第二章 文獻探討
第四節 以知識結構為基礎之診斷測驗
第四節 第四節 以知識結構為基礎之診斷測驗 以知識結構為基礎之診斷測驗 以知識結構為基礎之診斷測驗 以知識結構為基礎之診斷測驗
壹 壹 壹
壹、 、 、順序理論 、 順序理論 順序理論 順序理論
Airasian & Bart (1973)提出順序理論(ordering theory, OT)，用以表示試題間的 順序性，理論介紹如下：
令 X＝(X1,X2,…,X3)表示一個向量包含 n 個二元試題成績變數，每一個受試者 作答 n 題得到一個 0 與 1 的向量 X＝(X1,X2,…,Xn)之後，兩試題 j 和 k 的聯合邊際 機率，如表 2-4-1：
表 2-4-1 試題 j 與試題 k 之聯合邊際機率
試題 k 1
k =
X Xk =0 總和
1
j =
X P(Xj =1,Xk =1) P(Xj =1,Xk =0) P(Xj =1) 0
j =
X P(Xj =0,Xk =1) P(Xj =0,Xk =0) P(Xj =0) 試題 j
總和 P(Xk =1) P(Xk =0) 1
假設ε*jk =P(Xj =0,Xk =1)為試題 j 做錯而試題 k 做對的機率，當ε*jk<ε時（ε 為 一閾值，設定0.02≤ε ≤0.04），即表示試題 j 和試題 k 則有順序關係，兩個試題 的關係可標記為X →j Xk，也就是試題 j 是試題 k 的下位試題。
何政翰（2004）針對三種不同的知識結構（Diagnosys、OT、IRS）與專家結 構比較估計成效，其研究結果發現：在OT結構中，樣本數大小對於預測精確性的 影響較小，且OT結構比專家結構的預測精準度好；利用具有階層性的知識結構，
可以快速有效的評量學生的學習成效，以OT結構為基礎的電腦化適性測驗是有效 的評量模式。
運用OT演算法的相關研究，如：林杰炘（2005）、曾彥鈞（2006）、莊惠萍
（2007）、林立敏（2007）、劉育隆（2007）、林婉星（2008）、白曉珊（2008）、
汪端正（2008）、莊銘豪（2008）、許曜瀚（2008）、何秀芳（2009）、卓淑瑜
（2011）等，都是將OT演算法運用在建立學生試題結構，因此本研究採用OT演 算法分析學生試題結構，並結合詮釋結構模式建立學生知識結構。
貳 貳 貳
貳、 、 、學生認知屬性結構的演算法 、 學生認知屬性結構的演算法 學生認知屬性結構的演算法 學生認知屬性結構的演算法
學者佐藤隆博（1979）提出詮釋結構模式，劉育隆（2012）將認知屬性對應 試題的 Q 矩陣以及 OT 分析得到的學生試題結構互相結合，建立學生知識結構演 算法，其研究結果顯示：學生認知屬性結構能夠比專家依照教學順序編製的專家 知識結構，更明確的呈現學生學習認知屬性的過程，可做為補救教學路徑。本研 究參考劉育隆（2012）提出建立學生概念結構演算法，範例如下：
（一） 專家定義的 Q 矩陣包含四個概念、五個試題，矩陣中呈現專家認為要答 對 I1 試題必須具備 C1，要答對 I2 試題必須具備 C1 與 C3 兩個概念，以此類 推，如表 2-4-2 所示：
表 2-4-2 專家定義之 Q 矩陣（引自：劉育隆，2012）
試題
認知屬性 I1 I2 I3 I4 I5 C 1 1 1 0 0 0 C 2 0 0 1 0 0 C 3 0 1 0 1 0 C 4 0 0 0 1 1
（二） 利用 OT 軟體建立學生的試題知識結構 QSm×n
假設利用順序理論建立之學生試題結構，得到圖 2-4-1 學生試題順序結構及 表 2-4-3 可達矩陣 R。
圖 2-4-1 學生試題順序結構（引自：劉育隆，2012）
表 2-4-3 可達矩陣 R（劉育隆；2012）
（三） 利用公式 CI＝Q*（R＋I）矩陣運算（布林加法代數），建立概念關聯試 題矩陣 CI。
表 2-4-4 概念關聯試題矩陣（引自：劉育隆，2012）
試題
認知屬性 I 1 I 2 I 3 I4 I 5 C 1 1 1 0 0 0 C 2 1 1 1 0 0 C 3 1 1 0 1 0 C 4 1 1 0 1 1
I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 1 0 0 0 0 0 I 2 1 0 0 0 0 I 3 1 1 0 0 0 I 4 1 1 0 0 0 I 5 1 1 0 1 0
I 1
I 2
I 3 I 4
I 5
（四） 由概念關聯試題矩陣建立學生概念結構 C ，其中，m 為認知屬性數，n 為 試題數。
若某概念相關聯的試題皆包含在另一概念中，稱此概念為另一概念之下位概 念，如圖 2-4-2 所示。
圖 2-4-2 學生概念結構圖（引自：劉育隆，2012）
根據所得到的概念關聯試題矩陣，其中 C4 被最多試題所包含，代表其為最 基礎的概念，C1、C3 為 C4 的上位概念，其中 C1 又為 C2、C3 得上為概念，
C2 與 C3 並無上下位關係。
本研究利用學生認知屬性結構演算法得到學生認知屬性的知識結構，並融入 Q 矩陣中產生結合學生知識結構的階層性 Q 矩陣，再與結合專家知識結構的階層 性 Q 矩陣相互比較，藉以瞭解加上不同的知識結構的階層性 Q 矩陣的成效。
S1
S3 S2
S4
C＝ Cij＝1, if CIik≦ CIjk, for all k, i＝1,2,…,m; j＝1,2,…,m Cij＝0, else