勾股定理的證明概述

勾股定理又稱為商高定理、畢達哥拉斯定理、畢氏定理、百牛定理，指的是帄面上直角三 角形中，它的兩條直角邊長度(古稱勾長和股長)的帄方和等於斜邊長(古稱弦長)的帄方。這個 定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係以及其定理的證 明。

勾股數又稱商高數或畢氏三元數，是符合勾股定理 a²+b²=c²的正整數組(a, b, c)。埃及的紙 草書裡面就有(3, 4, 5)這一組勾股數。在中國，《周髀算經》中也記述了(3,4,5)這一組勾股數，

商高答周公問曰：「勾廣三，股備四，徑隅五」。三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理 作出了詳細注釋：「勾股個自乘，並之，為弦實，開方除之，即弦」。巴比倫石板中記錄了許多 勾股數，其中最大的勾股數為（18541，12709，13500）。

五世紀的普羅克勒斯(Proclus, 410-485)給歐幾里得(Euclid，約公元前 325 年─公元前 265 年)的名著《幾何原本》做註解時，將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派，相傳他們發 現了這個定理之後，宰了一百頭牛來慶祝，因此勾股定理又稱為「百牛定理」，但是，這個說 法顯然是以訛傳訛，因為畢達哥拉斯主義者是以素食聞名。

畢達哥拉斯學派的證明並沒有流傳下來，而勾股定理最早的書面證明是出現在《幾何原本》

第Ⅰ冊的第 47 個命題，使用的是面積證法，所謂的面積證法主要是依據三角形全等(SAS 全等) 的概念來說明：在一個直角三角形中，直角對邊上的正方形面積等於包含直角兩邊上的正方形 面積之和。除此之外，歐幾里得在《幾何原本》第Ⅵ冊的第 47 個命題，提供了另一種證法，

使用的是比例證法：在一個直角三角形中，只要能張出圖形(不一定是正方形)，那麼直角對邊 上的圖形面積等於包含直角兩邊上的圖形面積之和。

中國三國時期的趙爽在《周脾算經》的注中，記述了勾股定理的證明。趙爽為了證明勾股 定理作了「勾股圓方圖」，也就是「弦圖」，圖中每一個直角三角形稱為「朱實」，中間的小正 方形稱為「中黃實」，以弦為邊的正方形稱為「弦實」，四個朱實加上一個中黃實就等於弦實，

趙爽利用這個方法證明了勾股定理。

圖 2.1.1 趙爽的「弦圖」

中國魏晉時期的劉徽在《九章算術注》裡，利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾 股定理，劉徽對於「青朱出入圖」的解釋為：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，

各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」意思是：對於任意一個直 角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方 形對齊底邊排列，再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

圖 2.1.2 劉徽的「青朱出入圖」

在歐幾里得的《幾何原本》第一卷第 47 個命題記載著勾股定理的證法，由於證明的圖與 風車相像，因此俗稱為「風車」。證明如下：

因為矩形BDKM 矩形面積 2 ABD 面積 2 BCF 面積正方形ABFG面積，且同理可 證矩形CEKM 矩形面積正方形ACIH面積，所以

BCED BDKM CEKM

ABFG ACIH

 

 

正方形 面積 長方形 面積 長方形 面積

正方形 面

積 正方形 面積。

故

2 2 2

. BC  AB AC

圖 2.1.3 歐幾里得《幾何原本》的證法

第二節 魯米斯的簡介

魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家、土木工 程師以及教師。十二歲的那一年，有一次步行七哩至鄰鎮購買代數課本以便能夠自學，因為學 校老師已經無法指導他。1880 年，他拿到鮑德溫大學(Baldwin University)理學士學位，1886 年拿到碩士學位，兩年後再取得博士學位。

圖 2.2.1 魯米斯肖像

魯米斯在 1934 年寫下自己的訃文，包括在喪禮上如何宣讀訃文的要求。魯米斯以第三人 稱來敘述自己：「他在作為教師的五十年間，在超過 4000 名的男孩、女孩以及年輕男女的習慣 養成上，烙印了深深的印記。」

魯米斯是一位多產的作家，寫了上百篇文章，出版很多本書，不過，魯米斯認為 1927 年 出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年還做了修改，而魯 米斯也在這一年去世。

魯米斯針對勾股定理有以下的敘述：「勾股定理被公認是歐幾里得所有定理中最迷人的定 理，來自各個階層和不同國家的人都對它有興趣。1917 年，無論是坐在扶手椅上的年邁哲學 家，或是身處荒野戰壕中的年輕士兵，都耗費時間在找尋有關它的真實性之新證明。」

第三節 魯米斯的著作 ─《勾股定理》

(The Pythagorean Proposition)

魯米斯的著作《勾股定理》一書，這本書寫於 1907 年，1940 年重新修訂。全書穿插了十 二幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼(Copernicus, 1473-1543)、笛卡兒(Descartes

1596-1650)、伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642)、牛頓(Newton, 1643-1723)以及畢達哥拉斯 (Pythagoras, 約公元前 570 年─公元前 495 年)。

圖 2.3.1《勾股定理》封面

魯米斯認為因為在中世紀時期，學生必頇針對勾股定理提出一個原創的新證明，才能獲得 數學學位，所以勾股定理才有大量的證明。魯米斯將 371 個勾股定理的證明主要分成「代數」

與「幾何」兩大類，代數證明分成七小類共 109 個證明，幾何證明分成十小類共 256 個證明，

書中還補充了一個「畢達哥拉斯好奇」(Pythagorean Curiosity)以及五個畢達哥拉斯魔方陣 (Pythagorean magic squares)。

書中比較特別的證明，包括最短的證明、最長的證明、托勒密(Claudius Ptolemaeus, 90-168) 的證明、達文西(Leonardo da Vinci, 1452-1519)的證明、惠更斯(Christiaan Huygens, 1629-1695) 的證明、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibliz, 1646-1716)的證明、十六歲高中女生安‧康地(Ann Condit)的證明、盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge)的證明、美國總統的證明以及作者魯米斯提供 的證明。

《勾股定理》修訂版出版之後，仍有新的勾股定理證明被提出，可以參考伯果摩爾尼 (Alexander Bogomolny)所建立的網站http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml.

第四節 教科書的現況

勾股定理是在國中八年級上學期學的，我們挑選 A、B、C 三個市面上占有率比較高的教 科書版本，對勾股定理證明的內容進行評析：

一、 版本 A (一) 證明內容：

1. 以兩股為 3 與 4 的直角三角形為例，讓學生去發現兩股的帄方和等於斜邊帄方。

圖 2.4.1 版本 A 的探索活動

2. 考慮任意一個直角三角形，先用四個直角三角形與一個邊長為 a­b 的正方形去拼成一 個四邊形，再去計算四邊形的面積。

圖 2.4.2 版本 A 的證明過程

3. 先說明四邊形為正方形，且面積為直角三角形斜邊的帄方，最後利用四邊形的面積關 係推導出勾股定理。

圖 2.4.3 版本 A 的證明

(二) 評析：此版本最後是利用代數的方法推導出 c²=a²+b²，整個證明過程中並沒有出現面 積為 a²與 b²的正方形，因此，學生比較難感受到 c²=a²+b²所代表的幾何意義。

二、 版本 B (一) 證明內容：

1. 以兩股為 2 與 3 的直角三角形為例，讓學生去發現：以兩股為邊長的兩個正方形面積 等於以斜邊為邊長的正方形面積。

圖 2.4.4 版本 B 的探索活動

2. 利用兩個邊長為 a+b 的正方形，兩邊同時取走四塊相同的直角三角形之後，左邊剩下 面積為 a²的正方形與面積為的正方形 b²，右邊剩下面積為 c²的正方形，因此推得 a²+b²= c²。

圖 2.4.5 版本 B 的證明

(二) 評析：此版本最後是利用面積相等的關係來推導，而且證明過程中有出現面積為 a², b² 與 c²的正方形，因此，學生比較能感受到 a²+b²= c²所代表的幾何意義。

三、 版本 C (一) 證明內容：

1. 以方格子當作輔助讓學生去計算以兩股為邊長的正方形面積以及以斜邊為邊長的正 方形面積，並詴著去發現它們之間的關係。

圖 2.4.6 版本 C 的問題探索

2. 將四個面積為 ab 的直角三角形放到一個邊長為 a+b 的正方形上面，先發現所剩的四 邊形為正方形，再利用大正方形面積減去四個直角三角形面積等於小正方形面積，去 推導出 a²+b²= c²。

圖 2.4.7 版本 C 的證明

(二) 評析：此版本藉由「問題探索 1」讓學生去發現直角三角形三邊長的關係，也讓學生 感受到 a²+b²= c²的幾何意義。在「問題探索 2」則是利用面積相等的關係，用代數式 推導出 a²+b²= c²。因此，此版本含有勾股定理的幾何意義，也含有勾股定理的代數證 明方式。

第三章 勾股定理的分類及其典故

第一節 勾股定理的證明概述

勾股定理形成至今是數學定理中證明方法最多的定理之一，而且仍有許多人努力地在探究 是否有更多的方式可以證明。從史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，

一直到了 14 世紀文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相 當豐富，此時勾股定理的分類一般而言可以分為三種：

一、 面積證法：出自《幾何原本》第一卷命題 47，收錄在魯米斯《勾股定理》的 G033，

主要依賴面積相等的概念來證明。(為了方便敘述，我們編制 A 為魯米斯《勾股定理》這 本書中的代數證明，G 為幾何證明。)

× 2

× 2

× 2

× 2

圖 3.1.1 面積證法

二、 弦圖證法：源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之為「出入

相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》G127，在印度則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII) 為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》G225。

圖 3.1.2 劉徽的「青朱出入圖」

三、 比例證法：比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31，亦收錄在《勾股定理》A001，

運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代數操作。

A B

C

D

圖 3.1.3 比例證法 因為ACD~ABC且CBD~ABC，所以

: :

AC ABAD AC且BC BA: BD BC: , 可推得

AC2  AB AD 且BC² BA BD . 因此

2 2

2

( )

.

AC BC AB AD BA BD AB AD BD AB AB

AB

    

  

 



數學從古至今便一直不斷地發展，關於勾股定理的證明，也不斷地被發現中，甚至有倒水證明 以及摺紙證明：

1. 倒水證明：

圖 3.1.4 倒水證明

倒水證明網址：https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o 2. 摺紙證明：

(1) 左邊四個橘色三角形與右邊四個白色三角形皆全等：

圖 3.1.5 摺紙證明 1 (2) 大正方形面積為 c²：

圖 3.1.6 摺紙證明 2

(3) 大正方形扣掉兩個橘色三角形，再補上兩個白色三角形(即白色面積等於原大正方形面 積 c²)：

圖 3.1.7 摺紙證明 3

(4) 白色面積總和為 a²+b²，可推得直角三角形中，斜邊的帄方等於兩股帄方的和。

圖 3.1.8 摺紙證明 4

摺紙證明網址：https://www.youtube.com/watch?v=rTDyCWDojoA。