探究勾股定理中的拼圖證明

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 探究勾股定理中的拼圖證明. 研究生：何呂升. 中華民國一百零六年一月.

(2) 致謝感謝我的家人在撰寫論文期間給予支持，感謝我的父母從小到大的照顧與栽培，提供給我良好的教育環境，也給我一個安全舒適又溫暖的家，讓我做研究可以無後顧之憂。感謝我的指導教授許志農老師，指導我決定了研究的的主題，指導我如何撰寫論文以及格式的要求，針對研究的內容也提供許多寶貴的建議以及修正的方向，使我在撰寫論文的時候有更多的靈感與想法。因為許志農老師會嚴格督促我們撰寫論文的進度，約定好每一個階段的進度，所以驅使我能夠儘快地完成論文，在此致上萬分謝意。感謝口詴委員郭君逸教授與黃森山教授抽空來進行口詴，並於口詴當天認真地審視我的論文，提供給我許多寶貴的建議，讓我的論文能夠更加完善，十分感謝教授們的辛勞與付出。感謝許志農教授所指導的勾股藝術殿堂團隊，有大家的努力才能將勾股定理眾多地證明一一呈現在社會大眾面前，讓大家欣賞到勾股定理的博大精深以及勾股定理證明的奧妙與美感。也要特地感謝蘇章瑋老師為勾股定理拼圖證明製作 Flash，不但使人更加了解勾股定理所代表的幾何意義，在拼圖的過程當中，也能讓人訓練思考，並且體驗到勾股定理的美感，十分感謝蘇章瑋老師的用心與付出。感謝與我一起努力的同學政雄與震川，有研究的夥伴可以互相討論、互相砥礪真的感覺不錯，有你們陪伴與鼓勵才能讓論文如期順利地完成，一同完成這個任務，十分感謝你們。有大家的付出、鼓勵、支持與幫忙，才能造就此論文的產生，在此再次感謝所有幫助我的人，謝謝您！. II.

(3) 摘要勾股定理是學生在國中時期學到的重要定理，教科書雖然有提供勾股定理的說明或是證明，但是著墨並不多，大部分是勾股定理的應用。數學證明可以訓練人們的邏輯思考能力，因此，本研究參考魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》(ThePythagorean Proposition)這本書中的其中45個勾股定理幾何證明，使用中學生可以理解的證明方式，去重新增補書上證明不完整的地方。幾何證明當中有些證明是採用「出入相補」原理的拼圖證明方式，在本研究也會特別去說明及探討。除了證明以外，每個證明後面也提供研究者個人的證明心得，或是學生閱讀完此證明過程之後的看法與感想，藉此希望能夠增強學生幾何證明的能力，並且欣賞到數學之美。. 關鍵字：勾股定理、魯米斯(Elisha Scott Loomis)、幾何證明、拼圖證明. III.

(4) 目錄第一章緒論.................................................................................................................. 1 第一節研究背景與動機............................................................................ 1 第二節研究目的........................................................................................ 2 第三節研究範圍與後續............................................................................ 2 第二章文獻探討.......................................................................................................... 3 第一節勾股定理........................................................................................ 3 第二節魯米斯的簡介................................................................................ 5 第三節魯米斯的著作................................................................................ 6 第四節教科書的現況................................................................................ 7 第三章勾股定理的分類及其典故............................................................................ 12 第一節勾股定理的證明概述.................................................................. 12 第二節第三節第四節第五節第六節. 魯米斯《勾股定理》的證明分類.............................................. 16 代數證明與幾何證明的分類...................................................... 16 畢達哥拉斯的好奇...................................................................... 21 淺談勾股定理的割補證法.......................................................... 35 Daniel Hardisky 勾股定理拼圖切割法 ...................................... 47. 第四章勾股定理證明工作單.................................................................................... 55 第一節勾股定理證明工作單內容說明.................................................. 55 第二節工作單內容.................................................................................. 56 G143............................................................................................. 57 G144............................................................................................. 60 G145............................................................................................. 63 G146............................................................................................. 66 G147............................................................................................. 69 G148............................................................................................. 72 G149............................................................................................. 76 G150............................................................................................. 79 G151............................................................................................. 81 G152 ............................................................................................. 85 G153 ............................................................................................. 87 G154 ............................................................................................. 90 G155............................................................................................. 93 G156 ............................................................................................. 96 G157 ........................................................................................... 100 G158 ........................................................................................... 105. IV.

(5) G159 ........................................................................................... 108 G160 ........................................................................................... 112 G161 ........................................................................................... 117 G162........................................................................................... 120 G163........................................................................................... 123 G164 ........................................................................................... 126 G181........................................................................................... 131 G182........................................................................................... 136 G183........................................................................................... 139 G184 ........................................................................................... 142 G185........................................................................................... 145 G191........................................................................................... 148 G192........................................................................................... 152 G193........................................................................................... 157 G194 ........................................................................................... 162 G195 ........................................................................................... 168 G196........................................................................................... 173 G197........................................................................................... 177 G198........................................................................................... 180 G199........................................................................................... 184 G200........................................................................................... 189 G201........................................................................................... 193 G202........................................................................................... 198 G203........................................................................................... 202 G204........................................................................................... 207 G205........................................................................................... 211 G206........................................................................................... 215 G207 ........................................................................................... 219 G208........................................................................................... 221 第五章參考文獻...................................................................................................... 226. V.

(6) 第一章第一節. 緒論研究背景與動機. 國中學生是在八年級上學期第二章學到了畢氏定理，也就是勾股定理，在國中階段將勾股定理應用在求帄面上兩點的距離，在高中階段學到的三角函數也是以勾股定理為基礎，例如正弦定理與餘弦定理，勾股定理便是餘弦定理的特例，而餘弦定理為勾股定理的推廣。除此之外，高中階段也將勾股定理推廣到求空間中兩點的距離，並且利用勾股定理推導出帄面上圓的方程式以及空間中球面的方程式。勾股定理對國中學生的學習相當重要，約翰內斯〃克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630)曾說過：「勾股定理與黃金分割是幾何學的兩大寶藏」，足以代表勾股定理在幾何學上具有舉足輕重的地位。曹亮吉(2002)指出數學中的證明，最大的功用在於確立結論的百分之百正確性，根據百分之百正確的結論再證明而得的新結論也是百分之百正確，如此反覆進行，所推得的各個結論，雖然離開最原始甚遠，也不用擔心其正確性。蕭文強(1992)指出數學證明有個重要的功用，即是增加理解，並且引用了“The Architecture of Mathematics”文章裡的一段話：「每個數學工作者都知道，單是驗證了一個數學證明的逐步邏輯推導，卻沒有詴圖洞察這一連串推導的背後意念，那並不算理解了那個數學證明。」代表證明的過程中，除了能增加邏輯推導的能力，也能讓人去思考證明過程中每一步驟之間關係以及其背後代表的意義和理論基礎。勾股定理的證明目前約有 400 種證明的方法，不過坊間的各版本教科書礙於學生的先備知識以及篇幅的限制，僅提供學生少數的證明方法。在洪萬生(2004)的文章中指出，解題、溝通與連結等數學能力，是數學教育努力的目標，而這些能力背後的基本因子，就是數學論證能力。若能提供國中學生其他勾股定理的證明，學生就能對勾股定理有進一步的認識，也能讓學生欣賞到不同的證明方法，培養學生邏輯思考以及數學論證的能力，進而增加學生數學解題以及數學溝通的能力。. 1.

(7) 第二節研究目的左台益(2002)指出幾何推理證明是中學生感到學習困難的數學主題，林福來(2003)則是進行了全國抽樣調查，發現 1059 位剛學完幾何證明單元的國三學生中，有三分之一的學生寫出不完整的證明，以及三分之一的學生是空白或是寫出無關的論述。由上述可知，幾何證明的確具有它的重要性與困難性，因此，應該讓學生多接觸幾何證明，藉由欣賞幾何證明的過程中，使學生去了解證明的脈絡，進而培養學生的邏輯推理能力，對學習幾何證明也能有所幫助。本研究以魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)中所蒐集整理的證明當作題材，增補 371 種證明中的 45 個幾何證明，給中學學生閱讀與欣賞，提升他們的邏輯推理能力，並且提供給教師們作為延伸教材之用，同時透過網路分享的方式讓更多人能夠藉由教材去欣賞數學。. 第三節研究範圍與後續研究的範圍以魯米斯所著作的《勾股定理》這本書當作題材，將其中45個勾股定理的幾何證明使用中學生可以理解的證明方式，去重新增補《勾股定理》書上證明不完整的地方。除了證明之外還提供研究者個人的證明心得，以及學生閱讀完此證明過程之後的看法與感想，並放置於專屬網站《非想非非想數學網》http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/，提供學生與社會大眾學習以及欣賞數學之美。魯米斯所著作的《勾股定理》這本書中共有371種勾股定理的證明，本研究未呈現的證明會由勾股定理製作團隊持續完成，並放置於專屬網站《非想非非想數學網》，提供大家交流與分享。. 2.

(8) 第二章. 文獻探討. 第一節. 勾股定理. 勾股定理又稱為商高定理、畢達哥拉斯定理、畢氏定理、百牛定理，指的是帄面上直角三角形中，它的兩條直角邊長度(古稱勾長和股長)的帄方和等於斜邊長(古稱弦長)的帄方。這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係以及其定理的證明。勾股數又稱商高數或畢氏三元數，是符合勾股定理 a2+b2=c2 的正整數組(a, b, c)。埃及的紙草書裡面就有(3, 4, 5)這一組勾股數。在中國，《周髀算經》中也記述了(3,4,5)這一組勾股數，商高答周公問曰：「勾廣三，股備四，徑隅五」。三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋：「勾股個自乘，並之，為弦實，開方除之，即弦」。巴比倫石板中記錄了許多勾股數，其中最大的勾股數為（18541，12709，13500）。五世紀的普羅克勒斯(Proclus, 410-485)給歐幾里得(Euclid，約公元前 325 年─公元前 265 年)的名著《幾何原本》做註解時，將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派，相傳他們發現了這個定理之後，宰了一百頭牛來慶祝，因此勾股定理又稱為「百牛定理」，但是，這個說法顯然是以訛傳訛，因為畢達哥拉斯主義者是以素食聞名。畢達哥拉斯學派的證明並沒有流傳下來，而勾股定理最早的書面證明是出現在《幾何原本》第Ⅰ冊的第 47 個命題，使用的是面積證法，所謂的面積證法主要是依據三角形全等(SAS 全等) 的概念來說明：在一個直角三角形中，直角對邊上的正方形面積等於包含直角兩邊上的正方形面積之和。除此之外，歐幾里得在《幾何原本》第Ⅵ冊的第 47 個命題，提供了另一種證法，使用的是比例證法：在一個直角三角形中，只要能張出圖形(不一定是正方形)，那麼直角對邊上的圖形面積等於包含直角兩邊上的圖形面積之和。中國三國時期的趙爽在《周脾算經》的注中，記述了勾股定理的證明。趙爽為了證明勾股定理作了「勾股圓方圖」，也就是「弦圖」，圖中每一個直角三角形稱為「朱實」，中間的小正方形稱為「中黃實」，以弦為邊的正方形稱為「弦實」，四個朱實加上一個中黃實就等於弦實，. 3.

(9) 趙爽利用這個方法證明了勾股定理。. 圖 2.1.1 趙爽的「弦圖」中國魏晉時期的劉徽在《九章算術注》裡，利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾股定理，劉徽對於「青朱出入圖」的解釋為：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」意思是：對於任意一個直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。. 圖 2.1.2 劉徽的「青朱出入圖」. 4.

(10) 在歐幾里得的《幾何原本》第一卷第 47 個命題記載著勾股定理的證法，由於證明的圖與風車相像，因此俗稱為「風車」。證明如下：因為矩形 BDKM 矩形面積  2ABD 面積  2BCF 面積  正方形 ABFG 面積，且同理可證矩形 CEKM 矩形面積  正方形 ACIH 面積，所以. 正方形BCED面積  長方形BDKM 面積  長方形CEKM 面積  正方形ABFG面積  正方形ACIH 面積。故 2. 2. 2. BC  AB  AC .. 圖 2.1.3 歐幾里得《幾何原本》的證法. 第二節魯米斯的簡介魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家、土木工程師以及教師。十二歲的那一年，有一次步行七哩至鄰鎮購買代數課本以便能夠自學，因為學校老師已經無法指導他。1880 年，他拿到鮑德溫大學(Baldwin University)理學士學位，1886 年拿到碩士學位，兩年後再取得博士學位。. 5.

(11) 圖 2.2.1 魯米斯肖像魯米斯在 1934 年寫下自己的訃文，包括在喪禮上如何宣讀訃文的要求。魯米斯以第三人稱來敘述自己：「他在作為教師的五十年間，在超過 4000 名的男孩、女孩以及年輕男女的習慣養成上，烙印了深深的印記。」魯米斯是一位多產的作家，寫了上百篇文章，出版很多本書，不過，魯米斯認為 1927 年出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年還做了修改，而魯米斯也在這一年去世。魯米斯針對勾股定理有以下的敘述：「勾股定理被公認是歐幾里得所有定理中最迷人的定理，來自各個階層和不同國家的人都對它有興趣。1917 年，無論是坐在扶手椅上的年邁哲學家，或是身處荒野戰壕中的年輕士兵，都耗費時間在找尋有關它的真實性之新證明。」. 第三節魯米斯的著作─《勾股定理》 (The Pythagorean Proposition) 魯米斯的著作《勾股定理》一書，這本書寫於 1907 年，1940 年重新修訂。全書穿插了十二幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼(Copernicus, 1473-1543)、笛卡兒(Descartes 1596-1650)、伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642)、牛頓(Newton, 1643-1723)以及畢達哥拉斯 (Pythagoras, 約公元前 570 年─公元前 495 年)。. 6.

(12) 圖 2.3.1《勾股定理》封面魯米斯認為因為在中世紀時期，學生必頇針對勾股定理提出一個原創的新證明，才能獲得數學學位，所以勾股定理才有大量的證明。魯米斯將 371 個勾股定理的證明主要分成「代數」與「幾何」兩大類，代數證明分成七小類共 109 個證明，幾何證明分成十小類共 256 個證明，書中還補充了一個「畢達哥拉斯好奇」(Pythagorean Curiosity)以及五個畢達哥拉斯魔方陣 (Pythagorean magic squares)。書中比較特別的證明，包括最短的證明、最長的證明、托勒密(Claudius Ptolemaeus, 90-168) 的證明、達文西(Leonardo da Vinci, 1452-1519)的證明、惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695) 的證明、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibliz, 1646-1716)的證明、十六歲高中女生安‧康地(Ann Condit)的證明、盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)的證明、美國總統的證明以及作者魯米斯提供的證明。《勾股定理》修訂版出版之後，仍有新的勾股定理證明被提出，可以參考伯果摩爾尼 (Alexander Bogomolny)所建立的網站 http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml.. 第四節教科書的現況勾股定理是在國中八年級上學期學的，我們挑選 A、B、C 三個市面上占有率比較高的教科書版本，對勾股定理證明的內容進行評析：. 7.

(13) 一、. 版本 A (一) 證明內容： 1. 以兩股為 3 與 4 的直角三角形為例，讓學生去發現兩股的帄方和等於斜邊帄方。. 圖 2.4.1 版本 A 的探索活動 2. 考慮任意一個直角三角形，先用四個直角三角形與一個邊長為 ab 的正方形去拼成一個四邊形，再去計算四邊形的面積。. 8.

(14) 圖 2.4.2 版本 A 的證明過程 3. 先說明四邊形為正方形，且面積為直角三角形斜邊的帄方，最後利用四邊形的面積關係推導出勾股定理。. 圖 2.4.3 版本 A 的證明 (二) 評析：此版本最後是利用代數的方法推導出 c2=a2+b2，整個證明過程中並沒有出現面積為 a2 與 b2 的正方形，因此，學生比較難感受到 c2=a2+b2 所代表的幾何意義。二、版本 B (一) 證明內容： 1. 以兩股為 2 與 3 的直角三角形為例，讓學生去發現：以兩股為邊長的兩個正方形面積等於以斜邊為邊長的正方形面積。. 9.

(15) 圖 2.4.4 版本 B 的探索活動 2. 利用兩個邊長為 a+b 的正方形，兩邊同時取走四塊相同的直角三角形之後，左邊剩下面積為 a2 的正方形與面積為的正方形 b2，右邊剩下面積為 c2 的正方形，因此推得 a2+b2= c2。. 圖 2.4.5 版本 B 的證明 (二) 評析：此版本最後是利用面積相等的關係來推導，而且證明過程中有出現面積為 a2, b2 與 c2 的正方形，因此，學生比較能感受到 a2+b2= c2 所代表的幾何意義。三、版本 C (一) 證明內容： 1. 以方格子當作輔助讓學生去計算以兩股為邊長的正方形面積以及以斜邊為邊長的正方形面積，並詴著去發現它們之間的關係。. 10.

(16) 圖 2.4.6 版本 C 的問題探索 2.. 將四個面積為 ab 的直角三角形放到一個邊長為 a+b 的正方形上面，先發現所剩的四邊形為正方形，再利用大正方形面積減去四個直角三角形面積等於小正方形面積，去推導出 a2+b2= c2。. 圖 2.4.7 版本 C 的證明 (二) 評析：此版本藉由「問題探索 1」讓學生去發現直角三角形三邊長的關係，也讓學生感受到 a2+b2= c2 的幾何意義。在「問題探索 2」則是利用面積相等的關係，用代數式推導出 a2+b2= c2。因此，此版本含有勾股定理的幾何意義，也含有勾股定理的代數證明方式。. 11.

(17) 第三章勾股定理的分類及其典故第一節勾股定理的證明概述勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，而且仍有許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。從史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，一直到了 14 世紀文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當豐富，此時勾股定理的分類一般而言可以分為三種：一、. 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47，收錄在魯米斯《勾股定理》的 G033，主要依賴面積相等的概念來證明。(為了方便敘述，我們編制 A 為魯米斯《勾股定理》這本書中的代數證明，G 為幾何證明。). ×2. ×2. ×2. ×2. 圖 3.1.1 面積證法二、. 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之為「出入. 12.

(18) 相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》G127，在印度則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII) 為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》G225。. 圖 3.1.2 劉徽的「青朱出入圖」三、. 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31，亦收錄在《勾股定理》A001，運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代數操作。 C. A. B. D. 圖 3.1.3 比例證法因為 ACD ~ ABC 且 CBD ~ ABC ，所以. AC : AB  AD : AC 且 BC : BA  BD : BC , 可推得 2. 2. AC  AB  AD 且 BC  BA  BD .. 因此. 13.

(19) 2. 2. AC  BC  AB  AD  BA  BD  AB  ( AD  BD)  AB  AB 2.  AB . 數學從古至今便一直不斷地發展，關於勾股定理的證明，也不斷地被發現中，甚至有倒水證明以及摺紙證明： 1. 倒水證明：. 圖 3.1.4 倒水證明倒水證明網址：https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o 2. 摺紙證明： (1) 左邊四個橘色三角形與右邊四個白色三角形皆全等：. 圖 3.1.5 摺紙證明 1 (2) 大正方形面積為 c2：. 14.

(20) 圖 3.1.6 摺紙證明 2 (3) 大正方形扣掉兩個橘色三角形，再補上兩個白色三角形(即白色面積等於原大正方形面積 c2)：. 圖 3.1.7 摺紙證明 3 (4) 白色面積總和為 a2+b2，可推得直角三角形中，斜邊的帄方等於兩股帄方的和。. 圖 3.1.8 摺紙證明 4 摺紙證明網址：https://www.youtube.com/watch?v=rTDyCWDojoA。. 15.

(21) 第二節魯米斯《勾股定理》的證明分類魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下： 1. 代數的證明(Algebraic proofs)：線性關係的基礎。 2. 幾何的證明(Geometric proofs)：面積比較的基礎。 3. 向量的證明(Quaternionic proofs)：向量運算的基礎。 4. 動態的證明(Dynamic proofs)：質量與速度的基礎，意味著力學的概念。由於第 3 種及第 4 種證明是從「幾何的」證明所分出來的，而且裡面內容較少，所以主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明。書中共有 109 個代數證明，進一步可以分成七種類型；256 個幾何證明，進一步可以分成十種類型。除此之外，書中還補充了一個「畢達哥拉斯好奇」(The pythagorean curiosity)以及五個「畢達哥拉斯魔方陣」。. 第三節代數證明與幾何證明的分類魯米斯的《勾股定理》這本書中，將 109 個代數證明進一步分成七種類型，以及將 256 個幾何證明進一步分成十種類型。以下參考本勾股定理製作團隊其他夥伴的資料，將代數證明與幾何證明的分類呈現如下：一、代數證明的七種類型： 1. 相似的直角三角形：這類證明是利用相似直角三角形的線性關係來證明，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角形才能推出的證明，而最有代表性的，是歐幾里得的《幾何原本》第六卷命題 31，《幾何原本》中伴隨著這個定理的附圖顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性。. 16.

(22) 圖 3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖 2. 比例中項原理：此類證明算是從第一種類型的特殊型，它在推導的過程中運用到比例中項相關的等式，所以也是國中學生能學習的範圍，它用到的等式，是先在直角三角形內作輔助線，再作直角三角形的斜邊上的高，讓裡面形成兩個相似的直角三角形，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，推出幾個等式，最後推導出勾股定理的關係式，詳細內容如下：從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於 D 點，如圖所示： C. D. A. B. 圖 3.3.2 比例中項原理輔助圖 (1) 首先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似：因為 ACB  ADC  90 且 CAB  DAC，所以 ABC ~ ACD (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ CBD ，因此. ABC ~ ACD ~ CBD. (2) 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由 ABC ~ CBD 可知： BC : BD  AC : BC ，整理得. 17.

(23) 2. BC  AB  BD. …………………………………① 由 ABC ~ ACD 可知： AC : AD  AB : AC ，整理得 2. AC  AB  AD. …………………………………② 由 ACD ~ CBD 可知： CD : BD  AD : CD ，整理得 2. CD  AD  BD. …………………………………③ 在這類的證明中，皆會作直角三角形斜邊上的高，並會用到這三個等式的其中一個來推勾股定理。 3. 圓與直角三角形的結合：這類證明是利用圓的弦、割線、切線，與直角三角形或是有相似關係的直角三角形結合，利用弦、割線與切線的性質來推出勾股定理的關係式，所需要的先備知識在國中就有學到。 4. 面積的比例關係：這類證明是根據相似形證明的，與《幾何原本》第六卷命題 31 有關，第六卷命題 31 說：在直角三角形中，直角對邊上的圖形等於包含直角邊上的相似及類似畫出的圖形。這一命題幾乎跟第一卷命題 47 相同，只是用「圖形」取代了「正方形」，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類似建構的圖形就可以。在這種意義下，相較第一卷命題 47，第六卷命題 31 是勾股定理更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個邊上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理的關係式，比例關係國中的學生就能學習。 5. 極限定理：這類證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時再利用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法理解。 6. 代數與幾何結合：這類證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數的方式推論，比較圖形面積時是用幾何的方式討論的，並推導出勾股定理的關係式，所以是結合代數與幾何的證明，大部分的內容國中就已經學過，只有少部分的是要到高中才有辦法理解。. 18.

(24) 7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形：這類證明與前一類的證明類似，差別在作圖時是在直角三角形的三邊上向外延伸作出多邊形，並利用相似多邊形來討論，並推出勾股定理的關係式，也是國中或高中就能理解的。二、幾何證明的十種類型：類型. 類型1. 圖形說明. 示意圖形. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，且正方形的位置皆以直角三角形為中心向外側延伸。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型2. 上的正方形位置朝向直角三角形的中心外側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型3. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型4. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向外側。與類型 3 的差異在於兩股上的正方形朝向位置相反。. 19.

(25) 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型5. 上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形形，兩類型 6. 股上的正方形位置分別朝向直角三角形的中心外側及內側，斜邊上的正方形則是朝向內側。. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，兩股類型 7. 上的正方形位置朝向直角三角形的中心內側，斜邊上的正方形朝向外側。. 類型 8. 以直角三角形的斜邊及兩股為邊長作正方形，三個正方形位置皆朝向直角三角形的中心內側。. 以直角三角形的三邊為邊長作正方形，其中正方形類型 9. 的位置並非全部都與直角三角形的邊作齊，右圖形僅為示意，證明的圖形中只要正方形的位置為前 8 類作轉移，皆蒐集在此分類。. 20.

(26) 證明的圖形並沒有作出三個以直角三角形的三邊為類型 10. 邊長的正方形，在此分類下又可細分兩類： 1.圖形以正方形為主軸的證明 2.圖形以三角形為主軸的證明. 第四節畢達哥拉斯的好奇魯米斯在沃特豪斯(John Waterhouse)這位紐約市工程師的筆記中，找到了「畢達哥拉斯好奇」這個圖形，它出現在 1899 年 7 月的紐約報紙上。. 圖 3.2.1 畢達哥拉斯好奇. 魯米斯在《勾股定理》這本書中稱它為「畢達哥拉斯好奇」，並且根據這個圖形提出了八個可論證的事實，而且指出讀者也許還可以發現更多有趣的性質。以下針對魯米斯提出的八個可論證事實，將《勾股定理》這本書中提供的證明進行增補。【作圖】 1. 在直角 ABC 中，分別以 AB , AC , BC 為邊長向外作正方形 ABIH 、正方形 ACDE 21.

(27) 和正方形 BCNM . 2. 連 EH , IM , ND ，並分別以 EH , IM , ND 為邊長向外作正方形 EHGF 、正方形 IMLK 和正方形 NDPO .. 3. 作 PF , GK , LO，則 PF 與 GK 交於 A' 點，GK 與 LO 交於 B ' 點，LO 與 PF 交於 C ' 點。 4. 過 M 點作垂直 BI 的直線，交 BI 於 Y 點。過 N 點作垂直 CD 的直線，交 CD 於 Z 點。 MY 與 NZ 交於 J 點， BY 與 CZ 交於 Z ' 點。. 5. 在 HI 上取一點 H ' ，使得 IH '  IH ，連 H ' K . 6. 過 H 點作垂直 GK 的直線，交 GK 於 T 點。過 I 點作垂直 GK 的直線，交 GK 於 U 點，取 V 點為的 UK 中點，連 IV 。連 IG , UH . 7. 過 D 點作垂直 PF 的直線，交 PF 於 R 點。過 E 點作垂直 PF 的直線，交 PF 於 S 點，取 Q 點為的 PR 中點，連 DQ , DF . 8. 過 B 點作垂直 LO 的直線，交 LO 於 U ' 點。過 J 點作垂直 LO 的直線，交 LO 於 J ' 點，交 MN 於 M ' 點。. 22.

(28) B’. L W. K. U’. H’. M. J’. M’ ’ Y Z N J Z C. X. B I A. O D. C’. P. Q. H. E. R. V. U. T. G F. S. A’. 【可論證的事實】 1. 正方形 BCNM 面積=正方形 ABIH 面積+正方形 ACDE 面積。證明：根據歐幾里得《幾何原本》第一卷第 47 個命題可證得，證明如下：如下圖，過 A 點作垂直 MN 的直線，交 MN 於 A' 點，交 BC 於 A'' 點，連 AM , AN ,. BD , CI . M A’. B. N. I. A” C. A. D. E. H. 圖 3.4.1《幾何原本》第一卷第 47 個命題 23.

(29) (1) 證明三角形 MBA 和三角形 CBI 全等以及三角形 NCA 和三角形 BCD 全等：因為 MBA  MBC  CBA  90  CBA  IBA  CBA  CBI , AB  IB ,. BM  BC ，所以. MBA  CBI (SAS 全等). 同理可證. NCA  BCD (SAS 全等). (2) 證明正方形 BCNM 面積=正方形 ABIH 面積+正方形 ACDE 面積：正方形BCNM 面積  長方形BMA' A''面積  長方形CNA' A''面積  2MBA面積  2NCA面積  2CBI 面積  2BCD面積 1 1  2   IB  HI  2   DC  ED 2 2  正方形ABIH 面積  正方形ACDE面積。. 2. 三角形 HAE 面積=三角形 IBM 面積=三角形 DCN 面積=三角形 BAC 面積。證明：在 HAE 與 BAC 中，因為 AE  AC , AH  AB , EAH  90  CAB ，所以. HAE  BAC (SAS 全等), 可推得三角形 HAE 面積=三角形 BAC 面積。在 BYM 與 BAC 中，因為 BM  BC , MBY  90  Z ' BC  CBA ,. MYB  90  CAB ，所以. BYM  BAC (AAS 全等), 即 MY  CA 。同理可證. NZC  BAC (AAS 全等), 即 NZ  BA 。因此. 24.

(30) 1 三角形IBM 面積   BI  MY 2 1   BA  CA 2  三角形BAC面積，且. 1 三角形DCN 面積   DC  NZ 2 1   CA  BA 2  三角形BAC面積，故三角形 HAE 面積=三角形 IBM 面積=三角形 DCN 面積 =三角形 BAC 面積。 3. HI 帄行 GK , DE 帄行 PF , MN 帄行 LO . 證明：因為 HAE  BAC ，所以 HE  BC ，可推得 HG  HE  BC  BM ，又因為 HAE  BAC ，所以 EHA  CBA ，可推得. IHG  360  90  90  EHA  360  90  90  CBA  IBM , 又 HI  BI ，綜合以上可得. HGI  BMI (SAS 全等). IHG 與 IH ' K 中，因為 HGI  BMI ，所以 IG  IM ，可推得 IG  IM  IK ，又因為 HGI  BMI ，所以 GIH  MIB ，可推得. GIH  MIB  90  MIH '  KIH ' ，又 IH  IH ' ，綜合以上可得. IHG  IH ' K (SAS 全等), 即 G 點到 HH ' 的距離等於 K 點到 HH ' 的距離，又 K 點和 G 點在 HH ' 的同一側，因此. HI 帄行 GK .. 25.

(31) 同理可證. DE 帄行 PF 和 MN 帄行 LO . 故. HI 帄行 GK , DE 帄行 PF , MN 帄行 LO . 4. GK  4HI , PF  4 DE , LO  4MN . 證明：因為四邊形 HIUT 為矩形，所以. GTH 與 HAE 中，因為. TU  HI .. GHT  90  EHA  HEA , GTH  90  HAE , HG  EH ，所以. GTH  HAE (AAS 全等), 即. GT  HA  HI .. IUK 與 IUG 中，因為 IK  IG , IU  IU (共用邊), IUK  90  IUG ，所以. IUK  IUG (RHS 全等), 即. UK  UG  GT  TU  2HI , 因此. GK  GT  TU  UK  4HI . 同理可證. PF  4 DE . 四邊形 HH ' KU 中，因為 HH ' // UK 且 HH '  2 HI  UK ，所以四邊形 HH ' KU 為帄行四邊形，即 KH ' // UH 。因為 GTH  HAE ，所以 HT  EA  AC ，可推得. IU  HT  AC 。因為 BI  IU  AC  AH ，所以 BU  CH ，又. BU // CH ，可推得四邊形 BUHC 為帄行四邊形， 26.

(32) 即 UH // BC ，又因為 BC // MN // LW ，所以 KH ' // LW ，又 KI // LM ，且 IKH ' 與. MLW 皆為銳角，因此 IKH '  MLW . 因為 KI // LM , H ' I // WM ，且 KIH ' 與 LMW 皆為銳角，所以. KIH '  LMW , 又 KI  LM ，可推得. LWM  KH ' I (ASA 全等), 即 LW  KH ' ，可推得 LW  KH '  HG  HE  BC  MN .. ESF 與 BAC 中，因為 SF  DE  AC , EF  HE  BC , ESF  90  BAC ，所以. ESF  BAC (RHS 全等), 又 DRQ 與 ESF 中，因為 DR  ES , RQ  DE  SF , DRQ  90  ESF ，所以. DRQ  ESF (SAS 全等), 可推得. DRQ  BAC . 因為 DRQ  BAC ，所以 DQ // BC ，又 BC // MN // XO ，可推得 DQ // XO ，又. DP // ON 且 QDP 與 XON 皆為銳角，可推得 QDP  XON , 又 PQ // NX , PD // NO ，且 QPD 與 XNO 皆為銳角，可推得. QPD  XNO , 又 PD  NO ，因此. QPD  XNO (ASA 全等), 即 OX  DQ 。因為 DRQ  BAC ，所以 DQ  BC ，又 BC  MN ，可推得. OX  MN .. 27.

(33) MJN 與 BYM 中，因為 NMJ  90  BMY  MBY , MJN  90  BYM , MN  BM ，所以. MJN  BYM (AAS 全等), 又 BYM  BAC ，可推得. MJN  BAC , 即 MJ  BA ，又因為 LWM  KH ' I ，所以 WM  H ' I ，可推得 WM  H ' I  IH  BA ，因此 M 為 JW 的中點。. 在 JWX 中，因為 M 為 JW 的中點且 MN // WX ，所以. WX  2MN . 故. LO  LW  WX  XO  MN  2MN  MN  4MN . 5. 梯形 HIKG 面積=梯形 DEFP 面積=梯形 MNOL 面積=5 BAC 面積。證明：由第 4 點的證明知 GTH  HAE ，又由第 2 點的證明知 HAE  BAC ，可推得 GTH  BAC , 即 GTH 面積= BAC 面積。因為 GTH  BAC ，所以 HT  CA ，可推得. 矩形IUTH 面積  IU  UT  HT  IH  CA  BA  2BAC面積。且. 1  IU  UG 2 1   HT  2 HI 2  CA  AB  2  BAC 面積。. IUG面積 . 28.

(34) 由第 4 點的證明知 IUK  IUG ，可知 IUK 面積  IUG面積  2BAC面積。. 因此. 梯形HIKG面積  GTH 面積  矩形IUTH 面積  IUK 面積  BAC面積  2BAC面積  2BAC面積  5BAC面積。同理可證. 梯形DEFP面積  5BAC面積。在 JWX 中，由第 4 點的證明知 M 為 JW 的中點且 MN // WX , MJN  BAC 所以 JWX 面積  4MJN 面積  4BAC面積。. 可推得梯形MNXW 面積  JWX 面積  MJN 面積  3BAC面積。. 由第 4 點的證明知 LWM  KH ' I ，可推得. LWM 面積  KH ' I 面積 1  IH '  IU 2 1   IH  HT 2 1   BA  CA 2  BAC 面積。由第 4 點的證明知 QPD  XNO , DRQ  BAC ，可推得 XON 面積  QPD面積 1   PQ  DR 2 1   DE  DR 2 1   CA  BA 2  BAC 面積。故 . 29.

(35) 梯形MNOL面積  梯形MNXW 面積  LWM 面積  XON 面積  3BAC面積  BAC面積  BAC面積  5BAC面積。 6. 正方形 MIKL 面積+正方形 NDPO 面積=5 正方形 EHGF 面積=5 正方形 BCNM 面積。證明：在 MYI 中，因為由第 1 點知直角三角形中，由兩股向外作的兩個正方形，其面積和等於斜邊向外作的正方形面積，所以 2. 2. 2. MY  YI  MI .. 由第 2 點的證明知 BYM  BAC ，即 MY  CA ，可推得 2. 2. MY  CA . 又因為 BYM  BAC ，所以 YB  AB ，又 BI  AB ，可推得 2. 2. YI  (YB  BI ) 2  (2 AB ) 2  4 AB .. 因此. 正方形MIKL面積  MI. 2 2.  MY  YI. 2. 2. 2.  CA  4 AB . 在 NZC 與 BAC 中，因為由第 4 點的證明知 MJN  BAC，所以 MNJ  BCA，可推得. CNZ  90  MNJ  90  BCA  CBA , 又 NZC  90  BAC , NC  BC ，可推得. NZC  BAC (AAS 全等), 即 NZ  BA , ZC  AC 。在直角三角形 NZD 中，因為由第 1 點知由兩股向外作的兩個正方形，其面積和等於斜邊向外作的正方形面積，所以 2. 2. 2. NZ  ZD  ND , 可推得. 30.

(36) 正方形NDPO面積  ND. 2. 2.  NZ  ZD. 2. 2.  NZ  ( ZC  CD) 2 2.  BA  ( AC  AC ) 2 2.  BA  (2 AC ) 2 2. 2.  BA  4 AC . 因此 2. 2. 2. 2. 正方形MIKL面積  正方形NDPO面積  (CA  4 AB )  ( BA  4 AC ) 2. 2.  5( AB  AC )  5BC. 2.  5  正方形BCNM 面積，又由第 2 點的證明由 HAE  BAC ，即 HE  BC ，可推得正方形EFGH 面積  HE. 2.  BC. 2.  正方形BCNM 面積。. 故正方形MIKL面積  正方形NDPO面積  5  正方形EFGH 面積  5  正方形BCNM 面積。. 7. A' 的角帄分線通過 A 點，但是 B' 的角帄分線不通過 B 點，而且 C ' 的角帄分線也不通過 C 點。證明：由第 2 點的證明知 HAE  BAC ，即 AH  AB , AE  AC 。由第 4 點的證明知 GTH  HAE ，即 HT  AE  AC ，又由第 4 點的證明知 ESF  BAC ，即. ES  BA , 可推得. AT  AH  HT  AB  AC  ES  AE  AS . ' ' ' ' 在 B' AC 中，因為 AT  AS ，所以 A 點到 A' B' 的距離等於 A 點到 AC 的距離，可推. 31.

(37) 得 A 點在 A' 的角帄分線上，即 A' 的角帄分線通過 A 點。. 要證明 B' 的角帄分線不通過 B 點，我們使用反證法，假設 B' 的角帄分線通過 B 點，即 BU  BU ' .. 因為 HT  AE  AC ，所以. BU  BI  IU  AB  HT  AB  AC. 在 JWX 中，由第 4 點的證明知 JM ' : M ' J '  JM : MW  1:1，可推得 M ' J '  JM ' ,. 因為由第 4 點的證明知 MJN  BAC ，所以 JM  AB , JN  AC , MN  BC ，又在直角 MJN 中， JM ' 為斜邊 MN 上的高，可推得. JM  JN MN AB  AC  . BC. JM ' . 因此. BU '  BM  MU '  BC  M ' J '  BC  因為 BU  BU ' ，所以 AB  AC  BC . AB  AC . BC. AB  AC ，可推得 BC. 32.

(38) AB  AC  BC . AB  AC BC 2. AB  BC  AC  BC  BC  AB  AC 2. BC  ( AB  AC )  BC  AB  AC  0 ( BC  AB )( BC  AC )  0 BC  ABor BC  AC , 但是 BC 為直角 BAC 的斜邊，不可能等於 AB 或 AC ，矛盾，因此 BU  BU ' ,. 即 B' 的角帄分線不通過 B 點。. 同理可證. C ' 的角帄分線不通過 C 點。 8. 以 LO 為邊長向外作的正方形面積等於以 PF 為邊長向外作的正方形面積加上以 GK 為邊長向外作的正方形面積。證明：由第 4 點知 GK  4 HI , PF  4 DE , LO  4MN ，又 HI  AB , DE  AC ,. MN  BC ，且由第 1 點知正方形 BCNM 面積=正方形 ABIH 面積+正方形 ACDE 面 2. 2. 2. 積，即 BC  AB  AC ，因此 2. LO  (4 MN ) 2  (4 BC ) 2  16 BC. 2 2. 2.  16( AB  AC ) 2.  16 AB  16 AC. 2.  (4 AB) 2  (4 AC ) 2  (4 HI ) 2  (4 DE ) 2  (4 HI ) 2  (4 DE ) 2 2. 2.  GK  PF . 33.

(39) 故以 LO 為邊長向外作的正方形面積等於以 PF 為邊長向外作的正方形面積加上以. GK 為邊長向外作的正方形面積。【註與心得】 1. 來源： Casey, J. (1990). A Sequel to Euclid(6th ed., p. 16). London, England: Longmans, Green and Co. 2. 心得：整個圖形相當有美感，圖形之間隱含了許多事實與關係，而且都可以使用中學生能理解的方式來證明。圖中的大三角形 A' B 'C ' 可以仿造三角形 ABC 的作法，作出更大的三角形以及對應的正方形與梯形，可以如此一直反覆下去。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 34. 欣賞. 美學. ●. ●.

(40) 第五節淺談勾股定理的割補證法劉徽的割補術被中國數學家吳文俊先生稱之為「出入相補原理」，它指的是將未知面積或體積的帄面圖形或立體圖形分割成若干部分，然後把它們重新拼合成面積或體積為已知的圖形，來解決與面積、體積有關的問題，成為中國傳統數學解決面積、體積和勾股、測望問題的重要方法。劉徽在《九章算術注》裡，利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾股定理，劉徽對於「青朱出入圖」的解釋為：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」意思是：對於任意一個直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。青入. 青出. 朱出. 青. 朱. 青出. 朱入. 青入. 圖 3.5.1 劉徽的「青朱出入圖」參考魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)1927 年出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)一書，書中含有 371 個勾股定理的證明，其中主要包括代數證明以及幾何證明。幾何證明當中有屬於割補證法的證明，依照斜邊作圖出去的正方形所切割的塊數，可以將勾股定理的割補證法分成七大類型，而七大類型當中又可以細分成 19 種切割方式：第一類型：斜邊的正方形切割成五塊 1. 第一種：將斜邊的正方形切割成五塊，包括一個大三角形、一個中三角形、一個小三角形、一個大四邊形以及一個梯形，例如江戶時代前期的數學家村瀨義益的證法。. 35.

(41) 圖 3.5.2 村瀨義益的證法 2. 第二種：將斜邊的正方形切割成五塊，包括四個四邊形以及一個正方形，其中四個四邊形是全等的。例如 Perigal Henry 證法。. Perigal Henry 證法. 36.

(42) 第二類型：斜邊的正方形切割成六塊 1. 第一種：將斜邊的正方形切割成六塊，包括四個三角形以及兩個梯形，例如魯米斯的證法。. 圖 3.5.3 魯米斯的證法 2. 第二種：將斜邊的正方形切割成六塊，同樣是四個三角形以及兩個梯形，但是與第一種切法不同，例如魯米斯的證法。. 圖 3.5.4 魯米斯的證法. 37.

(43) 3. 第三種：將斜邊的正方形切割成六塊，同樣是四個三角形以及兩個梯形，其中兩個大三角形是全等的。例如魯米斯的證法。. 圖 3.5.5 魯米斯的證法 4. 第四種：將斜邊的正方形切割成六塊，五個三角形以及一個四邊形，例如 Yanney 和 Calderhead 的證法。. 圖 3.5.6 Yanney 和 Calderhead 的證法. 38.

(44) 第三類型：斜邊的正方形切割成七塊 1. 第一種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，包括三個三角形、一個梯形以及兩個四邊形，例如 J. D. Gelder 的證法。. 圖 3.5.7 J. D. Gelder 的證法 2. 第二種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，包括五個三角形、一個四邊形以及一個五邊形，例如 J. Versluys 的證法。. 圖 3.5.8 J. Versluys 的證法 3. 第三種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，同樣包括五個三角形、一. 39.

(45) 個四邊形以及一個五邊形，但是與第二種切法不同。例如 J. Wipper 的證法。. 圖 3.5.9 J. Wipper 的證法 4. 第四種：將斜邊的正方形切割成七塊，包括四個三角形、一個正方形以及兩個梯形，其中兩個大三角形是全等的。例如李善蘭的證法。. 圖 3.5.10 李善蘭的證法 5. 第五種：將斜邊的正方形切割成七塊，包括六個三角形以及一個正方形，其中有三組三角. 40.

(46) 形是全等的。例如劉徽的證法。. 圖 3.5.11 劉徽的證法第四類型：斜邊的正方形切割成八塊 1. 第一種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成八塊，包括六個三角形、一個梯形以及一個四邊形，例如 Yanney 和 Calderhead 的證法。. 圖 3.5.12 Yanney 和 Calderhead 的證法. 41.

(47) 2. 第二種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成八塊，包括四個三角形、一個梯形以及三個四邊形，例如 J. Versluys 的證法。. 圖 3.5.13 J. Versluys 的證法 3. 第三種：將斜邊的正方形切割成八塊，包括六個三角形以及兩個梯形，其中有三組三角形是全等的。例如魯米斯的證法。. 圖 3.5.14 魯米斯的證法 4. 第四種：將斜邊的正方形切割成八塊，包括八個三角形，其中有四組三角形是全等的。例. 42.

(48) 如 J. E. Bottcher 的證法。. 圖 3.5.15 J. E. Bottcher 的證法第五類型：斜邊的正方形切割成九塊 1. 第一種：將斜邊的正方形切割成九塊，包括六個三角形、一個帄行四邊形以及兩個梯形，與第四類型第三種的切割法很像，只是將第四類型第三種切割法中的一個梯形再切割成一個小梯形以及一個帄行四邊形。例如魯米斯的證法。. 43.

(49) 圖 3.5.16 魯米斯的證法第六類型：斜邊的正方形切割成十塊 1. 第一種：將斜邊的正方形切割成十塊，包括八個三角形以及兩個正方形，八個三角形當中有兩組全等的三角形，每組各有四個三角形全等。例如 J. Adams 的證法。. 圖 3.5.17 J. Adams 的證法. 44.

(50) 第七類型：斜邊的正方形切割成十二塊 1. 第一種：將斜邊的正方形切割成十二塊，包括四個三角形以及八個四邊形，其中四個三角形都全等以外，八個四邊形也有兩組全等，每組各有四個四邊形全等。例如 Giorgio Ferrarese 的證法。. 圖 3.5.18 Giorgio Ferrarese 的證法 2. 第二種：將斜邊的正方形切割成十二塊，包括四個三角形以及八個四邊形，其中四個三角形都全等以外，八個四邊形也有兩組全等，每組各有四個四邊形全等，與第一種的切割法類似。例如 Giorgio Ferrarese 的證法。. 45.

(51) 圖 3.5.19 Giorgio Ferrarese 的證法. 利用割補證法能讓人對於勾股定理的幾何意義：「兩股作圖出去的正方形面積之和等於斜邊作圖出去的正方形面積」有進一步的了解。這麼多種的割補證法讓人欣賞到數學的博大精深，以及數學的藝術美感。. 46.

(52) 第六節 Daniel Hardisky 勾股定理拼圖切割法 Daniel J. Hardisky (1948~)是一名退休的土木工程師，對於數學的理論與應用有研究，他的數學論文包括：A Twin Prime Counter, Consecutive Prime Pairs, Decomposition of All Prime Pairs, Prime Place Numbers 等等。Daniel Hardisky 在 2013 年 4 月於 Cut-the-knot 網站的勾股定理討論文章中，提供了拼圖切割法的證明，但是並沒有說明當兩股長不同的時候所對應的切割規則。. 圖 3.6.1. Daniel Hardisky 拼圖切割法. 依照Daniel Hardisky的切割法，不同的直角三角形皆可做如下圖的切割，顏色相同的代表是全等的區塊，切割剩下的矩形和帄行四邊形之切割對應關係，參考由南山高中陳囿丞老師所指導的科展作品「Daniel Hardisky畢氏定理拼圖切割法探討」，根據直角三角形三邊長的不同來討論切割法的規則。. 圖 3.6.2. Daniel Hardisky 的切割法. 47.

(53) 以(3, 4, 5)表示畢氏三元素，也就是指三邊長為 3, 4, 5 的直角三角形。假設 a, b, c 為直角三角形的三邊長，其中 a, b, c 皆為正數，且 a  b< c，令 m=. b > 0， a. 第一型：m 為正整數 (1) m=2 時的切割方式將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形。例如：(1, 2,. 圖 3.6.3. 5 )。. 5 )的拼圖切割. (1, 2,. (2) m=3 時的切割方式將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及一個長方形。例如：(1, 3,. 圖 3.6.4. (1, 3, 48. 10 )的拼圖切割. 10 )。.

(54) (3) m=4 時的切割方式將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及兩個長方形。例如：(1, 4,. 圖 3.6.5 第二型：m= (1) m=. (1, 4,. 17 )。. 17 )的拼圖切割. k 1 時，其中 k 為正整數。 k. 3 時的切割方式 2. 將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及一個帄行四邊形。例如：(2, 3,. 49. 13 )。.

(55) 圖 3.6.6 (2) m=. (2, 3,. 13 )的拼圖切割. 4 時的切割方式 3. 將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及兩個帄行四邊形。例如：(3, 4, 5)。. 50.

(56) 圖 3.6.7 (3) m=. (3, 4, 5)的拼圖切割. 5 時的切割方式 4. 將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及三個帄行四邊形。例如：(4, 5,. 51. 41 )。.

(57) 圖 3.6.8. (4, 5,. 41 )的拼圖切割. 其他類型： (1) (33, 56, 65)的切割方式將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及一個五邊形。. 52.

(58) 圖 3.6.9 (2) (1,. 1 5 , 2. (33, 56, 65)的拼圖切割(已依比例縮小). 10  2 5 )的切割方式 2. 將矩形和帄行四邊形切割成兩個三角形以及一個五邊形。. 53.

(59) 圖 3.6.10. (1,. 1 5 , 2. 10  2 5 )的拼圖切割 2. Daniel J. Hardisky 提供勾股定理拼圖切割證明法其中一種切割方式，根據科展作品「Daniel Hardisky 畢氏定理拼圖切割法探討」的研究，當 m= 割成兩個三角形以及 m-2 個長方形。當 m=. b 是正整數時，矩形和帄行四邊形可以切 a. k 1 時，其中 k 為正整數，矩形和帄行四邊形可以 k. 切割成兩個三角形以及 k-1 個帄行四邊形，當然，還有其它直角三角形的拼圖切割方式。這麼多的拼圖切割方式，讓我們更欣賞到勾股定理的奧妙，以及拼圖切割證明法的美感。. 54.

(60) 第四章第一節. 勾股定理證明工作單. 勾股定理證明工作單內容說明. 本章第二節所介紹的勾股定理證明，皆以直角三角形 ABC 當作出發點，其中 C 為直角，. BC  a , AC  b , AB  c (如圖 4.1.1)。無論是代數證明還是幾何證明，最終的目標都是要證明. a 2  b 2  c 2 這個等式。 C. a. b. A. c. B. 圖 4.1.1 直角三角形 ABC 每個證明都會包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，以下我們就分別做說明：第一部分【作輔助圖】：因為許多證明需要做輔助線來協助證明，所以此部分會將作輔助圖的步驟完整陳列，而且所有的步驟都是尺規作圖可以完成的，並且在步驟的下方會呈現輔助圖，讓學生可以知道作圖的程序。第二部分【求證過程】：此部分是整個證明的重點，包含從輔助圖，到證明出勾股定理的關係式，由於有些證明的過於繁瑣，所以在求證過程的開頭會先簡單介紹此證明的脈絡。在每個證明步驟中，也都會先作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟要推論的內容。第三部分【註與心得】：此部分又分成四項：來源、心得、評量、補充：在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名數學家所證明的，或是出自某本. 55.

(61) 書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去找資料來閱讀。「心得」為研究者本人整理完此證明，或者是研究者先行讓學生閱讀之後的心得，作個簡單的比較陳述或評論。「評量」則是評論此證明適合哪個教學階段所能理解的，是否適合教學，以及是否具有欣賞及美學，是研究者整理完此證明之後，主觀評價證明的內容，用意在於希望閱讀者可以利用這部分的評價，快速判斷這個證明是否符合他的需求。「補充」裡會針對該證明簡單介紹作者生帄故事，或是在證明中有利用到學生較不熟悉或未學過的定理，皆會放在補充裡，協助學生對此證明的理解，也希望藉由一些小故事引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。另外，若此證明是屬於拼圖證明，也會在「補充」處註明，並且附上此拼圖證明的拼法供讀者參考。有鑑於數位化教材能讓教學內容更加生動，也從研究範圍中的勾股定理證明挑選適合的證明開發了拼圖教材，讓使用者用出入相補的「弦圖證法」，來了解勾股定理，增加趣味性，目的是讓使用者帶著愉悅的心情欣賞或體驗勾股定理證明的美學。. 第二節工作單內容以下工作單我們將介紹 45 個「幾何」分類中的勾股定理證明，如第一節所述，每一個證明皆包含【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】三個部份，本研究的 45 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發教學動畫及拼圖操作可於教學時使用，也能讓學生體驗。我們將介紹下述 45 個勾股定理證明： G143、G144、G145、G146、G147、G148、G149、 G150、G151、G152、 G153、G154、G155、G156、G157、G158、G159、G160、G161、 G162、 G163、G164、G181、G182、G183、G184、G185、G191、G192、G193、 G194、 G195、G196、G197、G198、G199、G200、G201、G202、G203、 G204、G205、G206、 G207、G208。. 56.

(62) 勾股定理證明-G143 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH 。 2. 過 F 點作與 AB 平行的直線，分別交 AH , AG , BK 於 L 點, M 點, N 點。 3. 連 CD , GH . 4. 連 DK 交 FG 於 O 點。 5. 連 AF , FK . C. E A L. B M. F. N D O G. H. K. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明三角形 AGH 與三角形 ACB 全等進而推得 F  G  H 共線：因為 HAG  GAB  90  CAB  GAB ，所以 HAG  CAB ，又 AG  AC  b ,. AH  AB  c ，可推得 AGH  ACB (SAS 全等), 57.

(63) 即 AGH  ACB  90 ，故 F  G  H 共線。 2. 證明三角形 KDB 與三角形 ACB 全等進而推得 E  D  K 共線：. 因為 KBD  ABD  90  CBA  ABD ，所以 KBD  CBA ，又 BD  BC  a. BK  BA  c ，可推得 KDB  ACB (SAS 全等), 即 KDB  ACB  90 ，故 E  D  K 共線。 3. 證明三角形 MGF 與三角形 KOH 全等：. 因為 MFG  OHK (內錯角相等), MGF  HOK  90 , MF  HK  c ，所以. MGF  KOH (AAS 全等). 4. 證明三角形 MGF 與三角形 BCA 全等：因為 FG  CA , MF  AB , FGM  ACB  90 ，所以. MGF  BCA (RHS 全等). 5. 利用第 3 點和第 4 點推得三角形 KOH 與三角形 BCA 皆和三角形 MGF 全等：因為 MGF  KOH , MGF  BCA ，所以 MGF  KOH  BCA. 6. 證明三角形 FOK 與三角形 DBC 全等：因為 KOH  BCA ，所以 OK  CB ，又 FO  BD , FOK  CBD  90 ，所以. FOK  DBC (SAS 全等). 7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：正方形ABKH 面積  長方形ABNL面積  長方形LNKH 面積  平行四邊形AMFB面積  2HKF 面積  平行四邊形AMFB面積  2KOH 面積  2FOK 面積  平行四邊形AMFB面積  (MGF 面積  BCA面積)  2DBC面積  (平行四邊形AMFB面積  MGF 面積  BCA面積)  2DBC面積  正方形ACFG面積  正方形CBDE面積。得到 58.

(64) 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 74. 2. 心得：此證明是利用面積的轉換，需要證明多個圖形之間的面積相等關係以及全等關係。此證明作圖並不複雜，但是證明過程必須耐心地一步一步推導，才能得到三個正方形的關係。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 59. 美學.

(65) 勾股定理證明-G144 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 過 D 點作與 AB 平行的直線，分別交 AH , BK 於 L 點, M 點，再作過 G 點且與 AB 平行的直線，分別交 AH , BK 於 N 點, O 點。 3. 連 GH , DA , DK , GB . C. E A. B F D. L. N. M. O. G. H. K. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的區塊中，長方形 NOKH 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 ABON 的面積也與正方形 ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明矩形 NOKH 面積等於矩形 ABML 面積：因為 HAG  GAB  90  CAB  GAB ，所以 HAG  CAB ，又 AG  AC  b ,. AH  AB  c ，可推得 AGH  ACB (SAS 全等),. 60.

(66) 即 AGH  ACB  90 。同理可證 KDB  ACB (SAS 全等), 2. 即 KDB  ACB  90 . AGH 中，由母子相似性質知 HN  HA  GH ，即 2. 2. 2 GH a2 BD a2 HN   ；KDB 中，由母子相似性質知 BM  BK  BD ，即 BM   , c c HA BK. 綜合以上可得. BM  HN . 故. 長方形NOKH 面積  HN  NO  BM  AB  長方形ABML面積。 2. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：. 正方形ABKH 面積  長方形ABON 面積  長方形NOKH 面積  長方形ABON 面積  長方形ABML面積  2GAB面積  2ADB面積 1 1  2   AG  GF  2   BD  DE 2 2  AG  GF  BD  DE  正方形ACFG面積  正方形CBDE面積。得到 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 383. 2. 心得：此證明是利用面積的轉換，將大正方形 ABKH 的面積轉換成長方形 ABON 的面積與長方形 ABML 的面積，其中長方形 ABML 的面積為何與長方形. 61.

(67) N O K H的面積相等，並不直觀，必須要思考一下才能證明出來。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 欣賞 ●. 62. 美學.

(68) 勾股定理證明-G145 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 設 CF , HK 相交於 L 點，連 FL , KL . 3. 連 GH , AG 交 HK 於 O 點，連 DK 交 FG 於 P 點。 4. 過 K 點作平行 AC 的直線，交 FL 於 M 點；過 O 點作平行 AC 的直線，交 FL 於 N 點。 C. E B. A. F D N. P. M G. H. O. K. L. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於平行四邊形 ABLO 面積，證明平行四邊形 ABLO 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明三角形 AGH 與三角形 ACB 全等進而推得 F  G  H 共線：因為 HAG  GAB  90  CAB  GAB ，所以 HAG  CAB ，又 AG  AC  b ,. AH  AB  c ，可推得 AGH  ACB (SAS 全等),. 63.

(69) 即 AGH  90 ，故 F  G  H 共線。 2. 證明三角形 KDB 與三角形 ACB 全等進而推得 E  D  K 共線：. 因為 KBD  ABD  90  CBA  ABD ，所以 KBD  CBA ，又 BD  BC  a. BK  BA  c ，可推得 KDB  ACB (SAS 全等), 即 KDB  ACB  90 ，故 E  D  K 共線。 3. 證明三角形 OLN 與三角形 ABC 全等：. 因為 ON  AC , OL  AB , C  ONL  90 ，所以. ONL  ACB (RHS 全等). 4. 證明長方形 GFNO 面積等於正方形 PFMK 面積：設 FHL  x , FLH  y  ，則 PHK  NOL  x , NLO  PKH  y  ，又. HK  OL  c ，可推得 HPK  ONL (ASA 全等). 又因為 GHO  MKL  x , GOH  MLK  y  , HO  KL  c  OK , 所以. HGO  KML (ASA 全等). 因為 ONL  ACB 且 HPK  ONL ，所以 HPK  ACB ，又因為 PK  a  FM ,. KM  PF  DB  a ，所以四邊形PFMK 是面積為a 2的正方形。因為 HFL面積  長方形GFNO面積  HGO面積  ONL面積，. 且 HFL面積  正方形PFMK 面積  KML面積  HPK 面積，. 64.

(70) 所以長方形GFNO面積  HGO面積  ONL面積  正方形PFMK 面積  KML面積  HPK 面積，又 HGO  KML , HPK  ONL ，故. 長方形GFNO面積  正方形PFMK 面積。. 5. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：. 正方形ABKH 面積  平行四邊形ABLO面積  梯形AGFB面積  ONL面積  長方形GFNO面積  梯形AGFB面積  ABC面積  正方形PFMK 面積  正方形ACFG面積  a 2  正方形ACFG面積  正方形CBDE面積。得到 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自 Heath’s Mathematical Monographs, No.2, p.36, proof XXV. 2. 心得：此證明必須先證明 F  G  H 共線以及 E  D  K 共線，對國中學生來說比較不熟悉，不過接下來的證明只要利用全等關係與面積相等關係，就能推導出三個正方形的面積關係。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 65. 欣賞. 美學. ●. ●.

(71) 勾股定理證明-G146 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 設 CF , HK 相交於 M 點，連 FM , KM . 3. 連 GH , DK ，設 DK 交 FG 於 P 點。 4. 延長 AG 至 O 點使得 GO  CB  a 且 GO 交 HK 於 L 點。 5. 過 K 點作垂直 FM 的直線交 FM 於 N 點，連 OK , KN . 6. 連 GN , GK . C. E B. A. F D P N G. H. L. K. M. O. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於平行四邊形 ABNG 面積加上平行四邊形 GNML 面積，平行四邊形 GNML 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時平行四邊形 ABNG 的面積等於正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明三角形 AGH 與三角形 ACB 全等進而推得 F  G  H 共線：. 66.

(72) 因為 HAG  GAB  90  CAB  GAB ，所以 HAG  CAB ，又 AG  AC  b. AH  AB  c ，可推得 AGH  ACB (SAS 全等), 即 AGH  ACB  90 ，故 F  G  H 共線。 2. 證明三角形 KDB 與三角形 ACB 全等進而推得 E  D  K 共線：. 因為 KBD  ABD  90  CBA  ABD ，所以 KBD  CBA ，又 BD  BC  a. BK  BA  c ，可推得 KDB  ACB (SAS 全等), 即 KDB  ACB  90 ，故 E  D  K 共線。. 3. 證明 N  K  O 共線：因為 AGH  ACB ，所以 GH  CB  a , PH  PG  GH  (b  a)  a  b ，又. HK  AB  c , HPK  ACB  90 ，可推得 HPK  ACB (RHS 全等), 又 PK // GO 且 PK  GO  a ，可推得四邊形PKOG為平行四邊形。. 因為 PKO  PGO  90 , PKN  360  90  90  90  90 ，所以 N  K  O共線。 4. 證明三角形 GNF 與三角形 ABC 全等：. 因為 GF  AC  b , FN  PK  a  CB , GFN  C  90 ，所以. GNF  ABC (SAS 全等). 5. 證明四邊形 GNML 為平行四邊形且面積等於正方形 CBDE 面積：因為 BN // AG 且 BN  BF  FN  (b  a)  a  b  AG ，所以四邊形ABNG為平行四邊形。. 67.

(73) 又因為 GN // LM 且 GL // NM ，所以四邊形GNML亦為平行四邊形。. 故. 平行四邊形GNML面積  2GNK 1  2   NK  OG 2  KN  GO  DB  PK  DB  BC  正方形CBDE面積。 6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：. 正方形ABKH 面積  平行四邊形ABNG面積  平行四邊形GNML面積  梯形AGFB面積  GNF 面積  正方形CBDE面積  梯形AGFB面積  ABC面積  正方形CBDE面積  正方形ACFG面積  正方形CBDE面積。得到 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 14 日想到的。 2. 心得：此證明必須先確認 F  G  H 共線以及 E  D  K 共線，再將正方形 ABKH 面積轉換成平行四邊形 ABML 面積，再利用圖形的全等關係以及面積相等關係，最後就能推導出三個正方形的面積關係。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 欣賞 ●. 68. 美學.

(74) 勾股定理證明-G147 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 作過 G 點且平行 AB 的直線，交 AH 於 N 點且交 BK 於 O 點。 3. BF 與 NO 相交於 P 點，連 FP , OP . 4. 作過 D 點且平行 AB 的直線，交 AH 於 Q 點，交 BK 於 R 點。 5. CA 與 RQ 相交於 M 點，連 AM , QM . 6. 連 GH , DK . C. E A. B F. M. D Q N. G. H. R. O. P. K. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於長方形 NOKH 的面積加上長方形 ABON 的面積，證明長方形 NOKH 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 ABON 的面積也與正方形 ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明矩形 NOKH 面積等於矩形 ABRQ 面積：因為 HAG  GAB  90  CAB  GAB ，所以 HAG  CAB ，又 AG  AC b ,. 69.

(75) AH  AB  c ，可推得 AGH  ACB (SAS 全等), 即 AGH  90 。同理可證. KDB  ACB (SAS 全等), 2. 即 KDB  90 . AGH 中，由母子相似性質知： HN  HA  GH ，即 2. 2 GH a2 HN   ; KDB 中，由母子相似性質知： BR  BK  BD ，即 c HA. 2. BD a2 ，綜合以上可得 BR   c BK. BR  HN. 故. 長方形NOKH 面積  HN  NO  BR  AB  長方形ABRQ面積。 2. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：. 正方形ABKH 面積  長方形ABON 面積  長方形NOKH 面積  長方形ABON 面積  長方形ABRQ面積  平行四邊形ABDM 面積  平行四邊形ABPG面積  DB  BC  GA  AC  正方形CBDE面積  正方形ACFG面積。得到 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍： Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 28). Amsterdam: A.Versluys. 2. 心得：此證明與 G144 類似，G144 的證明先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形 70.

(76) 面積，再分別轉換成兩個三角形面積，最後都轉換成正方形面積；此證明也是先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面積，但是接下來是分別轉換成平行四邊形面積，最後同樣地都轉換成正方形面積，證明方式只有中間有些微差異，不過兩種證明方式都不難理解。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 71. 美學.

(77) 勾股定理證明-G148 【作輔助圖】 1. 分別以 BC , AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 延長 CA 至 O 點，延長 CB 至 N 點，使得 AO  CB  a , FN  CB  a . 3. 設 OH , NK 相交於 L 點，連 NK , KL , OH , HL . 4. 設 AG 交 KL 於 M 點，連 GM . 5. 連 GH , DK . C. E A. B F D. O. N. G. H. K M. L. 【求證過程】以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，並向外延伸作大正方形 CNLO ，正方形 ABKH 面積等於大正方形 CNLO 面積減去正方形 ABKH 外的四個三角形面積，並證明等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。 1. 證明 F  G  H 共線共線：. 72.