淺談勾股定理的割補證法

劉徽的割補術被中國數學家吳文俊先生稱之為「出入相補原理」，它指的是將未知面積或 體積的帄面圖形或立體圖形分割成若干部分，然後把它們重新拼合成面積或體積為已知的圖 形，來解決與面積、體積有關的問題，成為中國傳統數學解決面積、體積和勾股、測望問題的 重要方法。

劉徽在《九章算術注》裡，利用「割補術」作了「青朱出入圖」來證明勾股定理，劉徽對 於「青朱出入圖」的解釋為：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就 其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」意思是：對於任意一個直角三角形，以勾 寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，

再進行割補，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

青 朱

青入

青 入

青 出

青出 朱出

朱入

圖 3.5.1 劉徽的「青朱出入圖」

參考魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)1927 年出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)一書，書中含有 371 個勾股定理的證明，其中主要包括代數證明以及幾何證明。幾 何證明當中有屬於割補證法的證明，依照斜邊作圖出去的正方形所切割的塊數，可以將勾股定 理的割補證法分成七大類型，而七大類型當中又可以細分成 19 種切割方式：

第一類型：斜邊的正方形切割成五塊

1. 第一種：將斜邊的正方形切割成五塊，包括一個大三角形、一個中三角形、一個小三角形、

一個大四邊形以及一個梯形，例如江戶時代前期的數學家村瀨義益的證法。

圖 3.5.2 村瀨義益的證法

2. 第二種：將斜邊的正方形切割成五塊，包括四個四邊形以及一個正方形，其中四個四邊形 是全等的。例如 Perigal Henry 證法。

Perigal Henry 證法

第二類型：斜邊的正方形切割成六塊

1. 第一種：將斜邊的正方形切割成六塊，包括四個三角形以及兩個梯形，例如魯米斯的證法。

圖 3.5.3 魯米斯的證法

2. 第二種：將斜邊的正方形切割成六塊，同樣是四個三角形以及兩個梯形，但是與第一種切 法不同，例如魯米斯的證法。

圖 3.5.4 魯米斯的證法

3. 第三種：將斜邊的正方形切割成六塊，同樣是四個三角形以及兩個梯形，其中兩個大三角 形是全等的。例如魯米斯的證法。

圖 3.5.5 魯米斯的證法

4. 第四種：將斜邊的正方形切割成六塊，五個三角形以及一個四邊形，例如 Yanney 和 Calderhead 的證法。

圖 3.5.6 Yanney 和 Calderhead 的證法

第三類型：斜邊的正方形切割成七塊

1. 第一種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，包括三個三角形、一個梯 形以及兩個四邊形，例如 J. D. Gelder 的證法。

圖 3.5.7 J. D. Gelder 的證法

2. 第二種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，包括五個三角形、一個四 邊形以及一個五邊形，例如 J. Versluys 的證法。

圖 3.5.8 J. Versluys 的證法

3. 第三種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成七塊，同樣包括五個三角形、一

個四邊形以及一個五邊形，但是與第二種切法不同。例如 J. Wipper 的證法。

圖 3.5.9 J. Wipper 的證法

4. 第四種：將斜邊的正方形切割成七塊，包括四個三角形、一個正方形以及兩個梯形，其中 兩個大三角形是全等的。例如李善蘭的證法。

圖 3.5.10 李善蘭的證法

5. 第五種：將斜邊的正方形切割成七塊，包括六個三角形以及一個正方形，其中有三組三角

形是全等的。例如劉徽的證法。

圖 3.5.11 劉徽的證法 第四類型：斜邊的正方形切割成八塊

1. 第一種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成八塊，包括六個三角形、一個梯 形以及一個四邊形，例如 Yanney 和 Calderhead 的證法。

圖 3.5.12 Yanney 和 Calderhead 的證法

2. 第二種：將斜邊的正方形先切割成兩個長方形，再切割成八塊，包括四個三角形、一個梯 形以及三個四邊形，例如 J. Versluys 的證法。

圖 3.5.13 J. Versluys 的證法

3. 第三種：將斜邊的正方形切割成八塊，包括六個三角形以及兩個梯形，其中有三組三角形 是全等的。例如魯米斯的證法。

圖 3.5.14 魯米斯的證法

4. 第四種：將斜邊的正方形切割成八塊，包括八個三角形，其中有四組三角形是全等的。例

如 J. E. Bottcher 的證法。

圖 3.5.15 J. E. Bottcher 的證法 第五類型：斜邊的正方形切割成九塊

1. 第一種：將斜邊的正方形切割成九塊，包括六個三角形、一個帄行四邊形以及兩個梯形，

與第四類型第三種的切割法很像，只是將第四類型第三種切割法中的一個梯形再切割成一 個小梯形以及一個帄行四邊形。例如魯米斯的證法。

圖 3.5.16 魯米斯的證法 第六類型：斜邊的正方形切割成十塊

1. 第一種：將斜邊的正方形切割成十塊，包括八個三角形以及兩個正方形，八個三角形當中 有兩組全等的三角形，每組各有四個三角形全等。例如 J. Adams 的證法。

圖 3.5.17 J. Adams 的證法

第七類型：斜邊的正方形切割成十二塊

1. 第一種：將斜邊的正方形切割成十二塊，包括四個三角形以及八個四邊形，其中四個三角 形都全等以外，八個四邊形也有兩組全等，每組各有四個四邊形全等。例如 Giorgio Ferrarese 的證法。

圖 3.5.18 Giorgio Ferrarese 的證法

2. 第二種：將斜邊的正方形切割成十二塊，包括四個三角形以及八個四邊形，其中四個三角 形都全等以外，八個四邊形也有兩組全等，每組各有四個四邊形全等，與第一種的切割法 類似。例如 Giorgio Ferrarese 的證法。

圖 3.5.19 Giorgio Ferrarese 的證法

利用割補證法能讓人對於勾股定理的幾何意義：「兩股作圖出去的正方形面積之和等於斜 邊作圖出去的正方形面積」有進一步的了解。這麼多種的割補證法讓人欣賞到數學的博大精 深，以及數學的藝術美感。