工作單內容

有鑑於數位化教材能讓教學內容更加生動，也從研究範圍中的勾股定理證明挑選適合的證 明開發了拼圖教材，讓使用者用出入相補的「弦圖證法」，來了解勾股定理，增加趣味性，目 的是讓使用者帶著愉悅的心情欣賞或體驗勾股定理證明的美學。

第二節 工作單內容

以下工作單我們將介紹 45 個「幾何」分類中的勾股定理證明，如第一節所 述，每一個 證明皆包含【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】三個部份，本研究的 45 個證明，皆為 魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，部分證明內容已開發教學動畫及拼圖操作可於教學時使 用，也能讓學生體驗。

我們將介紹下述 45 個勾股定理證明： G143、G144、G145、G146、G147、G148、G149、

G150、G151、G152、 G153、G154、G155、G156、G157、G158、G159、G160、G161、

G162、 G163、G164、G181、G182、G183、G184、G185、G191、G192、G193、 G194、

G195、G196、G197、G198、G199、G200、G201、G202、G203、 G204、G205、G206、

G207、G208。

勾股定理證明-G143

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH 。

2. 過 F 點作與AB 平行的直線，分別交 AH , AG , BK 於 L 點, M 點, N 點。

3. 連 CD , GH .

4. 連 DK 交 FG 於 O 點。

5. 連 AF , FK .

A B

H

C

K D

E

G

N F L M

O

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加 上正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 AGH 與三角形 ACB 全等進而推得 F G H共線：

因為HAG GAB90^  CAB GAB，所以 HAG  CAB，又 AG ACb, AH  ABc，可推得

AGH ACB

   (SAS 全等),

即AGH  ACB90^，故

2 2 2

AB BC AC ^, 即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 74.

2. 心得：此證明是利用面積的轉換，需要證明多個圖形之間的面積相等關係以及全等 關係。此證明作圖並不複雜，但是證明過程必須耐心地一步一步推導，才能 得到三個正方形的關係。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G144

即AGH  ACB90^。同理可證 Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 383.

2. 心得：此證明是利用面積的轉換，將大正方形 ABKH 的面積轉換成長方形 ABON 的 面積與長方形 ABML 的面積，其中長方形 ABML 的面積為何與長方形

N O K H的面積相等，並不直觀，必須要思考一下才能證明出來。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

● ●

勾股定理證明-G145

即AGH 90^，故

HFL GFNO HGO ONL

 面積 長方形 面積  面積  面積，

且

HFL PFMK KML HPK

 面積 正方形 面積  面積  面積，

所以

1. 來源：這個證明出自 Heath’s Mathematical Monographs, No.2, p.36, proof XXV.

2. 心得：此證明必須先證明 F G H共線以及 E D K  共線，對國中學生來說比較

勾股定理證明-G146

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH .

2. 設 CF , HK 相交於 M 點，連 FM , KM . 3. 連 GH , DK ，設 DK 交FG於 P 點。

4. 延長 AG 至 O 點使得 GOCBa且 GO 交 HK 於 L 點。

5. 過 K 點作垂直 FM 的直線交 FM 於 N 點，連 OK , KN . 6. 連 GN , GK .

A B

H

C

K D

E

G

F

N

L M

O P

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於平行四邊形 ABNG 面積加上平行四邊形 GNML 面積，

平行四邊形 GNML 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時平行四邊形 ABNG 的面積等 於正方形 ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 AGH 與三角形 ACB 全等進而推得 F G H共線：

因為HAG GAB90^  CAB GAB，所以 HAG  CAB，又 AG ACb

又因為 GN // LM 且 GL // NM ，所以

勾股定理證明-G147

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH .

2. 作過 G 點且平行 AB 的直線，交 AH 於 N 點且交 BK 於 O 點。

3. BF 與 NO 相交於 P 點，連 FP , OP .

4. 作過 D 點且平行AB 的直線，交 AH 於 Q 點，交 BK 於 R 點。

5. CA 與 RQ 相交於 M 點，連 AM , QM . 6. 連 GH , DK .

A B

H

C

K D

E

G

F

N

M Q R

O P

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於長方形 NOKH 的面積加上長方形 ABON 的面積，證明 長方形 NOKH 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 ABON 的面積也與正方形

ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明矩形 NOKH 面積等於矩形 ABRQ 面積：

因為HAG GAB90^ CAB GAB，所以 HAG  CAB，又 AG AC b  ,

AH  ABc，可推得

Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 28). Amsterdam: A.Versluys.

2. 心得：此證明與 G144 類似，G144 的證明先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形

面積，再分別轉換成兩個三角形面積，最後都轉換成正方形面積；此證明 也是先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面積，但是接下來是分別轉換 成平行四邊形面積，最後同樣地都轉換成正方形面積，證明方式只有中間有 些微差異，不過兩種證明方式都不難理解。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G148

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH .

2. 延長 CA 至 O 點，延長 CB 至 N 點，使得 AOCBa, FN CBa. 3. 設 OH , NK 相交於 L 點，連 NK , KL , OH , HL .

4. 設 AG 交 KL 於 M 點，連 GM . 5. 連 GH , DK .

A B

H

C

K D

E

G

F

N

L

M O

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，並向外延伸作大正方形 CNLO ，正方形 ABKH 面積等於大正方形 CNLO 面積 減去正方形 ABKH 外的四個三角形面積，並證明等於正方形 CBDE 的面積加上正方形

ACFG 的面積，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明 F G H共線共線：

因為HAG GAB90^  CAB GAB，所以 HAG  CAB，又 AGACb,

AGHO ab

ABKH CNLO ACB AOH

KLH BNK

Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 52). Amsterdam: A.Versluys.

2. 心得：此證明畫完輔助線之後，圖形形成一個大正方形，相當有美感。此外，證明 的方法是利用正方形 ABKH 面積等於大正方形 CNLO 面積減去正方形 ABKH 外的四個三角形面積，最後得到了三個正方形的面積關係，證明方法很直觀，

容易理解。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G149

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC 為邊長向內作正方形 CBDE 和正方形 ACFG ，再以 AB 為邊長向外 作正方形 ABKH .

2. CF , HK 相交於 L 點，連 FL , KL .

3. 連 GH , AG 交 HK 於 M 點，連 DK 交 FH 於 P 點。

4. 過 K 點作平行 AC 的直線，交 FL 於 O 點；過 M 點作平行 AC 的直線，交 FL 於 N 點。

A B

H

C

K D

E

G

F

N

M L P O

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 與正方形 ACFG ，向外作正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於平行四邊形 ABLM 面積，證明平行四邊形ABLM 所切 割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 ACFG 的面積，最後推出 勾股定理的關係式。

1. 證明 F G H  共線與 E D K  共線：

因為HAG GAB90^  CAB GAB，所以 HAG  CAB，又 AG ACb, AH  ABc，可推得

AGH  ACB(SAS 全等),

即AGH 90^，因此

ABKH AGFB MLN GFNM

AGFB ABC a

Versluys, J. (1876). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 58). Amsterdam: A.Versluys.

2. 心得：此證明先將正方形 ABKH 面積轉換成平行四邊形 ABLM 面積，再利用三角形 全等關係以及圖形的面積相等關係，最後得到了勾股定理的關係式。在證明 長方形 GFNM 的面積等於a 的部分比較困難些，其它部分就比較容易理解。 ²

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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勾股定理證明-G150

四邊形KBNC為平行四邊形。

J. M. Richardson(1859). Note on the forty-seventh proposition of Euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 15.

2. 心得：此證明先將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面積，再分別轉換成平行四 邊形面積，然後再分別轉換成兩個三角形面積，最後都轉換成正方形面積。

此證明利用面積相等的關係，一步驟一步驟慢慢地推導，最後就能得到勾股 定理的關係式。

3. 評量：

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勾股定理證明-G151

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH.

2. 過 C 點作與 AB 垂直的直線，分別交 HK , AB 於 L 點, M 點。

3. 延伸 FC 至 O 點使得 BOFC，連 OK . 4. 連 BG .

A B

H

C

K

D E

G

F L

M L

O

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 、正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於長方形 LKBM 的面積加上長方形 LHAM 的面積，證明 長方形 LKBM 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 LHAM 的面積也與正方形

ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明三角形 KBO 與三角形 BAC 全等：

因為KBO CBA90^ BAC CBA，所以 KBO  BAC，又 BO FC AC  , BK  AB，故

KBO BAC

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 78.

E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p. 71). Paris: Vuibert et Nony.

2. 心得：此證明與 G150 類似，都是將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面積，再 利用全等關係與面積相等關係，將長方形面積轉換成正方形面積，進而推導 出勾股定理的關係式。

3. 評量：

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勾股定理證明-G152

四邊形KBOC為平行四邊形。

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 74.

2. 心得：此證明與 G150、G151 類似，都是將正方形 ABKH 面積轉換成兩個長方形面

勾股定理證明-G153

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形 ABKH.

2. 過 C 點作與 AB 垂直的直線，分別交 HK , AB , GF 於 L 點, M 點, O 點。

3. 連 CH , CK 與連 OA, OB . 4. 連 GB .

A B

H

C

K

D E

G

F

O L

M

【求證過程】

分別以直角三角形 ABC 的三邊向內作正方形 CBDE 、正方形 ACFG 與正方形 ABKH ，正方形 ABKH 面積等於長方形 LKBM 的面積加上長方形 LHAM 的面積，證明 長方形 LKBM 的面積等於正方形 CBDE 的面積，同時長方形 LHAM 的面積也與正方形

ACFG 的面積相等，最後推出勾股定理的關係式。

1. 證明四邊形 KBOC 為平行四邊形：

在 CFO 中，因為FCO ACM 90^  CAB ACM，所以 FCO  CAB， 又CFO ACB90^, CF b AC，可推得

CFO ACB

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勾股定理證明-G154

在 CEQ 與 BCA 中，因為CBA SCB90^  ECQ SCB，所以 QCE CQF BAR HAN KHM BKL ABC

            

ABKH ABC HAN KHM

BKL CLMN

ABC CEDP QPD PBC

QFBP BAR DRGQ

CEDP PBC ABC BAR

QFB

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：

Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.157). New York : Macmillan and co.

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1898). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 5(3), 74.

2. 心得：此證明將正方形 ABKH 切割成四個三角形與一個小正方形，接著利用面積關 係將四個三角形面積與一個小正方形面積轉換成兩個正方形面積，雖然過程 中的面積轉換有點複雜，但是，只要一步驟一步驟慢慢地推導，不難推導出 最後的勾股定理關係式。

3. 評量：

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勾股定理證明-G155

QCE ABC CQE ABC KHL ABC

   且   故

. CQF HAM CQE KHL ABC

        

ABKH ABC BCO MOKL

KHL HAM

A C F G的面積，只要按部就班地證明一些三角形的全等關係，就不難推導出 最後的勾股定理關係式。

3. 評量：

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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：

勾股定理證明-G156

【作輔助圖】

1. 分別以BC, AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形

1. 分別以BC, AC , AB 為邊長向內作正方形 CBDE ，正方形 ACFG ，以及正方形

在文檔中 探究勾股定理中的拼圖證明 (頁 61-0)