二、 自然界中的波動及赫姆霍茲方程式
2.4 赫姆霍茲方程式（Helmholtz equation）
界條件，因此只要在給定邊界條件下，我們就可以得到空間解，而我們就 是利用定態薛丁格方程式化為赫姆霍茲方程式的形式，在有邊界的條件下 去求解特徵值問題。
第三章 數值方法
得到相對應的特徵值與特徵向量，亦可得此矩陣中相對應的特徵態，其中 特徵向量為基底向量。由此可知，只要找到某系統的一組具備正交及完備 性質的基底函數，亦可由此方法來找出此系統中的特徵態。而 Sinc 函數即 為具有正交性質的基底函數，但其完備性並不完全，故其數值解有些許的 誤差，雖然如此 Sinc 函數依舊是為基底函數的最佳選擇之ㄧ，所以我們將 以 Sinc 函數作為解定態薛丁格方程式的基底函數。
3.2 基底函數
圖 3.2.1 單位向量表示圖
資料來源[17]
3.2.2 Sinc function
Sinc 函數 [18-23] 在科學上的應用相當廣泛，不論在光學成像系統的
頻率特性、空間濾波、相干光學處理、非相干光學處理、信息光學、光通 信及數位訊號的處理上，都在 Sinc 函數的涵蓋範圍內。我們在處理方波 時，經由傅立葉轉換可得到在時域的訊號，其形狀為一 Sinc 函數的訊號。
首先介紹 Sinc 函數的定義。
Sinc 函數在數學上定義的基本數學形式為：
( )
sin( )
sin = x
x x （3.2.1）
( )
sin( )
sin α
α = α
x x
x （3.2.2）
其中 Sinc 函數在 x 為 0 點的奇異點定義為 1，如圖 3.2.2，
x
( )
f x
圖 3.2.3 f x
( )
=4x 圖形 2圖 3.2.4 Sinc function 描述 f x
( )
=4x 2Sinc function 也具有正交的特質，接下來我們將接續來了解 Sinc 函數 的正交性質。已知有兩個 Sinc 函數 S h xk( , ) 及 S h xl( , ) ，假設在某一區
間內彼此正交，為驗證其正交性，對 S h xk( , )，S h xl( , ) 做內積運算：
3.3 一維薛丁格方程式的數值方法推導
3.4 二維薛丁格方程式的數值方法推導
( ) ( ) ( )}
3.5 結果與討論
對於特徵值問題，我們採用的數值方法就是特徵函數展開法，只要找 出一組具備正交及完備性質的基底函數，我們就可以找到特徵值與特徵向 量，最後就可解出於此系統中特徵態的解。而 Sinc 函數為具有正交性質的 基底函數，但其完備性並不完全，故其數值解有些許的誤差，雖然如此 Sinc 函數依舊是為基底函數的最佳選擇之ㄧ，所以我們將以 Sinc 函數作為解定 態薛丁格方程式的基底函數。
第四章二維位能勢
波在不同幾何形狀邊界的行為探討，一直被科學家所研究著，舉凡
在通訊、雷射及發光二極體等方面，在在都對特定幾何邊界的波動行為有 著相當廣泛的研究。像是光通過光纖進行傳導訊息時，能量在垂直於光傳 遞方向二維平面的行為分布就相當重要，關係著傳導訊息失真與否；發光 二極體在光行進的路徑，在不同的材料的介面上，波在其幾何邊界上所產 生的干涉及反射行為，關係著發光效率高與低。而這些方面的行為研究皆 屬電磁學與量子力學的範疇，因此波在不同幾何形狀二維特定邊界下的基 礎行為探討，在電磁學及量子力學中是相當重要的。
4.1 二維方形位能勢 (Two-Dimensional square potential)
波的運用相當多元，其中最令人熟知的便是運用在光傳輸的光波導，不
同材料的波導會產生不同的模態，在光的傳遞時最不希望高階模態的產 生，高階模態會造成光收斂性不佳，而致使光產生損耗或者訊號轉換失真。
因此波導的形狀及材質也因應產業的發展而廣泛的被研究著，其中矩形對 稱形狀的波導一直是光通訊元件的主流。因此對於二維方形我們將分別以 數值方法及解析解來分析及比較。
4.1.1 二維方形位能勢解析解
經由第三章數值方法的討論，已知二維定態薛丁格波動方程式如下；
−2hm2 ∇2ψ
(
x y,)
+V r( )
r ψ(
x y,)
= Eψ(
x y,)
（4.1.1）假設
最後可以得知二維方形的特徵態（Eigenstates）的解析解，表示如下
表 4.1.1 二維方形之解析解(一)
m,n Intensity Energy m,n Intensity Energy
(1,1) 2.467 (4,1) 20.973
(2,1) 6.169 (3,3) 22.207
(1,2) 6.169 (4,2) 24.674
(3,1) 12.337 (4,3) 30.843
(3,2) 16.038 (5,1) 32.076
解析解 解析解
表 4.1.2 二維方形之解析解(二)
m,n Intensity Energy m,n Intensity Energy
(5,2) 35.777 (4,6) 64.152
(4,4) 39.478 (6,5) 75.256
(5,3) 41.946 (1,8) 80.191
(6,2) 49.348 (3,8) 90.060
(3,6) 55.517 (9,4) 119.669
解析解 解析解
4.1.2 二維方形位能勢數值解
將二維方形的圖形，轉化為以點陣圖格式來呈現，點陣圖的灰階呈現由
黑到白可表示為 0 至 255。在二維方形外圍束以白色邊框做為其邊界條件，
如圖 4.1.2，其中以白色為的邊框部份就是我們用以表示為無限位能井，所 有的波動皆束縛在方形位能勢中。
圖 4.1.2 二維方形圖形
將二維方形帶入特徵函數展開法來運算，使用數值方法運算時， Basis
越高其誤差會越低，但由於個人電腦效能的關係，無法處理太大數量的 Basis ，在這裡我們使用的 Basis 數目是 Ｎ＝40×40，得到在不同 State 狀 態下，模擬出的特徵態的圖形及特徵能量值。如表 4.1.3 及表 4.1.4 所示。
表 4.1.3 二維方形位能勢之數值解(一)
State Intensity Energy State Intensity Energy
(1,1) 2.513 (4,1) 21.231
(2,1) 6.256 (3,3) 22.479
(1,2) 6.256 (4,2) 24.975
(3,1) 12.496 (4,3) 31.214
(3,2) 16.239 (5,1) 32.463
數值解 數值解
表 4.1.4 二維方形位能勢之數值解(二)
State Intensity Energy m,n Intensity Energy
(5,2) 36.206 (4,6) 64.908
(4,4) 39.950 (6,5) 76.140
(5,3) 42.446 (1,8) 81.132
(6,2) 49.933 (3,8) 91.116
(3,6) 56.173 (9,4) 121.067
數值解 數值解
4.1.3 二維方形位能勢解析解與數值解比較
由於運算的 Basis 數量越高，其運算結果與解析解的差異會越小，所以
先針對二維方型圖形在不同 Basis 數目的運算下，來比較其運算結果對解 析解的誤差率。定義誤差率為在同一定態下，數值解減去解析解的差值再 除以解析解，並取其絕對值。從圖 4.1.3 的確可以看出，運算的 Basis 數量 越高，其誤差越小。
縱合以上二維方形解析解與數值解的結果，可以從表 4.1.5 及表 4.1.6 中得知，以數值方法模擬所呈現出來在各個不同特徵態的圖形與解析解的 圖形比較，在相同特徵態下的圖形是一致的。比對特徵能量值（Energy），
從表 4.1.5 及表 4.1.6 中也可以看出二維方形解析解與數值解的特徵能量值 的確相當的接近。
接下來進一步分析解析解與數值解特徵能量值分佈，我們先定義特徵 態（State），由 1 至 100 代表著圖形複雜程度的增加， Energy 為特徵能量 值。從圖 4.1.4 可以看出，隨著特徵態的複雜度遞增，於相同特徵態下解析 解與數值解能量值分別也往上遞增，而其數值解對解析解的平均誤差約為 1.1%。
表 4.1.5 二維方形位能勢解析解與數值解比較表(一)
Intensity Energy Intensity Energy
(1,1) 2.513 2.467
(2,1) 6.256 6.169
(1,2) 6.256 6.169
(3,1) 12.496 12.337
(3,2) 16.239 16.038
解析解 數值解
State (m,n)
表 4.1.6 二維方形位能勢解析解與數值解比較表(二)
Intensity Energy Intensity Energy
(4,1) 21.231 20.973
(3,3) 22.479 22.207
(4,2) 24.975 24.674
(4,3) 31.214 30.843
(5,1) 32.463 32.076
解析解 數值解
State (m,n)
不 同 Basis數 量 誤 差 比 較
4.2 二維圓形位能勢 (Two-Dimensional circle potential)
令 2
⇒R x
( )
=BJm( )
x （4.2.9）表 4.2.1 二維圓形位能勢之解析解(一)
State Intensity Energy m,n Intensity Energy
(0,1) 2.776 (1,2) 25.038
(1,1) 7.36 (4,1) 28.059
(2,1) 13.102 (2,2) 36.121
(0,2) 15.113 (0,3) 37.319
(3,1) 20.002 (5,1) 37.273
解析解 解析解
表 4.2.2 二維圓形位能勢之解析解(二)
State Intensity Energy m,n Intensity Energy
(4,1) 28.059 (3,3) 86.590
(4,1) 37.319 (6,2) 92.027
(6,1) 47.645 (4,3) 105.329
(4,2) 61.759 (5,3) 125.225
(0,4) 69.396 (1,5) 137.289
解析解 解析解
4.2.2 二維圓形位能勢數值解
將二維圓形的圖形，化為矩陣的方式來呈現，處理方式與方型一致，在
圓形外圍束以白色邊框做為其邊界，其中白色部分的位能勢視為無窮大，
黑色部分位能勢設為零，如圖 4.2.2，
圖 4.2.2 二維圓形圖形
將此圖形帶入數值方法來做運算，可以得到在不同 State 狀態下，其模
擬出的不同特徵態圖形及特徵能量 Energy 。如表 4.2.3 及表 4.2.4 所示。
表 4.2.3 二維圓形位能勢之數值解(一)
State Intensity Energy m,n Intensity Energy
(0,1) 2.865 (1,2) 25.111
(1,1) 7.456 (4,1) 29.226
(2,1) 13.344 (2,2) 35.799
(0,2) 15.503 (0,3) 38.067
(3,1) 20.724 (5,1) 39.076
數值解 數值解
表 4.2.4 二維圓形位能勢之數值解(二)
State Intensity Energy m,n Intensity Energy
(3,2) 48.333 (3,3) 85.875
(6,1) 50.128 (6,2) 93.759
(4,2) 62.294 (4,3) 104.63
(0,4) 70.715 (5,3) 125.21
(5,2) 77.246 (1,5) 137.34
數值解 數值解
4.2.3 二維圓形位能勢解析解與數值解比較
縱合以上二維圓形解析解與數值解的結果，可以從表 4.2.5 及表 4.2.6 中
得知，以數值方法模擬所呈現出來在各個不同 State 的圖像與解析解的圖 像作比較，在相同 State 下的圖形，數值解的圖形近似解析解的圖形。比 對特徵能量值（Energy），從表 4.2.5 及表 4.2.6 中也可以看出二維圓形解析 解與數值解的特徵能量值相當的接近。
接下來進一步分析解析解與數值解特徵能量值分佈，與二維方形一 樣，定義 State 由 1 至 100 代表著圖形複雜程度的增加， Energy 為特徵能 量值。從圖 4.1.3 可以了解，隨著 State 的複雜度遞增，於相同 State 下解 析解與數值解能量值分別往上遞增，其數值解對解析解的誤差約為 2.39%。
表 4.2.5 二維圓形位能勢解析解與數值解比較表(一)
Intensity Energy Intensity Energy
(0,1) 2.865 2.776
(1,1) 7.456 7.36
(2,1) 13.344 13.102
(0,2) 15.503 15.113
(3,1) 20.724 20.002
解析解 數值解
State (m,n)
表 4.2.6 二維圓形位能勢解析解與數值解比較表(二)
Intensity Energy Intensity Energy
(1,2) 25.111 25.038
(4,1) 29.226 28.059
(2,2) 35.799 36.121
(0,3) 38.067 37.319
(5,1) 39.076 37.273
解析解 數值解
State (m,n)
解析解 與數值 解特徵 能量關 係圖
0 50 100 150 200
0 20 40 60 80
State
Energy 解 析 解
Sinc數 值 解
圖 4.2.3 二維圓形解析解與數值解特徵能量關係圖
4.3 其他二維不規則邊界
從上述二維方形及圓形位能勢的解析解與數值解比較來看，以數值方法
所運算出來的數值解，的確可以近似二維方形及圓形位能勢的解析解。
接下來我們將利用這個數值方法對於不規則形狀邊界的圖形做運算，解出 在各個不同定態下的圖形及特徵能量值。
4.3.1 二維不規則邊界-金門
選擇一個金門地形的地圖，再將地圖轉化為二維不規則的矩陣圖形，如
圖4.3.1，再帶入數值方法運算，可得二維不規則邊界的特徵態及特徵能量 值。
圖4.3.1 不規則邊界圖形-金門
表 4.3.1 二維不規則邊界-金門
Intensity Energy Intensity Energy Intensity Energy
11.704 43.334 150.047
18.680 49.818 200.569
25.015 54.614 236.512
29.724 61.825 280.848
34.955 83.892 329.290
40.745 106.822 362.464
數值解
4.3.2 二維不規則邊界-小提琴
選擇一個小提琴的圖形，再將小提琴圖形轉化為二維不規則的圖形，如
圖4.3.2，帶入數值方法運算，可得小提琴形狀的二維不規則邊界的特徵態 及特徵能量值。
圖4.3.2 不規則邊界圖形-小提琴
表 4.3.2 二維不規則邊界位能勢數值解-小提琴
Intensity Energy Intensity Energy Intensity Energy
8.710 74.077 201.461
12.156 95.703 237.205
19.669 118.287 258.851
23.917 138.529 340.629
28.413 164.402 376.090
54.173 172.819 417.450
數值解
第五章 節線研究(Nodal Line)
自從 Ernst Chladni ( 1756-1827 ) 發現了將只能聽得到的聲音化為看得 見的”聲音”之後， Nodal Line 在聲學上一直是一個很重要的研究指標。
Ernst Chladni 發展出這個研究二維波圖案的技術，是改良於伽利略的方金 屬板振動，他將沙子灑在板子上，用提琴的弓來使平板振動。當達某個共 振頻率時，節點線上的沙子仍是靜止，不在節點線的沙子會一直跳動直到 移動至節點線上為止。此時，平板的沙子呈現駐波圖案 Chladni pattern ， 而聲音節線圖騰－ Chladni pattern 到今天仍是重要的研究波振動的工具。
Ernst Chladni 也用圓盤和方型盤子的振動，進行很多實驗研究節點
（Nodal Line）。當振動的平板具有均勻的密度且對稱的形狀，則當施予的 波動頻率改變，共振圖案會隨之立即跟著變化，而呈現各種不同模態的對 稱圖案，如圖（5.1）。無論圓形或方形盤子的振動，顯示 Chladni pattern 皆 是侷限在二維空間中所展現的共振現象。由第四章我們可以知道，以 Sinc function 為基底的特徵函數展開法可以作為解二維不同幾何形狀特定邊界 的數值方法，因此我們將利用數值方法來模擬及類比圓形和方形的 Chladni pattern ，從而衍生討論在設有干擾物微擾下的波動的行為[28-30]。
（Nodal Line）。當振動的平板具有均勻的密度且對稱的形狀，則當施予的 波動頻率改變，共振圖案會隨之立即跟著變化，而呈現各種不同模態的對 稱圖案，如圖（5.1）。無論圓形或方形盤子的振動，顯示 Chladni pattern 皆 是侷限在二維空間中所展現的共振現象。由第四章我們可以知道，以 Sinc function 為基底的特徵函數展開法可以作為解二維不同幾何形狀特定邊界 的數值方法，因此我們將利用數值方法來模擬及類比圓形和方形的 Chladni pattern ，從而衍生討論在設有干擾物微擾下的波動的行為[28-30]。