研究設計及工具

一、 教材地位分析

為確實調查出國中學生在二元一次方程式單元的學習內容，本研 究依據民國 92 年公布之九年一貫課程綱要數學領域的內容，並參考南 一、康軒、部編版等教師手冊、相關文獻及其他參考資料，分析本單 元之教材地位於圖 3-1，以便為之後的研究提供更適合的定位。

已習教材 本章教材 未習教材

線線線線 (高高高高)

一一一一一一一 (國高國一國國5章)

等等等等 移移移移 (國高國一國國5章)

二一一一二二 一一一方方方一

(高高高高) 了了二一一一一一一方了了

能能二一一一一方能能

能能能能能能能移 了二一一一二二一一一

二一一一一一一 在在在在在在方 圖圖(國高國二國

國第章) 以以以以以線

(國國國國國)

能能能2個個個線個個個個個 所所所所所所所二二一一一

直直在在直 (國高國二國國第章)

能能所了所能個個高所能 可能可可可能以可可 能個線能以能二一一一一以

確確確確確確了

能能能以能能能移 了二一一一二二一一一

能了能個個個個所所高所能方 二一一一二二一一一 能能能能能能圖一

了所(國國國國國) 線能數移能能

(國國國國國)

圖 3-1 二元一次方程式之教材地位分析圖

二、 研究設計

研究設計主要分為兩階段，並依此設計研究工具：

階段一為紙筆測驗，研究者於施測後，分析並歸納學生作答內容，將 其分成正確和錯誤兩個部份，分別探討學生在解二元一次方程式時的正確 解題策略或是可能發生的錯誤觀念及類型。而此研究工具是根據 90~95 年基本學力測驗數學科題目改編之"二元一次方程式單元測驗"。

階段二則為晤談，在施測的試卷分析中，選擇學生的錯誤類型具代 表性、特殊性、或是不易了解者進行晤談。由晤談的過程中釐清學生解題 的歷程、想法、及犯錯的原因。晤談所使用的工具為階段一紙筆測驗試卷 的分析結果。

三、研究工具

研究者由整理文獻資料所得，再加上多年教學心得，觀察學生在二 元一次方程式單元的學習歷程後，決定了本研究之研究工具為"二元一次 方程式單元測驗"試卷，試卷以教學內容分為二元一次方程式之化簡（化 簡）、解二元一次聯立方程式（解聯立）、依照題意列出二元一次聯立方 程式（列式）、二元一次方程式之文字題（解文字題）四類，試卷設計流 程如下：

（一）測驗題選擇：研究者自 90~95 年基測考古題中整理並改編 20 題有 關二元一次方程式之測驗題，包含解聯立方程式計算題以及文字

題（附錄 A）。試題係以正式的基本學力測驗題目改編，測驗之能 力指標概念已經專家學者及專業數學教師審核確認過，研究者改 編試題時維持題型原有架構，只有在數據上有些微的變化。改編 試題和基測原題的差異詳列於附錄 B。在內容效度方面，表 3-2 附 上預試試卷的施測題目雙向細目表，此份雙向細目表除了研究者 之外，另外請教了 2 位任教國中多年，經驗豐富的數學教師作檢 核，以符合專家效度。另外為了清楚檢視學生的思考及解題歷程，

在正式施測時，將部分選擇題改編為計算題的形式，而其精神仍 然符合九年一貫中課程綱要之能力指標。雖然題型改編可能對同 學的答題表現有所影響，因為選擇題中的選項可以代入的方式猜 答，也從中暗示同學正確解題模式；而計算題則需要同學以自己 的代數概念由無到有順序解題，難度上實有差異，但是依本研究 所要討論的解題策略及錯誤類型而言，將題型改編為計算題才有 足夠資料以供分析，確實有其必要性。

表 3-2 「二元一次方程式單元測驗」預試試卷之雙向細目表

＊：括弧內數字代表題號

（二）預試：為了準備適當之執行工具，研究者先做預試，目的在初步 了解學生對於二元一次方程式的概念能力發展，以作為增刪及修 改試題的依據，對象為高雄市 A 國中國三學生一班共 33 人，採集 體測驗，時間為 45 分鐘，題數共 20 題。

（三）試題增刪並確認：根據預試結果，研究者利用 Microsoft Excel 軟 教 學 目 標

概念理解

（概念）

基本運算

（運算）

問題解決

（解題）

合計 題數 二元一次方程式之

化簡（化簡）

（1）＊ （2） （3） 3

解二元一次聯立方 程式

（解聯立）

（4） （5）（6）

（7）（8）

5

依照題意列出二元 一次方程式（列式）

（9）（10）

（11）

（13）

（12）

（14）

6 教

學 內 容

二元一次方程式之 文字題（解文字題）

（16）

（17）

（15）

（18）

（19）

（20）

6

合計題數 6 7 7 20

體加以統計，刪除錯誤率太低或太高，鑑別度不佳的試題，並修 改文字及數據，使題意更清晰，最後經由指導教授的修訂及指正，

選擇正確率在 40~65%之間的題目，計有第 2、3、4、5、6、7、

12、16、17、18 共 10 題。分析其題目內容後，發現第 5、6、7 三題同質性太高，故只留存第 6 題，再根據雙向細目表分析，加 入第 1 及第 20 題。至此 10 題試題均屬於難度中等的題目，但由 於本研究欲分析同學的錯誤解題概念，所以難題的存在有其重要 性，故加上一題在預試中答對率最低的第 14 題，共取 11 題。最 後將部份題目修改為計算題的形式。預試之統計情形數據列於圖 3-2。

二一一一一一一單一預試正確率統計

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 所以

正確率(%)

圖 3-2 「二元一次方程式單元測驗」預試各題正確率統計圖

（四）正式施測：目的在確實了解學生對於二元一次方程式的概念及解 題能力，並據以分析產生錯誤的類型及原因，樣本為高雄市 A 國 中國三學生 2 班共 81 人、高雄縣 B 國中國三學生 2 班共 65 人、

屏東縣 C 國中國三學生 2 班共 61 人，合計 6 班共 207 人，採集 體測驗的方式，施測時間 45 分鐘，題數為 11 題。正式施測測驗 結果，研究者同樣利用 Microsoft Excel 軟體加以分析，分為正確 解題的策略選擇及錯誤類型兩部分作討論。詳細結果請參考第四 章。表 3-3 附上正式試卷的施測題目雙向細目表，正式施測試卷 則詳見附錄 C。

表 3-3 「二元一次方程式單元測驗」正式試卷之雙向細目表 教 學 目 標

概念理解

（概念）

基本運算

（運算）

問題解決

（解題）

合計題數

二元一次方程 式之化簡

（化簡）

（4）＊ （3） （1） 3

解二元一次 聯立方程式

（解聯立）

（2） （5） 2

依照題意列 出二元一次 方程式（列 式）

（7）

（11）

2 教

學 內 容

二元一次方程 式之文字題

（解文字題）

（8）

（9）

（6）

（10）

4

合計題數 2 4 5 11

＊：括弧內數字代表題號

（五） 晤談計畫：研究者為完整了解學生在解二元一次方程式時所使用的 概念及採用的策略，在正式施測後會進行學生的晤談計畫。晤談的 方式採非結構性，引導學生說出自己的想法及解題步驟。晤談進行 方式由研究者選定樣本後，為了減低學生焦慮感，請任課老師做為

引導學生說明其解題概念及方法。在晤談過程中以筆記和錄音並重 的方式作紀錄。除了詢問同學測驗時的作答歷程外，必要時也會請 同學當場回答類似的問題，以確實釐清其正確或錯誤想法。詳細晤 談計畫見附錄 D。