第三章 研究方法
第一節 研究流程
第三章 第三章
第三章 研究方法 研究方法 研究方法 研究方法
本研究針對「因數與倍數」單元的認知屬性，編製一份診斷測驗，進行施測 獲得實徵資料，進行DINA模式與IRT模式分析，藉以比較兩種模式參數值之間的 相關性；並編製結合專家知識結構的階層性Q矩陣及結合學生知識結構的階層性 Q矩陣，藉以比較三種不同Q矩陣設計在DINA模式下估計的成效。本章主分為四 節：第一節為研究流程；第二節為研究對象；第三節為研究工具；第四節為資料 處理與統計分析。
第一節 第一節 第一節
第一節 研究流程 研究流程 研究流程 研究流程
本研究依據九年一貫數學能力指標「5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公 倍數」，分析將五年級因數與倍數單元所包含的認知屬性，依照認知屬性編製ㄧ 份診斷測驗，經專家會議討論與修正後，進行施測；專家由受試者在建構反應題 的作答資料獲得部分認知屬性的判斷資訊，其餘的認知屬性則藉由選擇題的作答 情形加上個別訪談，藉以獲得專家判定受試者是否具備該試題所對應的認知屬性 的實徵資料；將受試者作答資料進行 DINA 模式與 IRT 模式分析，藉以比較兩種 模式參數值之間的相關性；接著分別將專家知識結構與學生知識結構融入 Q 矩陣 中，形成結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣及結合學生知識結構的階層性 Q 矩 陣；將三種不同的 Q 矩陣設計利用 DINA 模式評估，藉以比較受試者作答反應的 辨識率成效；最後，將比較分析的資料撰寫為研究結果。研究流程圖如 3-1-1 所 示。
圖 3-1-1 研究流程圖 因數與倍數單元教材內容分析
認知屬性內容
編寫命題卡格式
編製試題
專家會議修正及討論
預試及修正試題
正式施測
以 IRT 模式 進行估計
編製結合專家與學生 知識結構階層性 Q 矩陣 以 DINA 模式
進行估計
編製 Q 矩陣
不同 Q 矩陣設計在 DINA 模式 辨識率比較
專家知識結構
DINA 模式參數值與 IRT 模式參數值比較
撰寫研究報告
分析建構反應 題及個別晤談
本研究依據上述的研究流程，將研究的順序及重點分述如下：
壹 壹 壹
壹、 、 、教材內容分析 、 教材內容分析 教材內容分析 教材內容分析
根據分析各版本教材內容及參考文獻資料，將五年級因數與倍數單元所包含 的認知屬性整理如下表：
表 3-1-1 因數與倍數認知屬性內容
認知屬性敘述 對應題號
A1 從除法的結果中認識「因數」。 1、5、9、10、15、22 A2 以幾的幾倍，認識「倍數」。 2、3、7、8、10、19 A3 以除法或乘法找出所有的因數。 5、6、14、15、22、23 A4 以乘法或除法，判別兩數的倍數關係。 3、4、7、16、20 A5 認識 2 、5 及 10 的倍數判別方法。 8、9
A6 能利用因數解決生活情境中的問題。 14、22 A7 列出兩數所有的因數，兩數共同的因數稱為
「公因數」。
6、11、13、18、23
A8 能利用倍數解決生活情境中的問題。 16、20 A9 列出兩數的倍數數列認識「公倍數」，利用數
列找出兩數的公倍數。
4、8、12、17、19、21
A10 利用甲的因數做為除數，找出甲乙兩數的公 因數。
11、13
A11 能利用公因數解決生活情境中的問題。 18、23 A12 能利用公倍數解決生活情境中的問題。 12、17、21
A13 認識因數和倍數的關係。 10、19
貳
叄 叄
叄 叄、 、 、編製 、 編製 編製 Q 矩陣 編製 矩陣 矩陣 矩陣
本研究的測驗試題包含選擇題 20 題、建構反應題 3 題，認知屬性數共 13 個，
Q 矩陣的設計中「1」代表該題有測量到該認知屬性，「0」則代表該題沒有測量 到該認知屬性。本研究設計的認知屬性對應試題的 Q 矩陣，如表 3-1-2：
表 3-1-2 認知屬性對應試題的 Q 矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 合計 Item1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Item2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Item3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 Item5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 Item7 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item8 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 Item9 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 Item11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 Item12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 Item13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 Item14 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 Item15 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item16 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 Item17 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 Item18 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 Item19 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Item20 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 Item21 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 Item22 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3 Item23 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3
合計 6 6 6 5 2 2 5 2 6 2 2 3 2
本研究的 Q 矩陣設計屬於不平衡設計，意即在測驗中每個認知屬性對應到的
伍 伍
伍 伍、 、 、 建立結合專家知識結構的階層性 、 建立結合專家知識結構的階層性 建立結合專家知識結構的階層性 建立結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣 矩陣 矩陣 矩陣
參考專家知識結構圖，將該認知屬性的下位認知屬性也納入試題中，意即將 認知屬性的上下位關係與 Q 矩陣結合，編製結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣，
如表 3-1-3 所示：
表 3-1-3 結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 合計
Item1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Item2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Item3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Item4 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3
Item5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Item6 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3
Item7 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Item8 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3
Item9 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3
Item10 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3
Item11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2
Item12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2
Item13 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 4
Item14 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3
Item15 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Item16 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3
Item17 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 4
Item18 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4
Item19 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 5
Item20 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3
Item21 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 4
Item22 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3
Item23 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 4
合計 12 12 8 8 2 2 5 2 6 2 2 3 2
陸 陸
陸 陸、 、 、 建立結合 、 建立結合 建立結合 建立結合學生 學生 學生知識結構的階層性 學生 知識結構的階層性 知識結構的階層性 Q 矩陣 知識結構的階層性 矩陣 矩陣 矩陣
收集學生作答資料，採用OT演算法、不同閾值設定，估計並建立學生試題結 構。在學生知識結構圖中可發現，與因數相關的認知屬性(A1、A3、A6)成為倍數
（A2、A4、A9）的上位認知屬性，表示學生普遍認為因數比倍數困難，與先前 的研究結果符合；同時發現學生知識結構圖中出現與專家知識結構的順序不同之 處，學生知識結構圖中公倍數（A12）成為倍數（A8）的下位認知屬性，公因數
（A7、A10）也成為因數(A1、A3、A6)的下位認知屬性，如圖3-1-3所示：
圖3-1-3 學生知識結構圖 A5 認識 2 、5 及 10
的倍數判別方法
A2以幾的幾倍，
認識「倍數」
A4以乘法或除法，判 別兩數的倍數關係 A9 列出兩數的倍數數列認識「公倍
數」，利用數列找出兩數的公倍數
A10利用甲的因數做 為除數，找出甲乙兩 數的公因數
A12能利用公倍數解 決生活情境中的問題
A1從除法的結果中認 識「因數」
A3以除法或乘法找出 所有的因數
A6能利用因數解決生 活情境中的問題
A8能利用倍數解決生 活情境中的問題
A11能利用公因數解 決生活情境中的問題
A13認識因數和倍 數的關係
A7列出兩數所有的 因數，兩數共同的因
數稱為「公因數」
本研究使用不同閾值設定的OT演算法，得到結合學生知識結構的階層性Q矩 陣（附錄二附錄二附錄二）附錄二 ，進行DINA模式分析估計成效，如表3-1-4：
表 3-1-4 不同閾值設定的學生知識結構 Q 矩陣估計成效表（%）
由上表可得，使用不同閾值設定的OT演算法，得到結合學生知識結構的階層 性Q矩陣，在DINA模式分析的估計成效並不穩定，認知屬性的辨識率並沒有隨著 閾值設定越嚴格而越高，因此本研究僅以平均辨識率的高低作為選擇的標準，使 用閾值設定0.04所得結合學生知識結構與Q矩陣結合，成為結合學生知識結構的 階層性Q矩陣，如表3-1-5：
閾值設定
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.001 A1 67 81 80 83 84 84 A2 80 82 83 82 84 83 A3 80 84 86 85 86 86 A4 80 82 83 83 81 80 A5 83 87 87 84 92 91 A6 57 76 78 81 80 79 A7 79 82 82 80 80 80 A8 76 92 81 97 86 79 A9 75 80 80 80 80 81 A10 89 96 95 94 91 91 A11 53 85 85 83 83 82 A12 64 73 73 71 74 74 A13 58 88 82 84 87 86 平均
平均
平均平均 72 84 83 83 83 83
表 3-1-5 結合學生知識結構的階層性 Q 矩陣（閾值設定 0.04）
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 合計 Item1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 7 Item2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 Item3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Item4 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 Item5 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 8 Item6 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 7 Item7 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 Item8 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 Item9 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 7 Item10 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 8 Item11 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 Item12 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 7 Item13 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 6 Item14 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 8 Item15 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 8 Item16 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 7 Item17 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 7 Item18 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 9 Item19 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 8 Item20 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 8 Item21 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 9 Item22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 11 Item23 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 9
合計 7 23 6 23 21 2 21 5 22 21 2 8 2
柒 柒 柒
柒、 、 、施測結果分析 、 施測結果分析 施測結果分析 施測結果分析
回收試卷收集學生的作答反應，以成就測驗的觀點，分析整份測驗的信度，
及每一個試題的難度、鑑別度、猜測度，作為審題及修題的參考。
捌 捌 捌
捌、 、 、專家效標之建立 、 專家效標之建立 專家效標之建立 專家效標之建立
根據分析建構反應題學生之解題歷程及個別訪談，在本研究中建構反應題分 別為第 21、22、23 題，測驗內容包含找出所有的因數、所有的公因數及限定範 圍內的公倍數，共包含 7 個認知屬性（A1、A3、A6、A7、A9、A11、A12），提 供更多資訊作為專家判定學生是否擁有該認知屬性的效標，並減少判讀認知屬性 的時間；其餘在建構反應題中未測得的認知屬性，則依照選擇題的作答情形進行 判斷，若有學生在同一個認知屬性出現反應不一致的情形，則進一步做個別晤 談，瞭解學生解題的過程與方法，藉以判斷學生是否具備該認知屬性。