第三章 研究方法
第二節 估計方法
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非條件機率的加總表示。將由 m-L 間銀行當中取出 r 間銀行之組合個數定義為 N，
而各種組合則是以𝐴1(𝑟), 𝐴2(𝑟), ⋯ , 𝐴𝑁(𝑟)表示，如此利用排容原理即可將∆𝑃𝑆∣(𝐿,𝑚−𝐿)(𝑟)整 理如下：
∆𝑃𝑆∣(𝐿,𝑚−𝐿)(𝑟) ≡𝑃[⋃𝑖1<𝑖2<⋯𝑖𝑟⋂𝑟𝑙=1[𝑋𝑖𝑙 > 𝑄𝑖𝑙(𝑝), 𝑖𝑙 ∉ 𝑆]∣ ⋂𝑖∈𝑆(𝑋𝑖 > 𝑄𝑖(𝑝))] 𝑃[⋃𝑖1<𝑖2<⋯𝑖𝑟⋂𝑟𝑙=1[𝑋𝑖𝑙 > 𝑄𝑖𝑙(𝑝), 𝑖𝑙 ∉ 𝑆]] − 1
= 𝑅1(𝑟)− 𝑅2(𝑟)+ ⋯ + (−1)𝑁−1𝑅𝑁(𝑟)
𝑆1(𝑟)− 𝑆2(𝑟)+ ⋯ + (−1)𝑁−1𝑆𝑁(𝑟) − 1, (4) 其中𝑅1(𝑟) = ∑1≤𝑗≤𝑁𝑃[𝐴𝑗(𝑟)∣ ⋂𝑖∈𝑆(𝑋𝑖 > 𝑄𝑖(𝑝))]、𝑅2(𝑟)= ∑1≤𝑖<𝑗≤𝑁𝑃[𝐴𝑖(𝑟)∩ 𝐴𝑗(𝑟)∣
⋂𝑖∈𝑆(𝑋𝑖 > 𝑄𝑖(𝑝))]、…、𝑅𝑁(𝑟) = 𝑃[⋂𝑁𝑖=1𝐴𝑖(𝑟) ∣ ⋂𝑖∈𝑆(𝑋𝑖 > 𝑄𝑖(𝑝))]分別表示條件於特定 銀行子集 S 陷入危機，有 r 間銀行、(r+1)間銀行、…及(m-L)間銀行陷入危機的機 率；𝑆1(𝑟)= ∑1≤𝑗≤𝑁𝑃[𝐴𝑗(𝑟)]、𝑆2(𝑟)= ∑1≤𝑖<𝑗≤𝑁𝑃[𝐴𝑖(𝑟)∩ 𝐴𝑗(𝑟)]、…、𝑆𝑁(𝑟) = 𝑃[⋂𝑁𝑖=1𝐴𝑖(𝑟)] 則是用來表示 r 間銀行、(r+1)間銀行、…及(m-L)間銀行陷入危機的非條件機率。在 將系統重要性衡量指標拆解為式(4)後，即可利用多變量極值理論分析方法對右式進 行估計。
第二節 估計方法
極值理論分析主要係用於考量一隨機變數極端值的分配情況，而非該隨機變數 的分配。在極值理論下，雖然具有厚尾(fat tailed)的隨機變數可能服從不同的分配，
但在極限之下它們均會收斂至相同分配，因此若使用此法分析股價報酬之下行風 險，便無需事先對股價報酬的分配進行假設。
在將式(4)運用於實證分析時，首先面臨的問題即是如何估計這些多變量的條件 機率與非條件機率。Gravelle and Li (2013)認為雖然式(4)當中的多變量機率分配可以 直接利用參數法(parametric methods)，如最大概似法(maximum likelihood)來進行估 計。但各銀行股價報酬分配非完全相同，若採用參數法估計可能會因參數設定不當 而造成錯誤的模型設定(model misspecification)，連帶也可能影響到後續的假設檢定 與分析，因此他們採用了 Ledford and Tawn (1996)以及 Poon and Tawn (2004)提出的
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部相關性(tail dependence)不同造成。Gravelle and Li (2013)首先將各銀行股價報酬率資料進行轉換，使其具有單位 Pareto 邊際分配(unit Pareto marginal)：
𝑋̃𝑖 = 1
1 − 𝐹𝑋𝑖(𝑋𝑖) , 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚, (5) 其中𝐹𝑋𝑖(∙)為𝑋𝑖的邊際累積分配函數(marginal cumulative distribution function)。但由於 實際的邊際累積分配函數無法得知，故以實證上所使用的分配函數𝑅𝑋𝑖 statistics)。1經過這樣的轉換後，即可將原先式(1)出現的機率改寫為：
P[𝑋1 > 𝑄1(𝑝)] = P[𝑋̃1 > 𝑞] , 𝑞 =1 究係採行此法進行調整，如 Hartmann et al.(2005)及 Straetmans and Chaudhry(2012)。
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接著利用 De Haan et al. (1994)提出的半參數機率估計值(semiparametric
probability estimator)分別對式(8)當中的𝑃[min(𝑍1, 𝑍2) > 𝑞]以及𝑃[𝑍2 > 𝑞]進行估計：
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由上式可知，𝛼̂會因選定的門檻參數𝐾𝑧 𝑧不同而有所改變。若𝐾𝑧設定的太低，則 用於估計尾部指數的極端值過少，雖可降低偏誤(bias)，卻會使變異數(variance)擴 大；相反的，若𝐾𝑧設定過高，估計過程中將會利用到非極端觀察值，獲得的變異數 較小，但估計值卻會產生偏誤。由此可知，𝐾𝑧的選擇涉及偏誤與變異數之間的權 衡，因此要如何選取最適門檻參數在極值理論相關文獻中一直是一項重點。Goldie and Smith (1987)建議選擇𝐾𝑧以最小化漸進均方誤(asymptotic mean-squared error)；
Danielsson and de Vries (1997)以及 Danielsson et al. (2001)則係發展出雙層拔靴重抽法 (double bootstrap)，但要適用此法必須有相當大的樣本數量。2另還有一般較常被人 使用的 Hill Plot 法，該法係將尾部估計值𝜂̂視為門檻值Kz的函數，繪出兩者關係，並 於繪出的𝜂̂穩定區間中選取最適門檻值𝐾𝑧。本文即採用傳統 Hill Plot 法，將尾部指數 設為𝐾𝑧的函數，並於尾部指數穩定區間選擇𝐾𝑧。
2Poon and Tawn (2004)使用 Danielsson and de Vries (1997)的拔靴法估計最適門檻值(𝐾𝑧)，其註記 由 Danielsson and de Vries (1997)與 Danielsson et al. (2001)的模擬結果顯示當樣本數量大於 20,000 筆 時，拔靴法表現較佳，故使用拔靴法需有大量的樣本值。
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