第一章 緒論
第一節 研究動機
第一章 第一章
第一章 緒論 緒論 緒論 緒論
本研究針對國小九年一貫數學能力指標五年級的分年細目「5-n-03 能理解因 數、倍數、公因數與公倍數」為研究範圍，探討不同的 Q 矩陣設計在 DINA 模式 下估計之成效。本章分為四節，第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節 為名詞解釋，第四節為研究範圍與限制。
第一節 第一節 第一節
第一節 研究動機 研究動機 研究動機 研究動機
九年一貫課程綱要將數學分為「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機 率」四個主題，在「數與量」中與因數倍數相關的能力指標為「N-2-04 能理解因 數、倍數、公因數與公倍數」、「N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解」、
「N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成 最簡分數」，根據主題能力指標並依年級細分後，五年級的分年細目「5-n-03 能 理解因數、倍數、公因數與公倍數」，主要內容是讓學生初步認識因數與倍數的 概念，並且解決因數與倍數相關的簡單計算及應用問題。
在國小數學課程中，五年級是學習內容的一大分野，特別是上學期「因數與 倍數」單元，由於名詞過於抽象且容易混淆，常造成教師教學與學生學習的困擾，
尤其研究者在教學現場發現，五年級學生「倍數」的學習成效比「因數」的學習 成效高，原因是學生的先備經驗中已學習到「幾的幾倍」的倍數概念，所以對於 倍數及公倍數的學習並沒有太大困難；然而，「因數」是一個完全陌生且抽象的 概念，學生很難從除法算式中發現因數，就只能以死記死背的方式找因數，但是 當學生不能完全理解因數的概念時，就很容易與倍數概念混淆，或是在進行除法 找因數時，將不能整除的數也當成該數的因數之一，造成找出所有因數時有缺 漏，甚至因為不能理解題意而無法解決因數及公因數相關的應用問題。當學生在
因數概念內容的理解遭遇困難，對於後續「認識與計算公因數」、「瞭解因數與 倍數的關係」等學習也會造成影響。
目前因數與倍數的研究大多以成就測驗為主，較缺乏學生對概念內容理解過 程與補救教學的資訊，因此本研究將編製一份診斷測驗進行 DINA 模式分析，藉 以瞭解學生在因數與倍數單元的概念理解過程與學習狀況，並將學生作答資料進 行試題反應理論(item response theory，IRT)中三參數分析，探究 DINA 模式與 IRT 模式參數值的相關性。
Nichols(1994)發展認知診斷評量(cognitively diagnostic assessment, CDA)主要 討論受試者潛在的特質與作答反應的關係。de la Torre (2009a)研究指出，認知診 斷模式(cognitive diagnosis models, CDMs)其分數型態能有效測量受試者的學習狀 態。Tatsuoka(1985)提出認知診斷評量模式使用時，必須依據測驗目的建立所要評 量的認知屬性，再考量屬性的難易度與相似程度組合成試題，並藉由關聯矩陣 (incidence matrix），通常以 Q 矩陣呈現每個試題對應到的認知屬性。施測者可藉 由受試者的試題反應組型與 Q 矩陣，推估受試者具備或缺乏哪些認知屬性，藉以 瞭解受試者的學習狀況，並進行補救教學(de la Torre,2008)。目前認知診斷模式 中，DINA 模式(deterministic inputs, noisy "and" gate model)採用較簡單的模式定 義，因此常被應用在認知診斷測驗的參數估計或測驗組卷方面。
在認知診斷測驗中 Q 矩陣佔有重要地位，國內外學者對 Q 矩陣設計的研究 如下：Rupp& Templin (2008)在研究中探討使用不適配的 Q 矩陣的結果；de la Torre& Douglas(2008)設計多重 Q 矩陣藉以模擬不同的解題策略；de la Torre(2009a) 開發驗證 Q 矩陣有效性的方法；王文卿（2010）藉由 Q 矩陣設計比較 DINA 與 G-DINA 模式(generalized DINA model)參數估計的準確性；陳亭宇（2010）藉由 不同認知屬性分布的 Q 矩陣設計，探討 DINA 與 G-DINA 模式參數不變性；卓淑 瑜（2011）設計不同 Q 矩陣的平均認知屬性數量，探討以 DINA 模式為基礎的認 知診斷適性測驗的診斷辨識率。
由上述整理發現，目前的研究僅考量認知屬性的分布或平均測量數量，較少 涉及認知屬性之間的關係，因此本研究將編製結合知識結構的 Q 矩陣，利用實徵 資料來驗證結合知識結構的 Q 矩陣設計在 DINA 模式的估計成效。
以知識結構為基礎的相關研究，目前以電腦化適性測驗為主，例如：何政翰
（2004）建製國小數學「擴分約分」及「扇形」兩單元的電腦適性化測驗系統，
加入專家知識結構於編製紙筆測驗及建立補救教學單元；林杰炘(2005)編製以國 小五年級數學「幾何」能力指標為基礎的電腦化適性測驗，加入專家知識結構；
汪端正(2008)以專家知識結構為基礎，編製國小六年級「質數與合數」單元的電 腦化適性測驗；何秀芳（2009）以國小五年級「線對稱圖形」單元為內容，編製 以知識結構為基礎的教學教材、媒體與補救教材教材，並建立結合貝氏網路之電 腦適性診斷測驗；卓淑瑜（2011）提出結合知識結構之認知診斷適性測驗選題法，
探討不同選題法的估計成效。除了電腦化測驗的研究外，Leighton, Gierl& Hunka (2004)提出在認知屬性上加上階層式的架構，在估計受試者認知屬性時就可以減 少屬性組合數。
綜上所述，本研究將在認知屬性上加入專家知識結構以及學生知識結構兩種 階層性架構，並且將兩種階層性架構分別與認知屬性對應試題的 Q 矩陣結合，藉 以比較結合不同知識結構的 Q 矩陣設計參數估計的成效。