第三章 文獻回顧
3.1 信用風險模型
信用風險模型發展至今，主要可區分成兩類：一、結構式模型（structured form model）；二、縮減式模型（reduced form model）。
結構式模型最早由 Merton (1974)所提出，其所隱含的基本概念，就是當一家 公司的資產價值低於負債價值時，即表示違約事件發生，這種假設也是任何一種 結構式模型的基礎。也因為違約與否和公司價值有關，結構式模型又被稱為公司 價值模型（firm-value model）。結構式模型運用 Black and Scholes 選擇權評價的概 念，將公司價值視為標的物價格，負債面值視為履約價格。假設在 t 時間點時公司 總價值
A t ( )
包含股東權益價值和一到期日為T
之零息債券，面值為K
，則在到期 日T
時之公司價值為：{ ( ) ,0}
Max A T − K
違約時點隨機變數τ
：, if ( ) , ( )
T V t K
V t K τ
= <∞ ≥
Merton 並假設公司價值服從幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion）
( ) ( )
( )
dV t rdt dW t V t = +
σ其中μ 為公司資產之期望報酬率，
σ
為公司價值之波動度，W t ( )
為風險中立下之 標準布朗運動。這種對公司資產變動過程的假設和 Black-Scholes 選擇權評價模式中對股價隨機過 程相同，故可利用選擇權評價模式得出公司價值
A t ( )
在到期日時低於K
的機率，26
即風險中立下之違約機率（risk neutral default probability）
ln ln ( ) (
22)( )
Merton 模型的易於了解，但卻有以下幾項缺點：首先，Merton 模型受限於歐 式選擇權概念，只能在到期日
T
時判斷公司是否違約。若是公司價值在到期日前低 於債券價值，而在到期日時又回復到債券面額之上，則不被視為違約事件，因此 在 Merton 模型下，違約機率有被低估的可能性；另外，將公司負債簡化成零息債 券（zero-coupon bond），也與實際情況不相符。Black and Cox (1976)將 Merton 模型延伸，提出首次通過時間模型（first passing time model ） 來 修 正 Merton 歐 式 選 擇 權 的 限 制 ， 以 向 下 出 局 之 障 礙 選 擇 權
（down-and-out barrier option）來描述公司價值，此時違約事件可發生於到期日前 之任一時點，假設公司價值在到期日前觸及違約門檻（default threshold）則表示違 約，如下圖六所示而違約門檻
H t ( ) = De
−r T t( −)會隨著時間經過而遞增。對於利率設 定亦可套用各種隨機利率模型，放寬 Merton 對利率不變的假設。27
利用反射原理（reflection principle）和布朗運動（Brownian motion）的性質，在到 期日
T
前違約的機率為： events），並且放寬 Merton 對公司債的假設，假設公司債為付息債券，並將付息之 公司債視為一連串的零息債券。Longstaff and Schwartz (1995)結構式模型中加入隨 機利率模型，將利率變動所產生的風險納入信用風險模型中。近期的結構式模型違約發生
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開始納入跳躍過程（jump process），但缺乏解析式可追蹤性（analytic tractability）。
Zhou (2001)在 Longstaff and Schwartz (1995)模型中加入跳躍過程的設定，但模型需 要密集計算（computation intensive）。Huang and Huang (2002)年提出一套具有解析 式可追蹤性而便於應用之跳躍模型，將違約事件可為一 surprise，因為跳躍過程不 可被預期時，股價變動過程不再連續。
縮減式模型最早是由Jarrow and Turnbull (1995)所提出，由於違約事件的發生 符合稀少事件且具有離散可數的特性，滿足卜瓦松分配 (Poisson distribution) 的性 質，因此縮減式模型主要理論建立於卜瓦松過程（Poisson process），並假設違約時 間服從指數分配（exponential distribution）。和結構式模型不同的是縮減式模型不 將違約視為受資產價格決定之模型內生變數，而是假設違約為一外生變數，可利 用違約交換信用利差（CDS spread）反求出違約強度（default intensity）和隱含違 約機率，此種設定的好處在於簡化違約事件，只看違約事件發生與否，忽略造成 違約事件的定義。Jarrow, Lando and Turnbull (1997)以時間同質（time-homogeneous）
的馬可夫鏈（Markov Chain）建立信用評等移轉矩陣，來描述一公司之信用評等之 轉移過程，進行求算不同信用評等所隱含之違約機率。Duffie and Singleton (1999) 放寬Jarrow and Turnbull (1995)對回收率（recovery rate）只發生於到期日之假設，
評價時視風險中立之期望損失率為外生變數，也受到無風險利率的影響。Jarrow and Yu (2001) 則在是開始分析不同公司間信用風險相關性對違約造成的影響，在衡量 個別公司的信用風險時，必須考量因為其他風險相關公司的違約而產生信用風險 跳躍的狀況，以計算不同公司因為自身的信用風險以及與其他公司間之信用風險 相關總和後，所構成該公司特定之信用風險。
3.2 擔保債權憑證（CDO）之評價
在評價擔保債權憑證（Collateralized Debt Obligation）時，最重要的就是合理 描述債權資產間之違約相關係數。Li (2000)將違約相關係數定義為債權資產存活時 間之相關係數，並且利用Gaussian Copula函數將個別公司債權資產之邊際違約機率
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分配轉換成資產群組之聯合違約機率分配。Li 又以債權資產間報酬之相關係數來 取代存活時間相關係數，來簡化分析並且提升Copula函數在信用風險模型之應用價 值。
Vasicek (2002)以具有條件獨立（conditional independence）特性的One Factor Gaussian Copula Model來建立投資組合違約機率分配。在因子模型下，公司資產價 值受到系統因子和個別因子影響，兩兩公司資產價值的相關性為固定值，債權群 組之聯合機率分配之維度由影響資產價值之系統風險因子個數來決定，而非債權 群組中之資產個數。另外，在給定系統風險因子時，個別公司之邊際違約機率分 配是互相獨立的。
由條件獨立假設所發展出的評價模型，一般稱之為半解析式（semi-analytic）
模型，其共同點為應用條件違約機率建構債權群組之條件損失分配（conditional loss distribution ），再對系統因子積分來得到非條件損失分配（ unconditional loss distribution），這類模型包括Laurent and Gregory (2003)、Andersen et al. (2003)和 Hull and White (2004)。Laurent and Gregory (2003)運用了One Factor Approach，配 合Gaussian和Clayton copula建立了聯合機率分配，和Vasicek模型做比較，此模型 放寬了對於資產組合同質性的假設，並在無套利的假設下，用於評價一籃子違約 交換（Basket Default Swaps）和擔保債權憑證（CDO）的公平溢酬（fair spread）。
Hull and White (2004)在條件獨立的假設下，提出兩種近似債權群組損失分配 函數（loss distribution function）的演算方法。第一種方法是利用遞迴法（recursive method），計算出各時點下每個標的資產的違約機率分配來建構損失分配，可用於 評價 CDO 分券，但必須假設債權群組中每個資產擁有相同權重及回復率；第二種 方法為機率倒桶法（probability bucketing method），允許各個債權資產擁有不同的 權重和回復率，先建構條件預期損失之後，再將各條件預期損失對系統因子加以 積分，則可求出非條件損失分配函數（unconditional loss distribution）。
Gill et al. (2004)將結構式模型和蒙地卡羅法（Monte Carlo Simulation）結合來
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模擬投資組合的信用違約機率分配，並利用債權群組公司之評等與 Fitch 所建立之 CDO 違約矩陣求算不同信用評等之違約門檻，此法受到信用評等機構 Fitch 所採用，
又稱 VECTOR 模型。黃裕烈（2006）將 KMV 模型和 Copula 函數做連結，先以結 構式模型法估出個別債權資產之違約機率，再利用 Copula 函數來描述 CDO 債權 資產群組間的違約相關性，在風險中立的架構下，求算 CDO 批次證券的公平溢酬。
3.3 違約回復率（Recovery Rate）之設定
Andersen and Sidenius (2004)首次試圖在 copula model 架構下，將回復率
（recovery rate）由固定水準，更改成會隨系統因子（common factor）改變而變動 的隨機項。Andersen and Sidenius 將回復率設定成為系統因子和債權資產個別因子
（idiosyncratic factor）的函式，數值介於 0 到 1 之間。此模型考慮了違約機率和回 復率，透過系統因子聯結產生之相共相關性（codependence），並視此為導致極端 損失情形的重要因子。然而，Andersen and Sidenius 的模型設定過於一般化且未明 確探討回復率和系統因子的對應關係（mapping）。
Martin Krekel (2008)延伸 standard Gaussian copula model，設定回復率為外生給 定（exogenously specified），不由系統因子水準來決定。Krekel 模型要求外生給定 一回復率之分配，但必須滿足單一契約信用違約交換的評價條件，亦即對於任一 給定之回復率分配，其期望值需等於 40%，舉例如下表所示。
表格 六、Krekel’s model 回復率設定
回復率分配
回復率 機率 回復率
×
機率60% 40% 24%
40% 30% 12%
20% 20% 4%
0% 10% 0%
期望值 40%
Krekel 模型主要的缺點在於回復率可設定成任意型態，這將引入更多參數至
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模型中，在校正參數上將更困難。
Amraoui and Hitier (2008)將回復率設定成系統因子確定函數（deterministic function），將個別債權資產之回復率範圍界定在 100%和設定之最小水準之間，並 受系統因子及違約相關性所影響。和 Krekel model 相同，亦要求回復率之期望值 需等於 40%，才能和傳統 Single Name CDS 評價一致。
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第四章 模型介紹
在本章節，首先介紹 Factor Copula Model。Factor Copula Model 屬靜態模型
（static model）之一種，假設單一債權資產的價值為一隨機變數，並同時由兩種因 子所影響：系統因子（common factor）和債權資產個別因子（idiosyncratic factor），
當資產價值低於違約門檻（Default Threshold），即表示違約事件發生，因此資產價 值又稱之為違約（代理）變數（Default Driver or Default Latent Variable），一般式 表示如下：
i
1
ix =
ρZ + −
ρε其中
x
i為債權資產i
之違約變數，亦可解釋為資產價格Z
代表系統因子，Z ~ N (0,1)
ε 表示債權資產個別因子，i εiiid
~ N (0,1) Z
和ε 是互相獨立的 iρ 表示兩兩債權資產間之相關係數，範圍在[-1, 1]之間
對於一債權資產群組，其兩兩資產間之違約相關性則由個別資產價值和系統 因子之相關性來連結，在給定系統因子水準時，債權資產間之違約事件視為獨立。
對於違約變數、系統因子及個別因子分配假設的不同，則有不同 Factor Copula 之 型態。目前較常用的 Factor Model 有以下幾種型式：
Gaussian Copula model;
Student-t copula;
Random factor loading (RFL) model;
Exponential model;
Logistic model;
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Variance Gamma (VG) model;
Inverse Gaussian (IG) model;
Normal Inverse Gaussian model
目 前 仍 以 Gaussian Copula model 最 為 業 界 常 用 ， 主 要 原 因 是 Gaussian distribution 下處理違約機率分配相當方便快速，缺點為無法捕捉厚尾（fat-tail）的 現象，導致模型本身可能低估極端事件發生的可能性。改善此現象最方便的方法 改變對系統因分配的假設，如 Student-t、Gamma 或是 Normal Inverse Gaussian 等 來取代 Gaussian 分配之假設，本研究即試圖運用 Gaussian Copula 及 Student-t Copula
目 前 仍 以 Gaussian Copula model 最 為 業 界 常 用 ， 主 要 原 因 是 Gaussian distribution 下處理違約機率分配相當方便快速，缺點為無法捕捉厚尾（fat-tail）的 現象，導致模型本身可能低估極端事件發生的可能性。改善此現象最方便的方法 改變對系統因分配的假設，如 Student-t、Gamma 或是 Normal Inverse Gaussian 等 來取代 Gaussian 分配之假設，本研究即試圖運用 Gaussian Copula 及 Student-t Copula