本文組織

本論文共有六個章節，第二章簡介波動行為從繩波到電磁波乃致物質波

的基本概念，以及簡述其代表的運動方程在有邊界條件下的赫姆霍茲方程 式的表示式。第三章介紹 Sinc 函數及其正交性，並以 Sinc 函數為基底利 用數值方法-特徵函數展開法，推導二維定態薛丁格方程式。第四章以此數 值方法得到的解來驗證二維方形、圓形的解析解，並對不規則邊界圖形做 分析。第五章針對 Chladni 經典的節線圖騰作一系列模擬[8]，並類比實際 在 Chladni plate 加干擾物的節線圖驣來做探討。第六章結論與未來方向。

。

第二章 自然界中的波動及赫姆霍茲方程式

在日常生活中，人類無時無刻都可以體驗到許多來自不同介質所產生 的各種波動。波其實是一種擾動，一種平衡狀態中的擾動，這種擾動會隨 著時間的經過，從空間中的某個區域傳到另一個區域。除了拍擊海岸的海 浪是波之外，聲波、光、廣播電台及電視台的無線電波、震撼地面的地震 波、甚至是微小電子的物質波，在在的顯示其實整個自然界到處都是充滿 著波動，換句話說，整個自然界都是被波動所支配。

物理學家將自然界中的波動行為區分為巨觀世界及微觀世界的波動，

描述巨觀世界的波動行為依循的是古典物理中牛頓運動定律準則，主要所 處理的質點系統是建立在力與加速度的觀念，以及描述運動軌跡的運動方 程式的兩項基礎上；而描述微觀世界的波動行為依循的是量子力學的理 論，建立在物質的波粒二象性及能量為不連續態的觀念上。

波既然是一種傳播運動，必然會有符合其行為的運動方程式，稱為波 動方程式，我們將從一般常見的繩波、電磁波及物質波，來導出符合其波 動行為的波動方程式[9]。而在物理系統中任何描述其動態的行為必然有其 對應的微分方程，波動方程亦是其中之ㄧ，而這些重要的微分方程，在有 邊界的條件下皆可以化為特徵值問題的形式。物理界中最常碰到的特徵值 問題的形式其實就是赫姆霍茲方程式，如式（2.1）。

(

^{∇ +2 k2}

)

^{E =0}

（2.1）

因此我們可以將波動方程式化成赫姆霍茲方程式的形式，來解波動在有邊 界條件下的特徵值問題。

2.1 繩波

在所有波的種類中，最容易了解的是機械波，這種波是介質從平衡狀態

偏離所引起的效應，使波在這種物質內通過，我們可想像由大量質點所構 成的介質，每一質點都以彈性材料和其附近的質點連接。此介質的一端以 任何形式使其位移，發生位移的地方會使其在旁邊的質點上產生一種彈 力，因此在旁邊的質點也產生了位移，第二個質點又會使旁邊的質點產生 位移，因此這樣的位移會沿著這個介質以固定的速率來傳播[9]。

我們將這個介質換成是一條繩子，在其左端垂直於繩子的方向上施以 外力使其發生位移，此種橫向位移的波我們稱之為橫波，而以一定方向及 速度傳播的波動稱為行進波。

直接從牛頓定律出發，假設均勻且完全彈性之繩索，在兩點張力及斜率 分別為 T₁、tanα 及 T₂、tanβ 之作用下，如圖 2.1.1。

圖 2.1.1 繩波線段示意圖

數法做時空分離，令 ^{y x t}

( )

^{, = X x T t}

( ) ( )

代入式（2.1.5），得

2.2 電磁波

field intensity）， D 為電通密度（Electric flux density）亦為電位移為（Electric displacement）， B 為磁通密度（Magnetic flux density）， J 為電流密度

（Electric current density）， ρ 為體電荷密度（Volume charge density）。

電場強度與電位移的關係式為 D=εE ，磁場強度和磁通密度關係式

則為 B=μH，

ε

為介電常數（Permittivity），

μ

為介磁常數（permeability）。

1

2.3 物質波

描述物質波的微分方程就是薛丁格方程式。當愛因斯坦揭露了光具有波

和粒子的二象性後，一套觀測微觀世界的理論已然悄悄地萌芽。物理學家 德布羅伊（Louis V.deBroglie,1892~1987）提出了突破性的物質波的理論，

每一種粒子都具有粒子與波動的兩象性理論，即帶質量的粒子除了具有粒 子特性外，還具有波的性質，粒子同時也具有波長和頻率，這種質點所具 有的波稱為物質波[13]。

西元1925年，薛丁格（Erwin Schrödinger，1887~1961）研究德布羅伊 的論文，思考著粒子既然具有波粒二象性，其運動應該存在其對應的波動 方程，此方程式可以正確地詮釋粒子的運動行為。西元1926年，薛丁格連 續發表了一系列的論文，提出了滿足粒子系統對應其波函數的波動方程 式，波動力學至此已然產生。薛丁格方程式的提出，成功的描述許多微觀 世界粒子的行為。首先成功解決了重要的氫原子光譜問題。接著利用薛丁 格方程式處理固體的晶格問題，可得到能帶結構，這對於我們了解固體為 何有絕緣體、導體、半導體的區別是非常重要的。還有許多物質的重要物 理及化學性質，都能透過薛丁格方程式得到重要的解釋，也就是說薛丁格 方程式對於近代科學的發展，是具有非常重要的意義[13,14]。

簡單介紹薛丁格方程式，薛丁格在其波動方程式中採用虛數 ’i’ 於時 間項中，其方程式為[14,15]：

( , )

2.4 赫姆霍茲方程式（Helmholtz Equation）

界條件，因此只要在給定邊界條件下，我們就可以得到空間解，而我們就 是利用定態薛丁格方程式化為赫姆霍茲方程式的形式，在有邊界的條件下 去求解特徵值問題。

第三章 數值方法

得到相對應的特徵值與特徵向量，亦可得此矩陣中相對應的特徵態，其中 特徵向量為基底向量。由此可知，只要找到某系統的一組具備正交及完備 性質的基底函數，亦可由此方法來找出此系統中的特徵態。而 Sinc 函數即 為具有正交性質的基底函數，但其完備性並不完全，故其數值解有些許的 誤差，雖然如此 Sinc 函數依舊是為基底函數的最佳選擇之ㄧ，所以我們將 以 Sinc 函數作為解定態薛丁格方程式的基底函數。

3.2 基底函數

圖 3.2.1 單位向量表示圖

資料來源[17]

3.2.2 Sinc function

Sinc 函數 [18-23] 在科學上的應用相當廣泛，不論在光學成像系統的

頻率特性、空間濾波、相干光學處理、非相干光學處理、信息光學、光通 信及數位訊號的處理上，都在 Sinc 函數的涵蓋範圍內。我們在處理方波 時，經由傅立葉轉換可得到在時域的訊號，其形狀為一 Sinc 函數的訊號。

首先介紹 Sinc 函數的定義。

Sinc 函數在數學上定義的基本數學形式為：

( )

^sin

( )

sin = x

x x （3.2.1）

( )

^sin

( )

sin α

α ⁼ α

x x

x （3.2.2）

其中 Sinc 函數在 x 為 0 點的奇異點定義為 1，如圖 3.2.2，

x

( )

f x

圖 3.2.3 ^{f x}

( )

^{=4x 圖形 2}

圖 3.2.4 Sinc function 描述 ^{f x}

( )

^{=4x 2}

Sinc function 也具有正交的特質，接下來我們將接續來了解 Sinc 函數 的正交性質。已知有兩個 Sinc 函數 S h x_k( , ) 及 S h x_l( , ) ，假設在某一區

間內彼此正交，為驗證其正交性，對 S h x_k( , )，S h x_l( , ) 做內積運算：

3.3 一維薛丁格方程式的數值方法推導

3.4 二維薛丁格方程式的數值方法推導

( ) ( ) ( )}

3.5 結果與討論

對於特徵值問題，我們採用的數值方法就是特徵函數展開法，只要找 出一組具備正交及完備性質的基底函數，我們就可以找到特徵值與特徵向 量，最後就可解出於此系統中特徵態的解。而 Sinc 函數為具有正交性質的 基底函數，但其完備性並不完全，故其數值解有些許的誤差，雖然如此 Sinc 函數依舊是為基底函數的最佳選擇之ㄧ，所以我們將以 Sinc 函數作為解定 態薛丁格方程式的基底函數。

第四章二維位能勢

波在不同幾何形狀邊界的行為探討，一直被科學家所研究著，舉凡

在通訊、雷射及發光二極體等方面，在在都對特定幾何邊界的波動行為有 著相當廣泛的研究。像是光通過光纖進行傳導訊息時，能量在垂直於光傳 遞方向二維平面的行為分布就相當重要，關係著傳導訊息失真與否；發光 二極體在光行進的路徑，在不同的材料的介面上，波在其幾何邊界上所產 生的干涉及反射行為，關係著發光效率高與低。而這些方面的行為研究皆 屬電磁學與量子力學的範疇，因此波在不同幾何形狀二維特定邊界下的基 礎行為探討，在電磁學及量子力學中是相當重要的。

4.1 二維方形位能勢 (Two-Dimensional square potential)

波的運用相當多元，其中最令人熟知的便是運用在光傳輸的光波導，不

同材料的波導會產生不同的模態，在光的傳遞時最不希望高階模態的產 生，高階模態會造成光收斂性不佳，而致使光產生損耗或者訊號轉換失真。

因此波導的形狀及材質也因應產業的發展而廣泛的被研究著，其中矩形對 稱形狀的波導一直是光通訊元件的主流。因此對於二維方形我們將分別以 數值方法及解析解來分析及比較。

4.1.1 二維方形位能勢解析解

經由第三章數值方法的討論，已知二維定態薛丁格波動方程式如下；

⁻₂^h_m^{2 ∇2ψ}

(

^{x y,}

)

^{+V r}

( )

^{r ψ}

⁽

^{x y,}

⁾

^{= Eψ}

⁽

^{x y,}

⁾

（4.1.1）

假設

最後可以得知二維方形的特徵態（Eigenstates）的解析解，表示如下

表 4.1.1 二維方形之解析解(一)

m,n Intensity Energy m,n Intensity Energy

(1,1) ^2.467 (4,1) ^20.973

(2,1) 6.169 (3,3) 22.207

(1,2) 6.169 (4,2) 24.674

(3,1) ^12.337 (4,3) ^30.843

(3,2) 16.038 (5,1) 32.076

解析解 解析解

表 4.1.2 二維方形之解析解(二)

m,n Intensity Energy m,n Intensity Energy

(5,2) ^35.777 (4,6) ^64.152

(4,4) 39.478 (6,5) 75.256

(5,3) 41.946 (1,8) 80.191

(6,2) 49.348 (3,8) 90.060

(3,6) ^55.517 (9,4) ^119.669

解析解 解析解

4.1.2 二維方形位能勢數值解

將二維方形的圖形，轉化為以點陣圖格式來呈現，點陣圖的灰階呈現由

黑到白可表示為 0 至 255。在二維方形外圍束以白色邊框做為其邊界條件，

如圖 4.1.2，其中以白色為的邊框部份就是我們用以表示為無限位能井，所 有的波動皆束縛在方形位能勢中。

圖 4.1.2 二維方形圖形

將二維方形帶入特徵函數展開法來運算，使用數值方法運算時， Basis

越高其誤差會越低，但由於個人電腦效能的關係，無法處理太大數量的 Basis ，在這裡我們使用的 Basis 數目是 Ｎ＝40×40，得到在不同 State 狀 態下，模擬出的特徵態的圖形及特徵能量值。如表 4.1.3 及表 4.1.4 所示。

表 4.1.3 二維方形位能勢之數值解(一)

State Intensity Energy State Intensity Energy

(1,1) ^2.513 (4,1) ^21.231

(2,1) 6.256 (3,3) 22.479

(1,2) 6.256 (4,2) 24.975

(3,1) 12.496 (4,3) 31.214

(3,2) ^16.239 (5,1) ^32.463

數值解 數值解

表 4.1.4 二維方形位能勢之數值解(二)

State Intensity Energy m,n Intensity Energy

(5,2) ^36.206 (4,6) ^64.908

(4,4) 39.950 (6,5) 76.140

(5,3) 42.446 (1,8) 81.132

(6,2) 49.933 (3,8) 91.116

(3,6) ^56.173 (9,4) ^121.067

數值解 數值解

4.1.3 二維方形位能勢解析解與數值解比較

由於運算的 Basis 數量越高，其運算結果與解析解的差異會越小，所以

先針對二維方型圖形在不同 Basis 數目的運算下，來比較其運算結果對解 析解的誤差率。定義誤差率為在同一定態下，數值解減去解析解的差值再

先針對二維方型圖形在不同 Basis 數目的運算下，來比較其運算結果對解 析解的誤差率。定義誤差率為在同一定態下，數值解減去解析解的差值再

在文檔中 利用Sinc函數為基底分析二維本徵模態 (頁 12-0)