4-1. 光柵干涉術
最簡單的光柵干涉儀架構如圖 4-1.1 所示。其基本原理是使光入射在光柵上產 生繞射光，當光柵移動時兩道光將產生等值且反向的都卜勒頻移(Doppler frequency shift)，若將兩道繞射光疊合後將產生差頻干涉現象。若透過光電二極體接受光強 之相位變化，再由電路解析光電訊號即可實現對光柵位移之量測。
圖 4-1.1 簡易光柵干涉儀之架構
本研究中，將VIM 模組導入進光柵干涉儀之架構。VIM 分出之兩光經過平面 鏡反射後分別以光柵之正負一階繞射角入射光柵，如圖 2-4.6 所示。以下先探討光 學之都卜勒原理，再將其與干涉現象做結合。
4-1-1. 都卜勒效應
當一波速c、頻率 f 的聲音源、光源或任何形式的波動源 S 與觀測者 P 有相0 對速度v，且夾角度α 時，觀測者所觀測到的頻率會有如下式的變化：
0 1 vcos
f f
c α
⎛ ⎞
= ⎜⎝ ± ⎟⎠ (4.1)
這 種 因 波 動 源 或 觀 測 者 的 運 動 而 發 生 頻 率 改 變 的 現 象 稱 為 都 卜 勒 效 應
（Doppler effect）。都卜勒效應是由 Christian Doppler (1803-1853)在 1842 年提出，
當時成功地解釋了聲波頻率改變的現象。由於都卜勒效應具有高精確性、線性、
反應速度以及量測行程大的特性，雷射都卜勒技術已經很成熟的被應用在剛體的
其中 fΔ 即為都卜勒效應而造成之頻移。此種現象為雙重都卜勒效應，如圖 4-1.3 所示。
圖 4-1.3 雙重都卜勒效應
4-1-2. 光柵繞射與都卜勒頻移
許多等寬的狹縫等距離地排列起來的光學元件稱為光柵。在一透光基板上（如 玻璃）以刀刻出一系列等寬等距的平行刻痕，刻痕處透光率低，未刻過處透光率 高，這樣就是一個簡單的光柵。上述為一透射式光柵，而若在反射率高之金屬表 面刻出細槽，或者在基板上鍍上一層高反射率物質，就是一個反射式光柵。不論 透射或反射，一道光打到光柵後，會因光的不同波長，造成不同的出射角度，因 此特點，已經廣泛的被應用在頻譜分析儀中；也因為光柵能將不同角度的入射光 分成若干道光，具有分光效果，近來在許多光學系統架構中也使用光柵以取代稜 鏡組。
繞射為一種波的特性，當波源通過一與波長尺度相近的障礙物時，會產生波 形上的畸變。對於透射或反射式的光柵來說，其基本原理是一樣的。一個反射式 光柵的繞射情形如圖 4-1.4 所示，一道波長λ 的光，以入射角θi打到一個具有d節
距的光柵（d可稱為光柵常數），產生若干道繞射光，出射角（繞射角）為θq。入 射角及繞射角有其對應關連，由基本繞射原理，可寫成以下形式：
(
sin i sin q)
, 0, 1, 2...d θ + θ =mλ m= ± ± (4.5)
此關係式稱光柵方程式（grating equation）【41】【42】。式中m為繞射階數。θi
及θq的正負號取法為，以光柵的法線為0 度，逆時針方向為正，順時針方向為負；
而m的正負號判斷法則為，若θi及θq為同號，則m為正，不同號則為負。當m為 0 時(零階繞射)，繞射光即為反射光。
圖 4-1.4 光柵繞射示意圖
當光柵移動時，投射在其上面之光波將會產生都卜勒頻移效應，如圖 4-1.5，
若入射光源位置I 及觀測點 O 均保持不動，I(θi, f0, λ)為頻率 f ，波長0 λ ，入射角 θi的入射光，O(θq, fq)為觀測到具有頻率 f 、繞射角q θq的繞射光束。N 為光柵之 法線方向，光柵以速度v垂直法線方向移動。經由雙重都卜勒效應，(4.4)式可改為
( )
0 v sin i sin q
f f
c θ θ
Δ = + (4.6)
代入光柵方程式與光速公式於式(4.6)中可得 f mv
Δ = d (4.7)
圖 4-1.5 光柵移動時之都卜勒效應
本研究之光柵干涉儀都是採用正負一階繞射光進行差頻干涉，考慮兩道分別
4-2. 線性光柵尺
本節中，融合了光柵繞射原理、都卜勒效應、雷射電場角頻差、VIM 等概念；
採用容易取得之商用一維光柵，配合准直入射技術研製線性光柵干涉儀(Laser diffraction grating interferometer, LDGI)。比起精度相近的雷射干涉儀，LDGI 具有 高穩定性、高幾何公差、等光程量測等優點。 結構就稱為準直入射(Littrow condition or Littrow configuration)，其對於增強光柵干 涉儀之幾何公差有著顯著效果，將於下一節探討。
圖 4-2.1 LDGI 光路架構及實體照片 4-2-2. 幾何公差探討與驗證
光柵干涉儀同時具有公分級之量測範圍與奈米級之解析度，然而，在工程上 之應用上仍存在著缺點，其中一個主要的缺點就是光柵干涉儀之幾何公差太小，
導致組裝、安裝不易。
探討線性光柵尺時，需要注意之公差有四：遠離公差(standoff tolerance)、偏航 公差(yaw tolerance)、翻滾公差(roll tolerance)及俯仰公差(pitch tolerance)。這些公差 造成之結果則有兩種，如圖 4-2.2 所示：
1. Beam separation: 兩道量測光臂不再重疊，干涉現象消失 beam separation 2. Signal loss: 兩光臂疊合，但干涉圖樣落在 PD 外，系統失去干涉之電子訊號
(a) Beam separation 現象 (b) Signal loss 現象 圖 4-2.2 運動誤差造成 PD 上光點移動
比較前文(3-1-2、3-2-1、3-3-1)之公差，可以歸納出本研究之麥克森干涉儀公 差受到Beam separation 之限制，PAI 和 PYDI 等平面鏡式角度干涉儀受到平面鏡偏 擺造成之Signal loss 之限制，而 ADAI 則只受到光入射角偶鏡之位置所限制。至於 LDGI 之公差則包含了兩者。傳統之光柵干涉儀其遠離公差、偏航公差、俯仰公差 都很小，限制其工程應用之發展；本研究中，利用獨特的光路佈局，無需外加特 殊光學元件如聚焦透鏡、角偶稜鏡等等就能得到數個優秀公差。
上一節提到，準直入射能增強的幾何公差，最顯著的就是遠離公差，其示意 圖如圖 4-2.3，傳統之光柵干涉儀在光柵遠離時，兩道繞射光束會與原本之光路產 生一偏位，而造成干涉圖樣在光感測器上之偏位，若遠離過多將導致電子訊號消 失。準直入射時，光柵之遠離完全不造成光路之偏位或偏擺，無任何遠離公差之 問題，這樣的特性使吾人在設計、安裝時不需仔細考慮光學讀頭和光柵間的對位 間隙。
圖 4-2.3 傳統光柵干涉儀與 LDGI 之遠離公差示意圖
除了準直入射之外，LDGI 在光路設計上不對稱的設計，即右光臂比左光臂多 經過了一次反射。此種設計之考量在於解決光柵干涉儀之偏航公差，其簡單示意 圖如圖 4-2.4：傳統光柵干涉儀在光柵有偏航角誤差時，兩道繞射光將會朝完全不 同的方向繞射，光束不重合導致干涉現象消失；相對的，LDGI 之光路因為加入了 一面抗偏擺反射鏡，當光柵有偏航角誤差時即使兩道光朝不同方向繞射，在經過 抗偏擺鏡反射後兩道光自補償偏擺誤差而彼此平行，且間距與入射時相同，不會 發生Beam separation 現象，只會受到 Signal loss 之限制。
圖 4-2.4 傳統光柵干涉儀與 LDGI 之偏航公差示意圖
光柵的翻滾運動使光路運動變成了三維之形式，但兩束繞射光都是以同樣的 角度偏離二維平面，所以並不會產生Beam separation 之現象。理論上來說，LDGI 之翻滾公差和偏航公差相等。
俯運動的示意圖如圖 4-2.5，觀察 xy 投影面，兩繞射光與入射光組成之平面，
會與光柵條紋的方向垂直，因此光柵俯仰運動造成之ϕ角，會讓兩繞射光在原三度 座標上產生 x 方向之歪斜量，進而使兩干涉光束會在 x 方向相互遠離分開而導致 Beam separation。而事實上，由於左右兩光臂繞射之後直到光偵測器的距離不短，
再加上俯仰造成兩光點遠離分開，因此光柵的俯仰運動即是本光學頭系統最無法 抵抗之偏擺。
圖 4-2.5 光柵俯仰運動時對繞射光之影響
LDGI 公差之詳細計算均與 3-1-2、3-2-1 節相同：代入光程參數、光感測器尺 寸和公差限制(signal loss 或 beam separation)，即可模擬出 LDGI 各項公差，如下表：
表 10 LDGI 之幾何公差 運動形態 (motion) 可容忍公差
(alignment tolerance) PD 上之光點變化情形 遠離Stand off N A/
垂直移動 Vertical offset
±5 mm
(和光柵尺寸有關) 水平移動
Linear motion
20 mm
(與光柵長度有關) 俯仰Pitch angle ±3arcmin(Beam break) 偏航Yaw angle ±35arcmin(Signal loss) 翻滾Roll angle ±35arcmin(Signal loss)
以上為LDGI 幾何公差之模擬分析，為了進一步驗證 LDGI 公差之量化數據，
本研究架設了公差實驗，如圖 4-2.6：將光柵和 HP 5529A 之角度反射鏡同時置於 同一角度旋轉台上，觀察旋轉台之旋轉角度(由 HP 5529A 感測)與 LDGI 訊號強度 之關係，若干涉訊號強度降至原強度之半功率點(即-3dB 點，或原強度之 0.707 倍)，
則判斷此時訊號不佳，已達到公差限制。
圖 4-2.6 公差實驗架設示意圖
圖 4-2.7 統計出了當光柵隨著 Yaw 偏擺角增強時光強訊號下降之趨勢，直到 約±25arcmin 時 降 至 半 功 率 點 。 圖 4-2.8 則 說 明 LDGI 之 翻 滾 公 差 約 為
18arcmin
± 。與模擬值相比，誤差約為 47%，我們相信這主要來自於組裝時的人 為誤差，以及各個公差彼此間的耦合效應。儘管實驗值與模擬值有些許出入，此 二公差在實際安裝上仍然屬於較寬鬆之對位要求。俯仰公差之驗證實驗統計於圖 4-2.9，由圖中曲線可了解光柵在俯仰偏擺時，beam separation 現象導致訊號強度之 下降劇烈，其俯仰公差僅有±1.5arcmin。
綜合以上，本研究所研發之光柵干涉儀，能有效提升光柵之偏航、翻滾、遠 離及鉛直直線度等四項公差，但對於光柵的俯仰運動則較難以抵抗。
圖 4-2.7 LDGI 幾何公差實驗-偏航
圖 4-2.8 LDGI 幾何公差實驗-翻滾
圖 4-2.9 LDGI 幾何公差實驗-俯仰
4-2-3. LDGI 性能測試
為了評估LDGI 之量測性能，本研究在 NMM-1 奈米量測平台上進行各種性能 測試，實驗架設如圖 4-2.10 所示。
圖 4-2.10 LDGI 性能驗證實驗架構
首先進行五種不同位移量的實驗，分別為1μm、100μm、2 mm、5 mm、10 mm，
每 種 位 移 都 重 複 八 次 實 驗 ， 同 時 可 以 求 得 不 確 定 度(uncertainty) 和 準 確 性 (accuracy)。首先，圖 4-2.11 統計了全部實驗的平均誤差，由於量測系統和平台間 必定具有難以消除之餘弦誤差，此架設誤差蓋過了儀器誤差，因此在評估 LDGI 性能時，需將全部的量測數據以最小平方法修正其線性的架設誤差。五次實驗中 所有的數據經過最小平方法擬合後統計成圖 4-2.12，其中不難看出，所有的量測 值若去除掉餘弦誤差之干擾，其量測值均落在±34 nm內。從表 11 可得之，LDGI 之精度為17 nm，不確定度為 26.8 nm。
圖 4-2.11 LDGI 之平均誤差
圖 4-2.12 最小平方法修正餘弦誤差後之誤差統計
表 11 LDGI 精度性能整理 定位點 平均誤差 (nm) 最小平方法修正後
表 11 LDGI 精度性能整理 定位點 平均誤差 (nm) 最小平方法修正後