子非常陌生，若要設計為題目就必須要解說相當清楚。另外，文字 題的語意必須明確清晰，轉譯文字是學生學習解題相當重要的能力之一，
題目語意若是含糊不清，容易產生誤會，就不是適當的題目。例如某版本 教科書就曾出現下列例題：「已知三年前父親年齡為兒子年齡的 4 倍；二 年後，父親年齡為兒子年齡的 3 倍，問父子今年各多少歲？」其中的『二
年後』，可以解讀為現年的二年後，或是 3 年前的二年後，易造成混淆。
三、在未來的相關研究上
本研究由於時間、人力的限制，僅選取高雄市、高雄縣、屏東縣各一 所國中做研究，建議未來可針對不同樣本（如其他地區學校）及變項（如 性別、年級、學習態度、學習成就等）作更詳盡的分析研究。另外，本研 究的學生在 93 學年度學習二元一次聯立方程式時，仍屬於九年一貫暫行 綱要的範疇，不同版本產生的差異性較高，研究者建議未來研究者，可以 在 94 學年度正式實施九年一貫課程正式綱要之後，再做此類相關研究，
探討是否可以降低版本差異所造成的影響，相信會有更高的研究價值。
參考文獻
王懷權（1987）。數學發展史。學英文化事業有限公司。
王如敏（2004）。國二學生解一元一次方程式錯誤類型分析研究。國立 高雄師範大學數學系所碩士論文。
方吉雄（2001）。原住民國中學生的文字符號概念與代數文字題的解題 研究。國立高雄師範大學數學系所碩士論文。
列志佳、簡珮華、黃家鳴（2000）。數學的故鄉。九章出版社。
朱建正（2001）增訂。數學父親。翰林出版事業股份有限公司。
李信明（1998）。中國數學五千年。台北市：台灣書店。
李正宏（2000）譯、大村平原著。什麼是方程式。台北：建興出版社。
呂溪木（1987）。代數在國民小學教學之可行性研究。我國學生數學概念發 展研究計劃總結報告之一。中華民國 76 年度科學教育學術研討會論文 彙編。
余民寧（1997）。有意義的學習－概念構圖之研究。台北市：商鼎文化。
吳德邦、吳順治（1989）。解題導向的數學教學策略。台北市：五南圖 書出版公司。
吳寶桂（2002）。青少年數學方程式概念發展研究。國科會專題研究計 劃報告：NSC-91-2522-S-110-001。
林碧珍（1985）。數學概念的形成與學習。國教世紀月刊，21（4），1-4。
林麗雯（2000）。國中一年級學生學習二元一次聯立方程式的能力發展 與其解題的錯誤分析。國立中山大學教育研究所碩士論文。
凃佩瑜（2004）。國中生解二元一次聯立方程式錯誤類型之分析研究。
國立高雄師範大學數學系碩士論文。
南一書局國中數學編撰委員會（2006a）。國民中學數學第一冊教師手 冊。台北：南一書局。
南一書局國中數學編撰委員會（2006b）。國民中學數學第二冊教師手 冊。台北：南一書局。
袁媛（1992）。國中一年級學生的文字符號概念與代數文字題的解題研 究。國立高雄師範大學數學教育研究所論文。
唐淑華（1989）。語文理解能力對增進國一學生數學理解能力之實驗研 究。國立台灣師範大學心理與教育輔導研究所碩士論文（未出 版）。
梁蕙如（2003）。國三學生數形命題論證類型及其改變之教學探究。台 灣師範大學數學研究所碩士論文。
陳維民（1998）。兒童的未知數概念研究－一個國小六年級兒童的個案 研究。國立高雄師範大學數學系碩士班未發表之碩士論文。
陳嘉麟（2003）。發展符合九年一貫精神之二元聯立方程教學模組之研 究。國立彰化師範大學科學教育研究所碩士論文。
郭汾派（1988）。國中生文字符號運算的錯誤型態。數學科教學輔導 論文集，11-128 頁。
郭汾派、林光賢與林福來（1989）。國中生文字符號概念的發展。國科 會專題研究計畫報告，NSC76-0111-S003-08、
NSC77-0111-S003-05A。
雪山圖書公司（1986）。趣味數學常識。台北：雪山圖書公司。
許正諭（2005）。九年一貫體制下國中生文字符號運算概念認知理解情 形之研究。國立高雄師範大學數學系教學碩士論文。
國立編譯館（2000a）。國民中學數學第一冊。台北：國立編譯館。
國立編譯館（2000b）。國民中學數學教師手冊第一冊。台北：國立編 譯館。
黃台珠（1984）。概念的研究及其意義。科學教育月刊，66，44-55。
黃敏晃（1991）。淺談數學解題。教與學，23，2-15。
張景媛（1994）。數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研 究。師範大學教育心理學報，27，175-200。
趙文敏（1985）。數學史。台北市：協進。
謝和秀（2001）。國一學生文字符號概念及代數文字題之解題研究。國 立高雄師範大學數學系教學碩士論文。
謝和秀、謝哲仁（2002）。國一學生文字符號概念及代數文字題之解題
研究。九十一年度師範院校教育學術論文發表會論文集，3，頁 1491-1521。
謝佳叡（2003）。從算術思維過渡到代數思維。九年一貫課程綱要諮詢 小組諮詢意見書。
http://www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/mathedu/me9/nineyear/p hilosophy/Appendix_A2.doc
謝 孟 珊（2000）。以 不 同 符 號 表 徵 未 知 數 對 國 二 學 生 解 方 程 式 表 現 之 探 討 。 國 立 台 北 師 範 數 理 教 育 研 究 所 碩 士 論 文 。 Booth, L. R. (1984). Algebra: Children’s strategies and errors. Windsor,
United Kingdom: NFER-Nelson.
Booth, L. R. (1988). Children’s difficulties in beginning algebra. In A. F.
Coxford & A. P. Shulte (Eds.), The ideals of algebra, K-12 (pp.20-32).
Reston, VA: NCTM.
Carpenter, T. P., Corbitt, M. K., Kepner, H. S., Jr., Lindquist, M. M., & Reys, R. E. (1982). Student performance in algebra: Results from the
National Assessment. School Science and Mathematics (October), 514-531.
Collis, K. F. (1975). The development of formal reasoning. Newcastle, Australia：University of Newcastle.
Cox, L. S. (1975). Systematic errors in the four vertical algorithms in normal and handicapped populations. Journal for Research in Mathematics Education, 6, 202-220.
Cummins, D. D. (1991). Children’s interpretations of arithmetic word
problems. Cognition and Instruction, 8, 261-289.
Engelhardt, J. M. (1982). Using Computational errors in diagnostic teaching.
Arithmetic Teacher，29(8), 16-19.
Gray, E. M. & Tall, D. O. (1994). Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 115-141.
Harper, E. (1987). Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, 18(1), 75-90.
Hiebert, J. (1986). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. New York: Lawrence Erlbaum Associates.
Kathleen, T. T. (1987). Error reduction strategies for whole number operations in grade four. (Doctoral Dissertation , University of Brigham Young ,1986).
Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 317-326.
Kieran, C. (1989). The early learning of algebra: A structural perspective. In S.
Wagner and C. Kieran (Eds.), Research issues in the learning and teaching of algebra (pp. 33-56). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Kieran , C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D.A.
Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning ( pp.390-419). New York: Macmillan Publishers.
Kilpatrick, J. (1967). Problem solving in mathematics. Review of Educational Research, 39, 523-534
Understanding of Mathematics ( pp.11-16). John Murray, London.
Lewis, A. B. & Mayer, R. E. (1987). Students’ miscomprehension of relational statements in arithmetic word problems. Journal of Educational Psychology, 79, 363-371.
Marshall, S. P. (1987). Understanding arithmetic story problems.（ERIC Document Reproduction Service No. ED 279687）.
Mayer, R. E. (1992). Thinking, problem solving, cognition. New York: W. H.
Freeman and Company.
Merrill, M. D. & Wood, N. D. (1974). Instruction strategies: A preliminary taxonomy. Columbus, Ohio: ERIC Information Analysis Center for Science, Mathematics, and Environmental Education, Ohio State University.
Newell, A. & Simon, H. A. (1972). Human problem solving. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
Polya, G. (1945). How to solve it. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Radatz, H. (1979). Error analysis in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 10, 163-172.
Resnick, L. (1987). Education and learning to think. Washington, DC : National Academy Press.
Robert, G. H. (1968). The failure strategies of third grade arithmetic pupils.
Arithmetic Teacher, 442-446.
Schwartz J. (1976). Semantic aspects of quantity. Cambridge, MA : MIT, Division for study and Research in Education.
Schoenfeld, A.H. (1985). Mathematical problem solving. London：Academic
Press.
Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions:
Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36.
Vergnaud, G. (1984). Understanding mathematics at secondary school level.
In Alan Bell, B. Low & Jeremy Kilpatrick, (Eds.), Theory, research and practice in mathematical education (pp. 27-35), UK: Shell Centre for Mathematical Education.
Wanger , S. (1981). Conservation of equation and function under transformation of variable. Journal for Research in mathematics Education, 12, 107-118.
附錄 A 測驗工具
二元一次方程式單元測驗預試試卷
________ 國中 ____年 ____班 _____號 姓名：___________
（ ）1. 某書店的文具價格為：鉛筆一支 7 元，原子筆一支 15 元、橡皮 擦一個 20 元。若有 6 位小朋友，每人各買一件文具，共花了 71 元，則其中有幾人買鉛筆？
(A) 4 (B) 3 (C) 6 (D) 5
（ ）2. 若 12
4 5x− y＋
4 2 3x− y －
3
2x−y＝104 ，則 x－y＝？
(A) 0 (B) 1 (C) 104
(D) 2×104
（ ）3. 某商店促銷活動，買 3 包餅乾和 2 個麵包，僅需 105 元。若小 芬至此商店購買 6 個麵包和 9 包餅乾，付 500 元鈔票一張，應 可找回多少元？
(A) 315 (B) 210 (C) 290 (D) 185
（ ）4. x＝1，y＝-1 為下列哪一個二元一次聯立方程式的解﹖
(A) 19x－11y＝30 (B) 37x＋17y＝20 21x＋4y＝25 16x－15y＝31 (C) 15x＋17y＝32 (D) 19x－18y＝11 16x－11y＝27 23x＋17y＝40
（ ）5. 已知二元一次聯立方程式 4 3 10
3 1
x y
x y + =
⎧⎨
⎩ − = 的解為 x＝a，y＝b，則 a-b
＝？ (A) 3 (B) －1 (C) 19
5 (D) 31
13
（ ）6. 二元一次聯立方程式
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
= + 5 17 1
4 9 1
y x
y x
的解為 x=a，y=b，則｜a –2 b｜
=？ (A)1 (B)11 (C)6 (D)27
（ ）7. 求聯立方程式 2 1 3 2 5
x y
x y
+ = −
⎧⎨
+ =
⎩ 的解為何？
(A)x＝2，y＝ 3
−2 (B)x＝3，y＝1 (C)x＝1，y＝–1
(D)x＝3，y＝–2
（ ）8. 二元一次聯立方程式
⎩⎨
⎧3x － 2y＝9
4x ＋ 3y＝29 的解為 x＝a，y＝b，則 a＋b＝？ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
（ ）9. 守守到郵局，買了 5 元與 12 元的兩種郵票共 29 張，花了 250 元；若 5 元郵票買 x 張，12 元郵票買 y 張，下列哪一個聯立方 程式是正確的？
(A) 250 5 12 29 x y
x y
+ =
⎧⎨
+ =
⎩
(B) ⎧⎨x+ =y 29 + =
⎩
(C) 250 12 5 29
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩
(D) 29 12 5 250
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩
（ ）10. 小玲的錢包內有佰元鈔票 2x 張，伍拾元硬幣 3y 個，請問錢包 內有多少元？
(A) 2x＋3y (B) 20x＋30y (C) 200x＋150y
(D) 100（2x＋3y）
（ ）11. 某人帶了 400 元到市場買水果，如果他買 3 個蘋果、5 個水梨，
則不足 30 元；如果他買 5 個蘋果、4 個水梨，則剛好把錢用完。
設蘋果每個 x元，水梨每個 y元，則依題意可列出下列哪一組 聯立方程式？
(A) 5 3 430 4 5 400
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩ (B) 3 5 430 5 4 400
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩
(C) 5 3 370 4 5 400
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩ (D) 3 5 370 5 4 400
x y
x y
+ =
⎧⎨ + =
⎩
（ ）12. 羽毛球的售價分成兩種：比賽用球每打 300 元，練習用球每打 250 元。創創____共買了 10 打羽毛球，結帳時店員將兩種價目看 反了，結果使得創創____少付了 100 元。設比賽用球買 x 打，練習