第二章 理論模型
第一節 代表性個人
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第 二 章 理論模型
本文以 Lai and Chin (2013) 的貨幣內生成長模型為基礎，試圖建立一個考慮 資本使用率以及投資是否具有調整成本的成長模型，探討央行採行釘住通貨膨 脹率指標的貨幣政策下，對經濟成長率的影響。其中，我們將經濟體系分為兩 個部門，分別為家計與廠商合而為一的代表性個人部門以及政府部門。以下依 序闡述這兩個部門的最適跨時決策，並以此為基礎，建構經濟模型予以分析。
第一節 代表性個人
假設經濟體存在許多相同且具有無限生命 (Infinitylife) 的代表性個人，代 表性個人除了具備完全預知 (Perfect Foresight) 的能力之外，同時會運用跨期最 適化決策來追求終生效用折現值的極大，為簡化分析，本文將人口單位化為一。
代表性個人從事消費行為會增加效用，故一生效用函數可表達如下：3
Λ = Z ∞
0
U (Ct)e−ρtdt (2.1)
其中 Λ 表示一生效用值，U (Ct)表示每單位時間的效用，為每單位時間消費的 函數，C 表示消費，ρ 表示時間偏好率。U (Ct)定義如下：
U (Ct) = C1−σ− 1
1− σ ； σ > 0 且 0 < ρ < 1 (2.2)
其中 σ 表示跨時消費的替代彈性之倒數。
3 代表性個人跨期效用函數之設計可參考 Lai and Chin (2013)。
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基於 Barro (2008) 的實際數據觀察顯示，資本使用率會隨著經濟景氣的波動 因應地調整。準此，本文依循 Wen (1998) 之設定，具體的考量廠商於生產時可 以選擇使用部分的實體資本。因此將資本使用率內生化後，代表性廠商的生產 函數為：
Y = ΦuK ； 0 < u < 1 (2.3)
其中 Y 表示每人實質產出，Φ 表示總要素生產力 (Total Factor Productivity)，且 Φ > 0，u 表示資本使用率，K 表示廣義的資本存量 (實體資本)。
基於貨幣具有降低現金交易成本的功能，本文沿用 Jha, Wang and Yip (2002) 與 Lai and Chin (2013) 之設定，假設代表性個人每單位商品的交易成本函數為：
t(m/Y ) = [1− θ × (m/Y )α]； 0 < θ < 1 且 0 < α < 1 (2.4)
其中 m 表示實質貨幣餘額 (Real Money Balance)，且 m = M/P ，當中的 M 表示 名目貨幣餘額 (Nominal Money Balance)，而 P 表示價格水準，θ 表示每單位交 易成本的最低水準，意指即使將實質產出完全以貨幣形式持有，仍存在交易成 本，α 反映多持有一單位 m，每單位交易成本遞減的程度。
依照 Jha, Wang and Yip (2002) 設定，每單位交易成本 t 為實質貨幣餘額 m 除以每人實質所得 Y 的函數，即 t = t(m/Y )，而 t(m/Y ) 具有以下特性：
t′(m/Y ) < 0 (2.5a)
t′′(m/Y ) > 0 (2.5b)
lim
m/Y→0t(m/Y ) = 1 (2.5c)
lim
m/Y→1t(m/Y ) = 1− θ (2.5d)
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式(2.5a)表示隨著代表性個人手中持有貨幣的數量越多，每單位交易成本會 下降。因為貨幣具有交易媒介的功能，持有越多的貨幣將能減少交易過程中所 消耗的費用。
式(2.5b)表示隨著代表性個人手中持有貨幣的數量越多，每單位交易成本將 會遞增的減少。
式(2.5c)表示當代表性個人手中沒有持有任何貨幣，每單位交易成本為 1。
式(2.5d)表示當代表性個人手中完全持有相當於實質產出 Y 的貨幣數量時，
有最低水準的每單位交易成本，其值為 1− θ。
圖一為每單位商品的交易成本函數特性之示意圖：
圖一：每單位交易成本特性
由於總交易成本 T 為實質產出 Y 乘以每單位交易成本 t，因此總交易成本 為 T = tY ，總交易成本函數設定如下：
T = t(m/Y )Y = [1− θ × (m/Y )α]Y (2.6)
由於淨產出 YN 為 Y 與 T 的差額，故淨產出函數可設定為：
YN = Y − T = Y − [1 − θ × (m/Y )α]Y (2.7)
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令代表性個人進行投資決策時會衍生裝置成本 (Installation Costs)，即所謂 的調整成本 (Adjustment Costs, AC)。調整成本係指廠商購買的機器設備，無法 立即使用，必須裝運到廠以及建置適當的廠房，如此才能投入生產。機器設備
其中 h 表示調整成本的敏感度 (Sensitivity)，為一反映調整成本大小的外生參數。
依循 Hayashi (1982)、Abel and Blanchard (1983) 以及 Turnovsky (1996) 之設 定，包含調整成本的總投資成本函數 A 為：
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由式(2.10)可得出以下的結果：
AI = 1 + h
I K
> 0 (2.11a)
AII = h
K > 0 (2.11b)
式(2.11a)與式(2.11b)表示，總投資成本將隨著投資存量遞增的增加。
為了能夠最適化的選擇資本使用率，本文假設資本使用率會影響資本折舊 率。根據 Wen (1998) 設定，假設資本折舊函數為資本使用率的遞增函數，故我 們設定資本折舊函數為：
δ = 1
βuβ ； β ≥ 1 (2.12)
其中，δ 為資本折舊率。β 表示折舊函數的敏感度，為一反映折舊函數大小的外 生參數。
由式(2.12)可得出以下的結果：
δu = uβ−1 > 0 (2.13a)
δuu= (β− 1)uβ−2 > 0 (2.13b)
式(2.13a)與式(2.13b)表示，資本折舊將隨著資本使用率遞增的增加。
圖二說明不同 β 值的情況下 (令 β2 > β1)，資本使用率 u 與資本折舊 δ 之間 的關係，示意圖如下：
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圖二：不同 β 值的情況下，資本使用率與折舊示意圖
圖二說明，在資本使用率固定不變下，隨著 β 值的增加，折舊將會越低，直到
β → ∞ 時，折舊將會降為 0，表示廠商在使用實體資本時，不會有任何機器設
備的損耗，在此情況下，廠商將會選擇使用全部的實體資本，意指資本使用率 u為 1。
代表性個人對於機器設備的購置將會引發實體資本的累積，而折舊會減損 實體資本的累積，故實體資本累積式表達如下：
K = I˙ − δK (2.14)
在封閉經濟體系下，代表性個人可以持有貨幣、本國債券或實體資本作為 儲蓄工具。同時，本文定義代表性個人的可支配所得為淨產出 YN 加上政府 對私部門 (代表性個人與廠商) 的移轉性支付 T r 以及持有本國債券收到的利息 RB，其中 R 表示名目利率，B 表示名目債券數量。
代表性個人的可支配所得必須等於消費 C 與毛儲蓄 S 的總和。而毛儲蓄包 括機器設備的購買與建置、新增本國債券與貨幣的持有以及新增機器設備所產 生的資本折舊。準此，代表性個人的預算限制式設定如下：
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根據以上的模型，我們可設定以下的現值 Hamiltonian 函數 H：
H =C1−σ− 1
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式(2.28)為持有本國債券與貨幣的無套利條件，該式說明持有本國債券的報酬率 等於持有貨幣的報酬率。上式等號左邊為持有貨幣的實質報酬率 (等於持有貨幣 對淨產出 YN 的邊際生產力扣除通貨膨脹率)，其中我們將貨幣對淨產出的邊際 生產力稱為貨幣邊際生產力 (Marginal Product Money, MPm)，等號右邊為本國債 券的實質報酬率 (等於持有本國債券的名目利息扣除通貨膨脹率)。
式(2.28)可進一步表示成：
αΓu1−αK1−αmα−1= R (2.28a)
式(2.24)及式(2.25)為 λ1與 λ2的最適條件，分別表示代表性個人的預算限制 式及實體資本的累積式。
代表性個人追求終生效用極大時，其行為除了需符合上述所提及之最適條 件以外，尚須滿足終端條件 (Transversality Condition, TVC)，終端條件為：
tlim→∞λ1be−ρt= 0 (2.29a)
t→∞limλ1me−ρt= 0 (2.29b)
tlim→∞λ2Ke−ρt= 0 (2.29c)
以上三式清楚地表示，代表性個人於最終之際 (t→ ∞)，持有的資產 (包含本國 債券、貨幣及實體資本) 所帶來的效用折現值等於零，亦即代表性個人的最適決 策為追求一生效用折現值的極大。