代數證明與幾何證明的分類

魯米斯的《勾股定理》這本書中，將 109 個代數證明進一步分成七種類型，以及將 256 個幾何證明進一步分成十種類型。以下參考本勾股定理製作團隊其他夥伴的資料，將代數證明 與幾何證明的分類呈現如下：

一、代數證明的七種類型：

1. 相似的直角三角形：

這類證明是利用相似直角三角形的線性關係來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證 明，也有需要許多個相似的直角三角形才能推出的證明，而最有代表性的，是歐幾里得的

《幾何原本》第六卷命題 31，《幾何原本》中伴隨著這個定理的附圖顯示了三個相似的長 方形，事實上圖形中的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性。

圖 3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖 2. 比例中項原理：

此類證明算是從第一種類型的特殊型，它在推導的過程中運用到比例中項相關的等 式，所以也是國中學生能學習的範圍，它用到的等式，是先在直角三角形內作輔助線，再 作直角三角形的斜邊上的高，讓裡面形成兩個相似的直角三角形，再利用相似形「對應邊 成比例」的性質，推出幾個等式，最後推導出勾股定理的關係式，詳細內容如下：

從C點作AB的垂線，交AB於D點，如圖所示：

B C

D A

圖 3.3.2 比例中項原理輔助圖 (1) 首先證明三角形ABC與三角形ACD、三角形CBD皆相似：

因為ACB ADC 90 且CAB DAC，所以ABC~ACD(AA 相似)，

同理，可推得ABC~CBD，因此

~ ~ .

ABC ACD CBD

  

(2) 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：

由ABC~CBD可知：BC BD:  AC BC: ，整理得

2 .

7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形：

這類證明與前一類的證明類似，差別在作圖時是在直角三角形的三邊上向外延伸作出 多邊形，並利用相似多邊形來討論，並推出勾股定理的關係式，也是國中或高中就能理解 的。

二、幾何證明的十種類型：

類型 圖形說明 示意圖形

類型 1 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，且正 方形的位置皆以直角三角形為中心向外側延伸。

類型 2

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股 上的正方形位置朝向直角三角形的中心外側，斜邊 上的正方形則是朝向內側。

類型 3

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及 內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。

類型 4

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股 上 的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側 及內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。與類型 3 的差異在於兩股上的正方形朝向位置相反。

類型 5

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股 上 的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側 及內 側，斜邊上的正方形則是朝向內側。

類型 6

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形 形，兩 股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側 及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。

類型 7

以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股 上的正方形位置朝向直角三角形的中心內側，斜邊 上的正方形朝向外側。

類型 8 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，三個 正方形位置皆朝向直角三角形的中心內側。

類型 9

以直角三角形的三邊為邊長作正方形，其中正方形 的 位置並非全部都與直角三角形的邊作齊，右圖形 僅為示意，證明的圖形中只要正方形的位置為前 8 類作轉移，皆蒐集在此分類。

類型 10

證明的圖形並沒有作出三個以直角三角形的三邊為 邊長的正方形，在此分類下又可細分兩類：

1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明