名詞解釋

第三節 第三節

第三節 研究問題 研究問題 研究問題 研究問題

根據上述的研究目的，提出下列的研究問題：

一、 DINA 模式的猜測參數 g 與 IRT 模式猜測參數 c 的關係為何？

二、 DINA 模式的 1-s-g 參數值與 IRT 模式鑑別度參數 a 的關係為何？

三、 在 DINA 模式下，Q 矩陣與結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣估計成效差 異為何？

四、 在 DINA 模式下，Q 矩陣與結合學生知識結構的階層性 Q 矩陣估計成效差 異為何？

五、 結合不同知識結構的階層性 Q 矩陣估計成效差異為何？

第四節 第四節 第四節

第四節 名詞解釋 名詞解釋 名詞解釋 名詞解釋

壹 壹 壹

壹、 、 、認知屬性 、 認知屬性 認知屬性 認知屬性

認知屬性是學生學習「因數與倍數」單元應該學到的基本能力。本研究中以 數學能力指標「5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數」為依據，由學科專 家及國小教師共同討論與分析，訂立13個「因數與倍數」單元的認知屬性。

貳 貳 貳

貳、 、 、專家知識結構 、 專家知識結構 專家知識結構 專家知識結構

由具備課程知識的專家，根據課程內容分析，細分出學生應該學習的認知屬 性，並依照教學的順序及認知屬性的難易程度加以排序，編製出認知屬性間具有 上下位關係的專家知識結構圖，作為編製試題的依據。

叄 叄 叄

叄、 、 、學生知識結構 、 學生知識結構 學生知識結構 學生知識結構

進行診斷測驗，收集受試者作答反應資料，利用軟體產生依照學生作答情形 配合順序理論進行估計而得的知識結構，即學生實際學習的認知屬性難易程度的 排序。

肆 肆

肆 肆、 、 、Q 矩陣 、 矩陣 矩陣 矩陣

根據認知屬性與試題間的關係，編製出試題對應認知屬性的 Q 矩陣，矩陣中

「1」代表該題有測量到該認知屬性，「0」則代表該題沒有測量到該認知屬性，

僅就試題是否有測到該認知屬性而編寫。

伍 伍

伍 伍、 、 、階層性 、 階層性 階層性 階層性 Q 矩陣 矩陣 矩陣 矩陣

本研究使用的階層性 Q 矩陣有二：

一、 結合專家依據教學順序編製成的知識結構，將認知屬性的上下位關係融入 Q 矩陣中，編製成結合專家知識結構的階層性 Q 矩陣。

二、 利用學生結構演算法（劉育隆，2012），根據學生知識結構中認知屬性的難 易程度，將認知屬性的難易順序融入 Q 矩陣中，編製成結合學生知識結構 的階層性 Q 矩陣。

陸 陸

陸 陸、 、 、辨識率 、 辨識率 辨識率 辨識率

辨識率是指受試者的認知屬性狀態，在認知診斷模式的估計是否與專家判定 的結果一致，辨識率愈高，其估計的結果愈準確。

第 第 第

第五 五 五節 五 節 節 研究範圍與限制 節 研究範圍與限制 研究範圍與限制 研究範圍與限制

壹 壹 壹

壹、 、 、研究範圍 、 研究範圍 研究範圍 研究範圍

本研究配合 92 年版數學能力指標 5-n-03，內容僅討論因數、倍數、公因數 與公倍數，不考慮其他課程綱要內容，且研究對象只限於國小五年級學童且已學 習完因數與倍數單元，六年級課程的最大公因數、最小公倍數、質數及合數則不 在討論之列。

貳 貳 貳

貳、 、 、研究限制 、 研究限制 研究限制 研究限制

本研究受試樣本來自於臺北市、南投縣、彰化縣、高雄縣與金門縣等五個縣 市，有效樣本為 322 人，由於時間與人力的限制，無法將本研究的範圍及受試人 數擴大，因此研究的結果不宜推論至全國五年級的學童。

第二章

由教材地位圖可發現，學習「因數與倍數」需要先具備乘除的基礎認知屬 性，而且「因數與倍數」是學習「分數擴分與約分」的重要先備知識。

茲就因數與倍數的概念意義分析如下：

一、因數的意義

因數的了解與找法，可經由小正方形排列長方形的方式，要求兒童要剛好分 完而且每一排要一樣多，引導兒童應用各種排列方式，找出所有可能的長方形。

方法有二：使用除法解決剛好分完的情況，知道沒有餘數來認識整除，並繼續完 成所有整除的算式，從中找出所要認識的因數，意即在整除的算式「被除數÷除 數＝商」中，瞭解除數和商都是被除數的因數；或用乘法探討一排幾個可排成幾 排，給定的總數利用兩數相乘的方式來合成，以此建立因數的概念。

二、倍數的意義

在學生先備經驗中，已經學過「倍」的意義，倍數的找法就是利用乘以正整 數的方式來計算，得到積為乘數和被乘數的倍數；或是由整除的算式「被除數÷

除數＝商」中，瞭解被除數是除數和商的倍數。再經由活動瞭解，一個整數最小 的倍數是該數本身，而且一個整數的倍數有無限多個。

三、公因數的意義

公因數是以探討一個指定整數有哪些因數為基礎，可以繼續探討 2 個或 2 個 以上整數有哪些相同的因數，而這些相同的因數就叫做公因數。意即當一個整數 是甲的因數，同時也是乙的因數時，這個整數就是甲數和乙數的公因數，而且 2 個或 2 個以上的整數的公因數中，必定存在且最小的是 1。

四、公倍數的意義

公倍數找法與公因數相似，是以探討一個指定整數有哪些倍數為基礎，可以 繼續探討 2 個或 2 個以上整數有哪些相同的倍數，而這些相同的倍數就叫做公倍 數。但是因為倍數有無限多個，因此在找公倍數時，會指定在某一數量範圍，由 小到大列出。

貳 貳 貳

貳 、 、 、 、各版本教材比較 各版本教材比較 各版本教材比較 各版本教材比較

目前各校使用的數學教材版本不同，主要有南一版（2011）、康軒版（2011）、

翰林版（2011）及部編版（2011）等四個版本，針對這四個版本中關於因數與倍 數單元的教學內容順序，彙整如表 2-1-1。

表 2-1-1 各版本因數與倍數教學內容順序 南一版 五上 第 2 單元 因數與倍數

1.整除的意義 →→→ 2.因數的意義及找法 →→ →→ 3.公因數的意義及應用 →→ →→→ 4.倍數的意義及找法 →→→→ 5.公倍數的意義及應用 →→→→ 6.因數和倍數的關係 康軒版 五上 第 2 單元 因數與倍數

1.認識整除 →→→→ 2.認識因數 →→→→ 3.找公因數 →→→→ 4.認識倍數 →→→ 5.判別 2、5、→ 3 及 10 的倍數 →→→ 6.找公倍數 →

翰林版 五上 第 3 單元 公倍數與公因數

1.認識倍數 →→→→ 2.認識公倍數 →→→ 3.認識因數 →→ →→→ 4.認識公因數 →→→→ 5.因數 和倍數的關係 →→→→ 6.判別 2、5、10 的倍數

部編版 五上 第 3 單元 倍數與因數

1.認識倍數 →→→→ 2.認識公倍數 →→→ 3.認識因數 →→ →→→ 4.認識公因數

比較各版本課程教學順序：南一版和康軒版相同處是從引發學生先備知識－整 除的概念開始，再依序介紹因數、公因數，接著才介紹倍數與公倍數，兩者相異 處在於南一版最後介紹因數與倍數之間的關係，而康軒版則加上判別 2、3、5 和 10 的倍數規律；翰林版和部編版則是由學生較熟悉的倍數開始，再介紹公倍數，

接著才介紹因數、公因數的概念，兩者差異在於翰林版加入因數和倍數的關係，

以及如何判別 2、5、10 的倍數。

針對各版本因數、倍數、公因數與公倍數概念的教學方式，彙整如表 2-1-2：

表 2-1-2 各版本因數與倍數教學方式

（接續上頁）

6×3＝18，6 元的 3 倍是 18 元；6×4＝24，6 元的 4 倍是 24 元。

18 和 24 是 6 的倍數。

翰林翰林

翰林翰林版版版版：：：經由乘法的整數倍，認識倍數 ： 佈題

佈題 佈題

佈題：：：：一盒巧克力有 4 顆，2 盒巧克力有幾顆？3 盒有幾顆？

4 的 1 倍是 4，4 的 2 倍是 8，4 的 3 倍是 12；所以 2 盒巧克力有 8 顆，3 盒巧克力有 12 顆。4、8、12 都是 4 的倍數。

部編版部編版

部編版部編版：：：經由乘法的整數倍，認識倍數 ： 佈題

佈題 佈題

佈題：：：：12＝12×1、12 是 12 的 1 倍；24＝12×2、24 是 12 的 2 倍；

36＝12×3、36 是 12 的 3 倍。

因此 12、24、36 稱為 12 的倍數。

公因數教公因數教公因數教

公因數教學學學（各版本皆同）：學 ：：：直接列出 2 個整數的所有因數，找出數列中相同 的數，即為 2 個整數共同的因數。

公倍數教學 公倍數教學公倍數教學

公倍數教學（各版本皆同）：：：：由小到大，分別列出 2 個整數的倍數數列，找出 數列中相同的數，即為 2 個整數共同的倍數。

比較各版本課程內容：在介紹因數時，南一版和部編版都是以乘法的方式合 成整數，來認識一個數的因數，但是南一版會先以實際操作的方式，再利用乘法 算式記錄過程導出因數概念，而部編版則是直接列出所有的乘法算式，再介紹這 些數稱為該整數的因數；康軒版和翰林版都是以人數分組為例題，從除法算式中 發現，當餘數為 0 時，除數即為被除數的因數，並依序找出一個整數所有的因數。

而倍數、公因數與公倍數的概念介紹，在各版本教材的介紹並無太大的差異。

根據上述的討論與分析，本研究統整各版本的教學內容編製因數與倍數的認 知屬性，並結合各版本教學順序編製成專家知識結構。

叁 叁 叁

叁 、 、 、 、相關研究 相關研究 相關研究 相關研究

本研究分析因數與倍數的相關研究，大致分為兩部分討論：第一部分是因數 與倍數概念的統整，第二部分是解題策略與迷思概念。

一、 因數與倍數概念

林佩如（2002）分析五年級因數與倍數教材，提出因數與公因數的概念應包 括：因數的意義、如何找因數、解決因數的應用問題、認識只有兩個因數的整數 (質數)、公因數的意義、找兩個（或兩個以上）整數的公因數、解決公因數的應 用問題、找兩個（或兩個以上）整數的公因數，再找出最大公因數。

邱慧珍（2002）分析五年級因數與倍數教材，提出倍數與公倍數的概念包括：

倍數的意義、倍數的運算、倍數的應用問題、公倍數的意義、找兩個（或兩個以 上）整數的公倍數、解決公倍數的應用問題、最小公倍數的意義、找兩個（或兩 個以上）整數的公倍數，再找出最小公倍數。

吳育楨(2008)討論國小六年級因數與倍數教學內容，分析出因數與倍數概念 包括：因數、倍數、公因數、公倍數、質數、合數和互質的意義；找出某數的全 部因數或數個倍數；利用列舉法找出兩個數的公因數或公倍數；利用列舉法、質 因數與短除法找出兩個數的最大公因數或最小公倍數；解決因數與倍數相關的應 用問題。

劉伊祝（2008）分析五年級因數與倍數單元，提出因數與倍數的概念包括：

藉由整除瞭解因數的意義、利用整除找出某數的因數、解決因數的應用問題、公 因數的意義、察覺 1 是任意正整數的公因數、找出兩個數的所有公因數、解決公 因數的應用問題、透過乘法問題瞭解倍數的意義、找出某數的倍數及覺察倍數有 無限多個、判定 2、3、5 的倍數、解決倍數的應用問題、瞭解公倍數的意義、找 出給定範圍內的所有公倍數、解決公倍數的應用問題。

除了因數與倍數的概念，部分學者還提出「因數與倍數之間的關係」概念，

分述如下：

林珮如（2002）提出因數與倍數之間的關係，是透過除法或乘法原理找出因

林珮如（2002）提出因數與倍數之間的關係，是透過除法或乘法原理找出因