傳統的啟發式解法

傳統求解VRP 的啟發式解法可約略分成兩階段來討論，其一為構建法(Construction Methods)，另一則為改善法(Improvement Methods)。

(一) 構建法：

構建法為最初所發展的啟發式解法，目的在於根據一套特定的規則，從無到有逐步 地將所有的顧客點插入路線中，完成一個可行解。因此，構建法包含了三個要件：起始 準 則(Initialization Criterion) 、 選 擇 準 則 (Selection Criterion) 與 插 入 準 則 (Insertion Criterion)。選擇準則為選擇欲插入顧客點的依據，插入準則決定了插入的位置(Cordeau et al. [13])。構建法又可進一步細分為循序(Sequential)與平行兩種(Parallel)。循序法將ㄧ條 路線構建完成之後才跳至另一條路線，平行法在插入顧客點時同時考慮了一條以上的路 線。 在各種構建法中，最常被使用的方法為節省法(Savings Methods)與插入法(Insertion Methods)。

節省法由Clarke and Wright[9]所提出，其概念如圖 2.2 所示，先計算出所有的顧客 點對( k

i

, )之節省值(

S )；節省值公式為

_ik (i,0)、( k 兩條節線之成本減去0, ) ( k

i

, )之成本，

其意涵為合併 i 與

k

兩節點所能減少的路線成本。接著依據節省值大小進行排序，得到 節省值列(Saving List)。選擇節省值最大者，如圖 2.2 方式優先進行合併，其過程仍需在 不違反車輛容量限制下進行。由此可知，節省法本質上為平行法，同時考慮了多條路線

最遠插入（Farthest Insertion）、最省插入（Cheapest Insertion）、最快插入（Quick Insertion）、 任意插入（Random Insertion）等多種修正方法。詳細內容可參考 Bodin et al. [6] 或 Cordeau et al. [13]之整理。

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VRP 路線改善的方法通常可約略分成節線交換(Arc Exchange)與節點交換（Node Exchange）兩種類型。節線交換法中，K-Opt 節線交換法為常用的交換法，由 Lin[28]

於 1965 年提出，K 表示為每次交換的節線數，且節線間互不相鄰。K 值愈大，可行的 節線交換，如Tarantilis et al. [38]所採用的方式。如圖 2.4(b)所示，可看出路線間的 2-Opt 交換，是以不同的兩路線各抽出一條節線，再分別插入一條節線，完成兩條新的路線。

資料來源：Tarantilis et al. [38]

由於2-Opt 與 3-Opt 的交換方式都會造成某些節線產生需要反轉的情況，造成計算 上的負擔，Or[32]便提出了 Or-Opt 節線交換法，被視為是一種 3-Opt 的變形，它可將某 一節點、某一段節線、或某兩段節線自路線抽出，再插入至其他節線之間。如圖2.5 所 示。(

i

,

i

+1)、(

j

,

j

+1)與(

k

,

k

+1)三條節線被斷開，而以(

i

,

j

+1)、(

k

,

j

)與(

i

+ k1, +1)三 條節線替代，重新連成一條迴路。可看到(

i

+1,

j

)這段節線從路線中被抽出，接著再插

8

資料來源：Tarantilis et al. [38]

Osman[33]將 1-0 交換法稱為一個轉移過程(Shift Process)，而將 1-1、1-2 稱之為 λ-interchange，λ 表示了牽涉到的節點數。圖 2.7 為 1-1 交換法的解題概念：原本屬於路 線A 的 i 點與路線 B 的 j 點，先從原有路線斷開後，再分別重新插入彼此之前的位置。

1-0、1-1 節點交換亦可允許在同一條路線內發生，而不限定為不同路線，如 Tarantilis et al. [38]所採用的方式。

資料來源：Tarantilis et al. [38]

1-2 交換法的解題概念如圖 2.8 所示，原本屬於路線 B 的 s 點插入了路線 A；路線 A 的j 點與路線 B 的 i 點則互相交換，分別插入了彼此之前的位置。

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另外，由Gendreau et al. [21]於 1992 年提出一般化插入/解繫法(Generalized Insertion/

Unstring and String, GENIUS)求解 TSP 問題，它包含了 GENI 與 US 兩部分，GENI 可用 作一起始解構建的方法，US 則可作為路線改善的方法，其內容如下小節詳述。

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GENI 的演算法如下所述：

步驟 1. 任意選擇 3 點構建起始路線，初始化所有節點的 P-neighborhood。

步驟 2. 選擇尚未在路線內的任一點，需考慮路線的方向，與兩種形式的插入法。選 出其中具有最小成本的方式插入。最後更新P-neighborhood。

步驟 3. 所有的點都在路線中，則停止。否則重複步驟 2。

Gendreau et al. [21]亦利用此模組發展出一套路線改善的方法。即所謂的解繫法 (US)。與一般交換法不同的是，解繫法的概念共有兩個階段：其一為將一個節點移出現 有的路線，稱為Unstring；再以前述之 GENI 演算法插入此路線，稱為 String。Unstring 可視為GENI 方法的反轉(reverse-GENI)，因此亦有 Type I 和 Type II 兩種形式。如下所 述：

Type I Unstring 如圖 2.11 所示，在

v

i被移出路線後，其上游點

v

_i−1和下游點

v

_i+1分別 找到了

v

_k與

v

j相連，

v

_k與

v

j的下游點

v

_k+1、

v

j+₁再連起來，重新形成一條路線。從圖中 可看出 Type I Unstring 是將 Type I Insertion 的插入步驟顛倒過來。同樣地，Type II Unstring 也是顛倒 Type II Insertion 的步驟，如圖 2.12 所示。

圖2.11 Type I Unstring 之示意圖

資料來源：Gendreau et al. [21]

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圖2.12 Type II Unstring 之示意圖

資料來源：Gendreau et al. [21]

而解繫法詳細的執行步驟則可如下所述：

步驟 1. 現有路線τ 的成本為 z ，設定τ :=τ ， *

* z := z ，以及計數器 t := 1

步驟 2. 對

v

t而言，進行Unstring 和 String，同樣地需考慮路線的方向，與兩種形式的 操作。選擇其中具有最小成本

z 的路線

^'

τ

^'，並使τ

^{: =}

^τ

^'

^，

^{z : z = '}

^。

若

z

<

z

*，則τ :=

*

τ ， *

' z := ' z ，以及 t := 1；重複步驟 2。

若

z

≥

z

*，設定t := t +1。

若t = n+1，停止，並回報τ 和成本 *

* z ，否則重複步驟 2。

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2.2.3 巨集啟發式解法

由於傳統的啟發式解法，必須找到優於所紀錄最佳解的解，才允許更新，因此在執 行上容易掉入局部的最佳解。為了克服此缺點，後續的趨勢逐漸演變成以高階的策略作 為指引，結合傳統的啟發式解法，來跳脫出局部最佳解的束縛，形成巨集啟發式解法的 架構。

巨集啟發式方法發展至今，已演變出許多解題概念不盡相同的方法。較為著名的方 法諸如：禁制搜尋法(Tabu Search, TS)、基因演算法（Genetic Algorithm, GA）、類神經網 路（Neural Network）、螞蟻演算法(Ant Colony Optimization, ACO)、模擬鍛鍊法(Simulated Annealing, SA)等不一而足。

卓裕仁[2]曾整理多種巨集啟發式解法包含的解題策略與觀念，而歸納出數種基本類 型。如表2.1 所示。這些巨集啟發式解法除了上述之巨集啟發式解法，還包括：門檻接 受法（Threshold Accepting, TA）、大洪水法（Great Deluge Algorithm, GDA）、紀錄更新 法（Record-to-Record Travel, RRT）、變動鄰域搜尋法（Variable Neighborhood Search, VNS）、噪音擾動法（Noising Method, NM）、兩極跳躍法（Flip-Flop, FF）、搜尋空間平 滑法（Search Space Smoothing, SSS）、貪心隨機適應搜尋法(Greedy Random Adaptive Search Procedure, GRASP)，以及分散搜尋法（Scatter Search, SS）等等。其策略解釋如 下：

(1) 接受劣解：可接受劣於現有解之鄰解，以便搜尋過程能夠跳出局部最佳解。

(2) 變換鄰域：於搜尋過程交替更換不同的鄰域搜尋法以產生相異的搜尋空間。

(3) 擾動成本：擾動成本函數以改變解空間，並在擾動後的解空間繼續搜尋。

(4) 多重起點：分別自不同的起點（起始解）進行鄰域搜尋。

(5) 保留資訊：記錄求解過程中之重要資訊，並利用該資訊導引搜尋的方向。

(6) 自我學習：應用人工智慧的方式，讓方法能夠自搜尋過程中累積求解經驗。

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表2.1 多種巨集啟發式解法之解題策略比較

策略解法 接受劣

解 變換鄰域 擾動成

本 多重起點 保留資訊 自我學習

禁制搜尋法

3 3 3 3

模擬鍛鍊法

3

門檻接受法

3

大洪水法

3

紀錄更新法

3

變動鄰域搜尋法

3

噪音擾動法

3

兩極跳躍法

3 3

搜尋空間平滑法

3

跳躍搜尋法

3

貪心隨機適應搜尋

法

3 3

基因演算法

3 3

分散搜尋法

3 3

類神經網路法

3 3

螞蟻演算法

3 3

資料來源：卓裕仁[2]

其中，模擬鍛鍊法（SA）、門檻接受法（TA）、大洪水法（GDA）與紀錄更新法（RRT）

同屬於門檻型演算法，有著類似的解題策略。此類方法之基本觀念乃是在鄰域搜尋陷入 局部最佳解時，鬆綁其接受法則接受劣於現解之鄰解，以便跳脫局部最佳解而能搜尋到 更佳的解。因此，SA、TA、GDA 與 RRT 等方法的執行架構與傳統鄰域搜尋法之架構 相似，差別僅在於使用的接受法則不同：傳統的鄰域搜尋法僅接受較佳的鄰解；門檻型 演算法則可接受暫劣之鄰解。

SA 可說是 TA、GDA、RRT 的概念來源，其基本觀念最早由 Metropolis 等人於 1953 年所提出，然後由Kirkpatrick et al. [26]加以應用到組合最佳化問題之求解上。SA 法的 接受法則為機率性接受暫劣解：利用一個隨機產生的數值與門檻值做比較，此門檻值是 鄰解與現有解之目標值差額及溫度的函數；所謂的「溫度」是做為控制門檻值高低的參 數；降溫則是為了使SA 能夠逐漸收斂(卓裕仁[2 ])。

TA 法的觀念源自於 SA 法，由 Dueck and Scheuer[16]於 1990 年發表，1993 年 Dueck[15]又根據 TA 的觀念衍生出 GDA 與 RRT。此三種方法皆採用確定性的接受法則，

茲以圖2.13 說明其接受法則的異同：傳統之路線改善法採取嚴格的「接受法則」，即當 交換後的可行解之目標值低於原有解時(C(X') < C(Xc)，C(Xc)為現有解 Xc之目標值，C(X') 為鄰解X'的目標值)，才接受此解。但 TA 法所採用的接受法則為C(X' )<C(X_c )+T_k，

T

_k

15

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也無法搜尋可接受的解，使得TA 快速的收斂，無法達到預期的效果。由此可知門檻數 列的設定關係著TA 的求解品質。

(a) (b) (c)

1 K K

T

k

1 K K

T

k

1 K K

T

k

圖2.14 TA 門檻數列遞減型態

資料來源：楊智凱[4]

2.3 可回溯式門檻接受法

可 回 溯 式 門 檻 接 受 法(Backtracking Adaptive Threshold Accepting, BATA) 是 由 Tarantilis et al. [38]所提出的一種改良式門檻接受法。它與傳統的門檻接受法最大的不同 在於門檻數列的型態：以往門檻接受法的門檻數列皆呈現出逐漸遞減的型態。而可回溯 式門檻接受法在完成一次搜尋迴圈之後，若是有找到至少一次的可接受解，即可降低門 檻；反之，則必須放鬆門檻值再進行交換。如此門檻數列的型態，便呈現出有增有減而 逐漸收斂的情形。如圖2.15 所示。

圖2.15 BATA 門檻數列收斂示意圖

資料來源：朱佑旌[1]

而此方法回溯門檻值的機制，是假設在每次進行鄰域搜尋之後，若在期間有至少一 次移動(找到可接受的解)，則減低門檻值；否則即提高門檻值，但不可超過上一次被接 受的門檻值。而其回溯公式為：T_n =T_c +(T_p -T_c )×

b

，其中 Tn 為得到的新門檻值，Tc

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為目前的門檻值，Tp為前一次被接受的門檻值；b 則為門檻回溯的比例值，由此公式可 知b 值不得超過 1，以避免違反上述規定。

可回溯式門檻接受法另一個與傳統門檻接受法的差異，在於停止法則除了達到原先 預定的門檻數列長度之外，當已經連續回溯一個預設次數，卻沒有找到任何一個可接受 的解，即直接停止。

可回溯式門檻接受法應用於組合最佳化問題在文獻上還不多見。Tarantilis et al. [38]

提出此方法時，被設計應用於 HFFVRP (Heterogeneous Fixed Fleet Vehicle Routing Problem)。其後，朱佑旌[1]則以 BATA 方法設計一套兩階段可回溯式門檻接受法 (TBTA)，求解 HVRPBTW (Heterogeneous Fleet Vehicle Routing Problem with Backhauls and Time Windows)。

2.4 小結

目前，巨集啟發式解法所發展的概念可大致歸納為深度搜尋(Intensification Search) 與廣度搜尋(Diversification Search)兩種高階策略。乃是想像在一龐大的解空間當中，不 僅要策略地決定搜尋的方向，也要有優秀的搜尋工具快速地搜尋到其區域最佳解。可回 溯式門檻接受法調控門檻值的概念即符合此項作法，當門檻值縮小，意味著偏重深度搜

目前，巨集啟發式解法所發展的概念可大致歸納為深度搜尋(Intensification Search) 與廣度搜尋(Diversification Search)兩種高階策略。乃是想像在一龐大的解空間當中，不 僅要策略地決定搜尋的方向，也要有優秀的搜尋工具快速地搜尋到其區域最佳解。可回 溯式門檻接受法調控門檻值的概念即符合此項作法，當門檻值縮小，意味著偏重深度搜

在文檔中 應用可回溯式門檻接受法結合GENIUS求解VRP問題之研究 (頁 15-0)