四、 二維位能勢
4.3. 其他二維不規則邊界
4.3.1. 二維不規則邊界-金門
選擇一個金門地形的地圖，再將地圖轉化為二維不規則的矩陣圖形，如
圖4.3.1，再帶入數值方法運算，可得二維不規則邊界的特徵態及特徵能量 值。
圖4.3.1 不規則邊界圖形-金門
表 4.3.1 二維不規則邊界-金門
Intensity Energy Intensity Energy Intensity Energy
11.704 43.334 150.047
18.680 49.818 200.569
25.015 54.614 236.512
29.724 61.825 280.848
34.955 83.892 329.290
40.745 106.822 362.464
數值解
4.3.2 二維不規則邊界-小提琴
選擇一個小提琴的圖形，再將小提琴圖形轉化為二維不規則的圖形，如
圖4.3.2，帶入數值方法運算，可得小提琴形狀的二維不規則邊界的特徵態 及特徵能量值。
圖4.3.2 不規則邊界圖形-小提琴
表 4.3.2 二維不規則邊界位能勢數值解-小提琴
Intensity Energy Intensity Energy Intensity Energy
8.710 74.077 201.461
12.156 95.703 237.205
19.669 118.287 258.851
23.917 138.529 340.629
28.413 164.402 376.090
54.173 172.819 417.450
數值解
第五章 節線研究(Nodal Line)
自從 Ernst Chladni ( 1756-1827 ) 發現了將只能聽得到的聲音化為看得 見的”聲音”之後， Nodal Line 在聲學上一直是一個很重要的研究指標。
Ernst Chladni 發展出這個研究二維波圖案的技術，是改良於伽利略的方金 屬板振動，他將沙子灑在板子上，用提琴的弓來使平板振動。當達某個共 振頻率時，節點線上的沙子仍是靜止，不在節點線的沙子會一直跳動直到 移動至節點線上為止。此時，平板的沙子呈現駐波圖案 Chladni pattern ， 而聲音節線圖騰－ Chladni pattern 到今天仍是重要的研究波振動的工具。
Ernst Chladni 也用圓盤和方型盤子的振動，進行很多實驗研究節點
（Nodal Line）。當振動的平板具有均勻的密度且對稱的形狀，則當施予的 波動頻率改變，共振圖案會隨之立即跟著變化，而呈現各種不同模態的對 稱圖案，如圖（5.1）。無論圓形或方形盤子的振動，顯示 Chladni pattern 皆 是侷限在二維空間中所展現的共振現象。由第四章我們可以知道，以 Sinc function 為基底的特徵函數展開法可以作為解二維不同幾何形狀特定邊界 的數值方法，因此我們將利用數值方法來模擬及類比圓形和方形的 Chladni pattern ，從而衍生討論在設有干擾物微擾下的波動的行為[28-30]。
圖 5.1 方形與圓形震動示意圖
5.1 類比文獻上的 Chladni pattern
5.1.1 方形
在大學物理實驗中，探討在特定邊界下波的振動及觀察駐波的行為大都
以 Chladni pattern 作為實驗對象，因此相關的資料相當多元，圖 5.1.1 為文 獻上的方形 Chladni pattern 。首先我們將針對方形進行模擬並與文獻上方 形的 Nodal line 圖形進行比對，結果如圖 5.1.2 與圖 5.1.3，
圖.5.1.1 文獻上方形 Chladni pattern [28]
圖.5.1.2 方形 Chladni pattern 比對圖（一）
K=4 K=5 K=6 K=7
K=14 K=10 K=13
K=9
圖.5.1.3 方形 Chladni pattern 比對圖（二）
文獻中的 Nodal line pattern 會依頻率的不同而產生不同的 pattern ，頻
率越高， pattern 就會越複雜，在數值方法所模擬各個特徵態的圖形中，我 們選擇其中與 Chladni pattern 文獻中相似的 Nodal line 圖形來比較，在類 比的圖形中清楚顯示在以數值方法所模擬的特徵態（K）是介於 4~27 間，
可以模擬出相似於文獻上的圖形；特徵態（K）越高可得到對應到的圖形越 少。
K=13 K=14
K=16 K=17 K=19 K=20
K=27
K=21 K=22
5.1.2 圓形
對於圓形的 Nodal line pattern ，除了類比文獻上的 Chladni pattern
外，也加入實際震砂的經典 pattern 。與方形相同的狀況，圓形可模擬的特 徵態（K）都是在較低的特徵態（K）時可模擬出與相關文獻上相似的圖形，
結果如圖 5.1.4 與圖 5.1.5。
K=2 K=4 K=8 K=16
圖.5.1.4 圓形 Chladni pattern 比對圖（一）
K=12 K=6 K=4
K=2
圖.5.1.5 圓形 Chladni pattern 比對圖（二）
5.1.3 小提琴圖形（Violin shaped plate）
類比小提琴圖形的 Nodal line pattern ，由於邊界條件不同，所模擬的
圖形與相關文獻上相似的圖形較少。
K=12 K=21
圖.5.1.6 小提琴 Chladni pattern 比對圖
5.1.4 結果與討論
雖然所模擬的圖形及數量還無法與文獻完全的類比，但已經顯示以
Sinc function 為基底的特徵函數展開法的確可以在給定特定的邊界下，模擬 出部分在相關文獻上所研究的 Chladni pattern 。
5.2 理論計算分析
接下來我們要在模擬的圖形中加上了干擾物，來探討干擾物對波動行為
的影響所產生出的 Nodal Line 圖形。我們從干擾物在不同距離所計算的模 擬結果，發現了一些相當有趣的現象值得我們來探討。我們知道當給定一 對稱的二維形狀如圓形，在未放干擾物時，在各個特徵態其圖形會呈現對 稱性的排列，模擬結果與實際實驗皆有相同的結論。當我們在二維圓形中 放置干擾物時，預期原本的對稱性將會受到破壞，而產生另一種新的破壞 性對稱的圖形；但若恰巧干擾物放置的位置是在各個特徵態的 Nodal line 時，圖形會等同於未放干擾物時的圖形。另外在產生新的破壞性對稱的圖 形時，其特徵能量也會有不同的變化，而當對稱破壞達到最大時，特徵能 量也會隨著達到最大值，我們將會再對此現象針對干擾物不同的距離來分 析特徵能量的變化趨勢。
5.2.1 干擾物對圖騰的定性分析
我們可以預期，當二維圓形未放置干擾物時，模擬所呈現特徵態的圖形
是對稱的，而放置干擾物時則破壞原本呈現的對稱性，而產生另一種新的 破壞性對稱的圖形。當干擾物沿著相同的方向改變其放置的位置時，可以 清楚的觀察到共振圖形會隨著干擾物放置的方向，呈現其破壞性的對稱，
如表5.2.1與表5.2.2。
表.5.2.1 干擾物於不同距離的特徵態（一）
距離 State
0 cm
(無障礙物) 2 cm 3.8 cm 5 cm 7.3 cm 10 cm
K=3
K=5
K=6
K=8
表.5.2.2 干擾物於不同距離的特徵態（二）
距 離
State 0 c m (無障礙物) 2 cm 3.8 cm 5 cm 7.3 cm 10 cm
K=10
K=12
K=14
K=16
5.2.2 干擾物對圖騰特徵能量值的定量分析
E (k=5) 13.008 13.068 13.503 14.198 14.676 13.542
E (k=6) 18.138 19.532 18.94 18.428 18.327 18.366
E (k=8) 19.996 20.03 20.202 20.58 22.01 20.725
E (k=10) 24.168 26.918 27.302 25.857 24.535 24.938
E (k=12) 28.431 28.432 28.572 28.774 30.495 29.534
E (k=14) 34.887 35.526 37.543 37.163 35.12 35.603
E (k=16) 37.792 37.792 38.421 38.389 39.262 39.052
不同位置的特徵能量趨勢圖
接著將各個特徵態的特徵能量值(E)減去無干擾物的特徵能量值(E0)，
圖 5.2.4 能量分布形式
5.3 加干擾物的 Nodal line 波動行為探討
在5.1節中已知，利用 Sinc function 為基底的數值方法所模擬出的圖形
可以類比出文獻上經典的 Chladni pattern ，在郭政嘉”局部挾置對平板振盪 器的節線圖騰之影響”的論文中，也實際的利用挾住局部區域的一個點及改 變點的位置來研究節線圖騰現象做出了實驗，因此我們將重現以其實驗的 條件，帶入以 Sinc function 為基底的數值方法中，針對模擬出的圖形對實 驗的節線圖騰來做類比，以探討以 Sinc function 為基底的數值方法對於在 有干擾物微擾下的節線圖騰的變化。
5.3.1 類比實驗圖形
由實驗得知磁鐵位置、磁鐵大小為其實驗主要影響參數，因此我們定義
與實驗一致的直徑24cm的圓形作為模擬的二維邊界的範圍，輔以直徑 10 mm的圓形干擾物，改變圓形干擾物位於圓心的距離，分別對 2 cm、3.8 cm、
5 cm、7.3 cm、10 cm不同的位置作模擬，並與實驗中所有頻率的圖騰比較 出相同的圖形，結果如圖5.3.1 ~ 5.3.5。
K=12K=17 K=55 K=19
圖.5.3.1 圓形干擾物距圓心 2 cm
圖.5.3.2 圓形干擾物距圓心 3.8 cm
K=34 K=80
K=16 K=8
K=5
K=4 K=17
K=29
K=8 K=17 K=17 K=1
K=34 K=54
圖.5.3.3 圓形干擾物距圓心 5 cm
K=17
K=8 K=55 K=5
圖.5.3.4 圓形干擾物距圓心 7.3 cm
K=5 K=17
圖.5.3.5 圓形干擾物距圓心 10 cm
5.3.2 實驗結果討論
根據上述的資料所示，比對干擾物在不同距離下各個特徵態（K）的圖
形，其中特徵態（K）為17在各個距離皆出現相仿的圖形。因此以 Sinc function 為基底的數值方法可模擬出部分文獻所研究的二維方形及圓形的 Chladni pattern。
第六章 結論與未來展望
Sinc function 為具有正交性質的基底函數，其完備性並不完全，故其數
值解有些許的誤差，以二維方形圓形解析解與數值解的結果比較可以得 知；以 Sinc function 為基底的數值方法模擬，比較各個特徵態與解析解的特 徵態，在相同特徵態下的圖形是相當接近的；比對特徵能量值（Energy），
能量值相當的接近，方形及圓形數值解對解析解的誤差各約為 1.1% 及 2.39%，所以 Sinc function 依舊是為基底函數的最佳選擇之ㄧ。
而在 Chladni pattern 模擬，雖然所模擬的圖形及數量還無法與文獻完全 的類比，但已經顯示以 Sinc function 為基底的數值方法的確可以在給定特定 的邊界下，模擬出部分在相關文獻上所研究的 Chladni pattern。探討干擾物 對波動的 Nodal Line 圖形，我們亦可以針對干擾物在不同距離下，模擬出 與實際震砂實驗相似的圖形；而探討微擾對 Nodal Line 的影響，在有放置 干擾物下的特徵能量值，的確會高於無干擾物時的特徵能量值。
在此研究上並未針對 High Order 特徵態進行探討， High Order 特徵 態的圖形變化更為複雜，未來我們可以利用 Sinc function 為基底的數值方法 持續對在 High Order 特徵態作探討。另外我們可利用這個數值方法模擬干 擾物在任意邊界圖形中微擾的影響，尤其是當多個干擾物存在時，整個二 維系統會呈現出接近現實中無序的狀態，這在物理的研究上是相當重要的。
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