克拉尼圖形與 Faraday wave

德國物理學家克拉尼（Ernst Florenz Friedrich Chladni, 1756-1827）

所創造的克拉尼圖形： 的美麗圖案，即著名的克拉尼圖形(Chladni Pattern)。

利用以下的方法而產生克拉尼圖形：

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像。利用喇叭震動四方形的金屬板，然後在上灑上沙所形成的圖案，

因為不同的共振態會讓不同的位置有不同的震動大小，所以沙有不同 的分佈。一般來說沙會聚集在震動的節線上，也就是震動較小的地 方。所以觀察沙的分佈就可以知道共振大約長什麼模樣，這些震動模 式，跟樂器上聲音跟樂器的共振所發出的音色的基礎原理相同，也可 以了解為什麼樂器會有那麼多特殊的聲音 !

繩波在共振頻率震動時會產生一維駐波現象，不動的點稱為節點 (nodes)，反節點(antinodes)為振幅最大的點，在一條線上傳遞的波，

當遇到障礙產生反射時，與原來的行進波互相干擾產生駐波，就可以 在線上看到振動劇烈的「波腹」和沒有振動的「波節」。

如果在平面上產生振動，當振動遇到邊緣反射時，也會和原來的波 產生駐波，在平面上灑些細砂，細砂受到振動之後，便會在波節的地 方聚集產生振沙圖形(圖 2.5.1)。另一種水槽的參量共振現象最早是由 法拉第(Faraday)發現，將水槽水平置於ㄧ振動台上並在外加驅動下沿 垂直方向作簡諧振動。當振幅超過一臨界值時，液面便產生規則駐波 圖形，其驅動頻率接近系統原來頻率的兩倍，並發現不同的流體所產 生的圖形也不同(圖 2.5.2)，其圖案多樣生動而有趣。

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(a)

(b)

圖 2.5.1 克拉尼振沙圖形

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(a)

(b)

圖 2.5.2 法拉第表面波振水圖形

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第三章 電腦輔助產生 Quasi-crystal 圖像

Quasi-crystal 圖樣可利用數個光源的干涉來產生，光在傳播過程 中，如果遇到與其波長尺寸相差不大的障礙物（或小孔、窄縫等）時，

光會明顯偏離直線傳播的方向而發生衍射，其原理與全像微影技術相 似，都是利用數個光源去干涉，再將其以定量的角度去旋轉，會產生 n 個干涉平面波，其數個干涉波的疊加強度顯影在接受器上[7]，因此 多重光束干涉技術（Multi-beam interference technique）[8]常被用來產 生 光 學 的 圖 案 ， 目 的 是 為 了 模 擬 各 種 不 同 的 準 週 期 結 構

（quasi-periodic structures）的晶格。

3.1. Diffracting and non-diffraction

繞射是指光在行進過程中，通過小孔或遇到障礙物，造成波動的疊 加，形成亮暗相間條紋的現象。繞射的種類依照通過小孔的維度，可 分為圓孔繞射(circular aperture diffraction)與單狹縫繞射(single slit diffraction)。依照發明科學家使用不同方法產生的繞射，可分為布拉 格繞射(Bragg diffraction)、夫琅禾費繞射(Fraunhofer diffraction)、菲涅 耳繞射(Fresnel diffraction)。

繞射的原理根據海更士(Huygens)原理，下一個波的行為，可以由 此波當作新波源演化而成。因此，當波長愈長、障礙物愈小或小孔與

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波長接近時，因為相對的波動性顯著，因此容易觀察到繞射現象。若 行進波被與波長大小相當或小於波長的物體所阻擋，則行進波會繞過 這個物體繼續前進，當行進波遇到與波長大小相當或小於波長的孔 時，則會以此孔為中心，形成環型波繼續前進。楊格(Thomas Young) 在1803 年第一次以雙狹縫干涉(double slit interference)實驗證實光的 波動性，後來也作成單狹縫繞射。楊格的單狹縫實驗，產生的亮暗條

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值得注意的是，如果狹縫水平放置，則繞射條紋會成鉛直方向；如果 狹縫鉛直放置，則繞射條紋會成水平方向，這是因為繞射條紋會沿著

圖3.1.1 兩個單狹縫的繞射條紋

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受限制的方向展開，因此會垂直狹縫。

貝賽爾光束(Bessel beam) [9-14]與貝塞爾高斯光束(Bessel Gaussian) [15]沿著光軸方向具有近似恆定光照度而光場的橫截面具有窄光束 分佈，這兩種光束具有傳播距離很遠而不發散的特性所以被稱為無繞 射光束(non-diffraction beam)。

早 在 1987 年 第 零 階 貝 塞 爾 光 場 分 佈 之 無 繞 射 光 束 被 提 出 來 [9,10]，其特點是在無邊界自由空間中傳播時，與光軸垂直的每個橫 向取樣平面的光場照度峰值總能保持相同，橫向光照度分佈非常集 中，此照度分佈具有很強的空間侷限性。這種光場在傳播的過程中並 不會發生發散的現象，因此這類光束被稱作無繞射光束。此光束具有 主光斑尺寸小的特點，而且具有較高的照度峰值、方向性好與傳播距 離遠等優點。在實際的光學系統中，元件孔徑所產生的邊界條件是存 在的，所以無法得到所需的無繞射光束。然而從電腦模擬和實驗結果 證明在有限孔徑的條件下，近似貝塞爾分佈的光束仍然可以傳播到相 當遠的一段距離並保持無繞射光束的主要特性。可以利用幾何軸向錐 鏡(axicon)[16]、全像片[17]、圓對稱周期性光柵[18]、繞射式軸向錐 鏡[19]、繞射光學元件[20]……等都可用來產生近似的無繞射光束。

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3.2. singularity

Singularities 是指無法明確定義某些參數的位置，(如圖 3.2.1)圓形 色盤的圓心，無法明確定義顏色，即為Singularities。

研究 Singularities 基本上是因為它們普遍存在並且結構穩定。在光 學中，奇異點可以分為phase singularities 與 polarization singularities。

檢視這些 Singularities 在當代物理其應用範圍相當有趣而且被現代命 名為奇點光學(Singular Optics)。通常相位奇異點是在平面上的點和在

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圖3.2.1 圓形色盤

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除此之外，光學旋渦的自發形成結構在雷射系統固體雷射上也有被 報導，Na2 雷射和氫核被植入的垂直洞表面散發的雷射。旋渦形成的 機制在氫核被植入的VCSEL 由於横模鎖，協助由雷射非線形性，幾 乎退化Lagurre 高斯方式。不同氫核被植入的 VCSEL，氧化物的近場 横模VCSELs 被顯示類似於閉合量子台球波函數，是純粹真實的並且 3.2.2 )(a)-(c)在(圖 3.2.2)(a')-(c')被描述。它能被看見旋渦和來源有他們 的Poincaré index 為 1 和一個馬鞍的 Poincaré index 為-1。事實上电流

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密度機率是一種較常見的向量場。這相位函數( yx, )的位置對應於電 流密度^j( yx, )向量奇異點被稱為關鍵點。這關鍵點相位提升旋渦、來 源、水槽和馬鞍在電流密度是奇異點、極值和馬鞍。假設這向量場顯 示在(圖 3.2.2) (a)-(c)是一些波函數的电流密度機率。我們描述波函數 對應的相位結構，包含相位奇異點、最大值和馬鞍，分別在(圖 3.2.3) (a)-(c)。總而言之，當某一向量場被表示為純量函數的梯度，這些關 鍵點純量函數變的重要。向量奇異點也廣範多樣地介入了物理。對於 光波，向量奇異點是被孤立，在一個平面是不動的點，這電向量的方 向，在一個線性被對立的真實向量場無法明確被定義。向量奇異點的 特點在於空間結構和極化狀態相互關係以雷射方式實驗性地被觀 察。在工作同時，向量奇異點植入在VCSELs 的近場圖樣將被分析。

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圖3.2.2 旋渦、來源和水槽和馬鞍 (a)

(b)

(a’)

(c)

(b’)

(c’)

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圖3.2.3 相位奇異點、最大值和馬鞍

35 在 spatial translation 之下是不變的。為了方便說明起見，我們將

q

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37 pseudonondiffracting beam，而且 pseudonondiffracting beam 在 z 軸上 的橫截面會呈現出晶格結構或準晶格結構的圖案。

理論上所模擬的圖案(如圖 3.3.1) 所示。利用孔洞上規則地環狀分 佈之光罩，來產生晶格結構和準晶格結構的 pseduonondiffracting optical beams。因為光學配置基本上類似 Durnin 的方法，繞射長度整 體特性幾乎和pseudonondiffracting Bessel beam 一樣。

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圖 3.3.1 理論模擬的晶格結構和準晶格結構圖案

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所以，我們發現更多不同的Quasi-crystal 圖樣。

一般而言，目前的晶格結構的圖案和準晶格結構的圖案屬於複數形 式的光學場（complex optical fields）。利用具有沒有規律的相位和振 幅為零的孤立暗點（isolated dark spots）來描述複數形式的光學場的 相位奇異點。數學表示上，我們習慣利用相位角場（phase angle field）

)])

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部分。環流狀的相位角場(,)是具有奇異點的，在這個情況下，複 數形式的光學場_q(,)的相位角是無法被定義的。(圖 3.3.4)(b)和(b) 為對應(圖 3.3.4)(a)和(a)虛線方框內的部份，所對應到的相位角場

) , ( 

 ，從(圖 3.3.4)(b)和(圖 3.3.4)(b)可以發現相位奇異點的特性。

這些圖案的相位上有奇異點，因為光學場具有旋度特性，擁有軌道角 動量，所以此類型的光學場被廣泛地應用於光學鑷子、對冷原子作誘 捕與引導和光子的糾纏態。因此，利用光學方式產生的準晶格結構圖 案，對將來的應用具有很大的潛力。

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圖3.3.2 理論模擬高階(q=16、21 和 30)的準晶格結構圖案

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圖3.3.3 不同初始相位理論計算圖

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圖 3.3.4 準晶格結構圖案與對應相位圖

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3.4. 結論

總而言之，我們利用較為簡單的方式來產生出一個概括所有類型 Quasi-crystal 圖樣的通式，也從方程式部分及圖像部分來證明其與平 面波疊加的關係。接續上述的方式，我們試著找尋產生出不同一般類 型的Quasi-crystal 圖樣的方式，配合不同的初始相位，其不僅可以產 生出一般的 Quasi-crystal 圖形，也可產生出不同類型的 Quasi-crystal 圖像。我們也發現當相對相位模組的q，其圖形的特性會與貝塞 爾圖形完全相等。除了漂亮的圖騰之外，因為這些圖案的相位上有奇 異點，因為光學場具有旋度特性，擁有軌道角動量，所以此類型的光 學場被廣泛地應用於光學鑷子、對冷原子作誘捕與引導和光子的糾纏 態。因此運用光學方式產生的準晶格結構圖案，對將來的應用具有很 大的潛力。

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第四章 光學中準晶格圖騰的產生

上一個章節為理論計算準晶格圖騰的結果，實際上要產生這樣的準 晶格圖騰有許多方法，例如透過振水波的方式來產生，而本章節為結 合傅式光學的理念，配合適當的光遮板，來產生各種不同對稱性的準 晶格圖騰。

4.1 實驗架構

實驗架構(圖 4.1.1)，入射光源使用氦氖雷射帶有線性偏振且其波長 為 632.8nm，輸出功率為 20mW。並利用光束擴束器使氦氖雷射的發 散 角 小 於 0.1 mrad 。 實 驗 前 先 使 用 雷 射 加 工 在 鋼 板 設 備 （ laser stencil-cutting machine）上鑿出應實驗須求的孔數分佈之光罩，其中 孔洞的半徑和環形的半徑分別為 0.1 mm 和 5.0 mm。透鏡的焦距是 1000 mm，將孔數的大小與間距按照固定參數設定，透鏡聚焦參數設 定完成後，再搭配數位相機記錄下在透鏡後面成像的干涉圖案。

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圖 4.1.1 實驗架構

47 察到，我們稱之為傳播不變區間（ propagation-invariant region），只 要 過 了 這 個 區 間 ， 繞 射 圖 案 的 中 心 會 迅 速 地 變 得 模 糊 不 清 。

47 察到，我們稱之為傳播不變區間（ propagation-invariant region），只 要 過 了 這 個 區 間 ， 繞 射 圖 案 的 中 心 會 迅 速 地 變 得 模 糊 不 清 。