第五章 實證分析
5.1 模型評價比較
第五章 實證分析
本章節一開始將利用 Copula Model，配合 Gaussian 及 Student-t distribtution 假 設下，來評價合成型擔保債權憑證，並比較兩種分配下結果之不同，另外也將調 整 Student-t 分配之自由度和 A-H model 之回復率下界來分析結果之差異。
接下來，將利用市場上標準信用指數各批次證券之報價資訊來回推 Base correlation，探討在不同 factor model 下 Base correlation 的差異，是否能改善 correlation skew 的情況，亦或能有效降低各批次證券 base correlation 之水準，以減 少無法評價客製化批次證券（bespoke tranche）之情況發生。
5.1 模型評價比較
首先比較在不同違約相關係數設定下，不同 Copula 模型之評價結果，以探討 模型之特性。本研究選用以下三種 Copula 模型來做比較：
1. One Factor Gaussian Copula (OFGC) 2. Amaraoui-Hitier Model (A-H)
3. Amaraoui-Hitier Model + Student-t Copula10 (A-H+T) 表格八、評價資料
商品名稱 CDX NA IG9 5 years
評價日 2008/6/27
到期日 2012/12/20
指數信用利差(Spread) 148bp11
傳統模型違約回復率( R ) 40%
A-H Model 違約回復率下界(
R
min)0%
每年付息次數 4
無風險利率 1.5%
10
方法 3 建立於 Amaraoui and Hitier (2008)之模型架構下，唯將 Gaussian 分配之假設以 Student-t 假設來取代，簡記為 A-H + T。
11
bp 為 basis point 之縮寫，代表 0.01%。
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表格九、不同 Factor Copula 模型評價結果（ρ
= 30%, 0% R
min=
）批次證券
模型 [0, 3%] [3, 7%] [7, 10%] [10, 15%] [15, 30%] [30, 100%]
OFGC 64.38%12 1304.59 682.08 364.88 98.71 1.86 A-H 58.27% 1141.66 630.91 372.89 129.61 6.84 A-H+T(3) 33.18% 808.12 553.75 398.56 207.82 26.30 A-H+T(6) 44.17% 940.19 590.45 393.63 177.42 16.56 A-H+T(10) 49.42% 1010.78 606.82 388.13 161.22 12.59 A-H+T(30) 55.18% 1097.09 624.08 379.01 141.59 8.69
表格十、不同 Factor Copula 模型評價結果（ρ
= 60%, 0% R
min=
）批次證券
模型 [0, 3%] [3, 7%] [7, 10%] [10, 15%] [15, 30%] [30, 100%]
OFGC 35.72% 854.51 586.91 418.55 213.16 17.98 A-H 27.61% 696.50 492.19 365.95 209.78 38.25 A-H+T(3) 15.34% 555.43 424.75 339.97 223.50 57.59 A-H+T(6) 20.93% 618.60 455.26 352.83 218.51 48.56 A-H+T(10) 23.51% 649.16 469.64 358.66 215.94 44.61 A-H+T(30) 26.25% 683.00 485.26 364.73 212.82 40.46 由表格九及十可以發現，A-H Model 將回復率改變成為和受系統因子影響之隨 機項，使[10, 15%]、[15, 30%]及[30, 100%]之公平溢酬大於傳統 One Factor Gaussian Copula（OFGC）所評價出來之結果，無論在高及低相關係數之設定下，這表示 A-H Model 能夠改善 Gaussian Copula 無法描述極端損失之情形；在 A-H Model 下 加入 Student-t 分配，更加重對極端損失之衡量。另外，Student-t 之自由度越大，
評價結果則越來越靠近 Gaussian 分配下之 A-H Model，符合統計上 Student-t 分配 在自由度越來大時，其分配將越來越近似常態（Gaussian）之結論。
接下來，我們將比較在不同回復率下界
R
min之設定下，各種模型之評價結果。
12
[0, 3%]權益證券為公平溢酬為首次支付費用（Up-front Fee）
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表格十一、不同 Copula 模型評價結果（ρ
= 30%, 10% R
min=
）批次證券
模型 [0, 3%] [3, 7%] [7, 10%] [10, 15%] [15, 30%] [30, 100%]
OFGC 60.07% 1201.53 657.48 382.04 129.10 5.86 A-H 59.48% 1173.31 640.05 372.41 124.40 5.61 A-H+T(3) 36.67% 840.94 565.57 398.77 197.10 20.30 A-H+T(6) 46.45% 976.93 604.69 396.35 170.85 13.50 A-H+T(10) 51.36% 1043.97 618.45 389.16 154.64 10.20 A-H+T(30) 56.67% 1125.15 632.90 378.64 135.53 7.10
表格十二、不同 Copula 模型評價結果（ρ
= 30%, 20% R
min=
）批次證券
模型 [0, 3%] [3, 7%] [7, 10%] [10, 15%] [15, 30%] [30, 100%]
OFGC 61.31% 1230.14 666.59 379.54 120.99 4.51 A-H 60.84% 1211.48 650.07 371.18 117.97 4.33 A-H+T(3) 38.87% 895.05 590.65 407.58 190.54 15.80 A-H+T(6) 49.00% 1025.43 623.50 400.08 162.88 10.40 A-H+T(10) 53.52% 1088.67 634.33 391.02 146.77 7.90 A-H+T(30) 58.34% 1164.43 645.63 378.89 128.31 5.50 綜觀表格九、十一及十二，可得改變回復率下界（相關係數固定為 30%）之 各批次證券評價結果如下：
1. 在任何 A-H 架構下之評價模型，[0, 3%]、[3, 7%]、[7, 10%]批次證券之公平溢 酬皆和回復率下界成正向關係，當回復率下界上升，公平溢酬上升（見圖 15、
16、17）；而[15, 30%]及以上之優先批次證券之公平溢酬則和回復率下界成反 向關係，當回復率下界上升，公平溢酬則下降。（見圖 19、20）。
2. [10, 15%]批次證券對於回復率下界之改變不敏感，而 T 分配當自由度大於 3 時，
此順位批次證券之公平溢酬有時隨回復率下界上升而增加，有時下降。（圖 18）
3. 當 A-H Model 之回復率下界設定為 40%時，各批次證券評價結果和 One Factor Gaussian Copula 相同，表示 A-H Model 可收斂至 OFGC，當回復率下界設為 40
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Upfront fee
Lower Bound of Recovery Rate
Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
400.00
Lower Bound of Recovery Rate Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
55
Lower Bound of Recovery Rate
Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
350.00
Lower Bound of Recovery Rate Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
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圖十九、[15, 30%]在不同回復率設定下各模型評價結果(
ρ = 30%
)圖二十、[30, 100%]在不同回復率設定下各模型評價結果(
ρ = 30%
)接下來比較在不同相關係數下，各種模型之評價結果。結果發現當相關係數 提高時，[0, 3%]及[3, 7%]批次證券不論在何種模型下，公平信用利差皆為遞減，
這是因為提高相關係數，債權資產同時違約及不違約的機率增加，使原風險較高
75.00 95.00 115.00 135.00 155.00 175.00 195.00 215.00
0% 10% 20% 30% 40%
Spread
Lower Bound of Recovery Rate
Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00
0% 10% 20% 30% 40%
Spread
Lower Bound of Recovery Rate Amaraoui-Hitier A-H+T(3) A-H+T(6)
A-H+T(10) A-H+T(30) OFGC
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之權益證券及次順位證券違約損失期望值降低，優先受償證券損失期望值增加；
而[30, 100%]之公平價差則因相關係數增加，使極端損失情況增加，故公平信用利 差上升；[7, 10%]批次證券在 A-H 加入 T 分配下，公平信用利差隨相關係數上升而 下降，而 OFGC 和 A-H 模型下則先升後降；[10, 15%]、[15, 30%]兩批次證券公平 溢酬亦先升後降，不同處為 A-H+T 模型之評價結果相對較穩定，且公平信用利差 最高時所對應的相關係數，隨模型可描述極端損失之程度增加而下降。這是因為 若模型分配本身無法捕捉極端損失，則僅能透過提高相關係數來描述厚尾情況。[10, 15%]及[15, 30%]兩批次證券在中相關係數水準時風險最大，相關係數過高（極端 損失增加），風險移至優先證券；相關係數過低，風險轉至權益證券及次順位批次 證券承受。A-H+T 模型本身最能捕捉極端損失，故相關係數水準最低；反之，OFGC 最無法捕捉極端損失，故相關係數最高。
圖二十一、[0, 3%]不同相關係數下各模型評價結果
-10.00%
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Upfront fee
ρ
OFGC Amaraoui-Hitier A-H+T(6)
58
圖二十二、[3, 7%] 不同相關係數下各模型評價結果
圖二十三、[7, 10%] 不同相關係數下各模型評價結果
0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Spread
ρ
OFGC Amaraoui-Hitier A-H+T(6)
0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 500.00 600.00 700.00 800.00
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Spread
ρ
OFGC Amaraoui-Hitier A-H+T(6)
59
圖二十四、[10, 15%] 不同相關係數下各模型評價結果
圖二十五、[15, 30%] 不同相關係數下各模型評價結果
0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00 450.00
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Spread
ρ
OFGC Amaraoui-Hitier A-H+T(6)
0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
Spread
ρ
OFGC Amaraoui-Hitier A-H+T(6)
60
圖二十六、[30, 100%]不同相關係數下各模型評價結果