結論

總而言之，我們利用較為簡單的方式來產生出一個概括所有類型 Quasi-crystal 圖樣的通式，也從方程式部分及圖像部分來證明其與平 面波疊加的關係。接續上述的方式，我們試著找尋產生出不同一般類 型的Quasi-crystal 圖樣的方式，配合不同的初始相位，其不僅可以產 生出一般的 Quasi-crystal 圖形，也可產生出不同類型的 Quasi-crystal 圖像。我們也發現當相對相位模組的q，其圖形的特性會與貝塞 爾圖形完全相等。除了漂亮的圖騰之外，因為這些圖案的相位上有奇 異點，因為光學場具有旋度特性，擁有軌道角動量，所以此類型的光 學場被廣泛地應用於光學鑷子、對冷原子作誘捕與引導和光子的糾纏 態。因此運用光學方式產生的準晶格結構圖案，對將來的應用具有很 大的潛力。

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第四章 光學中準晶格圖騰的產生

上一個章節為理論計算準晶格圖騰的結果，實際上要產生這樣的準 晶格圖騰有許多方法，例如透過振水波的方式來產生，而本章節為結 合傅式光學的理念，配合適當的光遮板，來產生各種不同對稱性的準 晶格圖騰。

4.1 實驗架構

實驗架構(圖 4.1.1)，入射光源使用氦氖雷射帶有線性偏振且其波長 為 632.8nm，輸出功率為 20mW。並利用光束擴束器使氦氖雷射的發 散 角 小 於 0.1 mrad 。 實 驗 前 先 使 用 雷 射 加 工 在 鋼 板 設 備 （ laser stencil-cutting machine）上鑿出應實驗須求的孔數分佈之光罩，其中 孔洞的半徑和環形的半徑分別為 0.1 mm 和 5.0 mm。透鏡的焦距是 1000 mm，將孔數的大小與間距按照固定參數設定，透鏡聚焦參數設 定完成後，再搭配數位相機記錄下在透鏡後面成像的干涉圖案。

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圖 4.1.1 實驗架構

47 察到，我們稱之為傳播不變區間（ propagation-invariant region），只 要 過 了 這 個 區 間 ， 繞 射 圖 案 的 中 心 會 迅 速 地 變 得 模 糊 不 清 。 nondiffracting 的傳播不變區間之所以有限，是來自於光束點的大小有 限所導致。最大距離 zmax可以利用幾何方法推導出Z_max R/tan， 其 中 R 是每一道參與干涉的平面波光束來到聚焦透鏡上的半徑，而θ

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圖 4.2.1 實驗模擬的晶格結構和準晶格結構圖案

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則是每一道參與干涉的平面波光束相對於光軸（optical axis）的入射 角。在我們的實驗裡，R 和θ近似分別為是 2.0 mm 和 5 mrad。結果 有限距離 z^max估計大約 400 mm，與實驗觀察非常吻合，(如圖 4.2.2) 在 z 軸上不同位置之橫截面，所產生的 q=5 之準晶格結構圖案。經 由實驗上，我們利用光學儀器來探究當 q 值較大時，即高階的準晶 結構圖案其特性是相當耐人尋味的。(圖 4.2.3)(a)-(圖 4.2.3)(c)顯示實 驗上，所得到 q=16、21 和 30 的準晶格結構的圖案。高階的準晶格 結構的圖案呈現出奇特的萬花筒圖案。當高階的準晶格結構圖案其中 央部分會呈現出跟貝賽爾光束相似。會有這樣的相似，是因為在 q 趨 近無窮大的極限下所導致，即^{limqq(,;K) J0(K)}。

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圖 4.2.2 z 軸上不同位置之橫截面所產生之準晶格結構圖案(q=5)

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圖 4.2.3 實驗上高階(q=16、21 和 30)的準晶格結構圖案

52 式的光學場（complex optical fields）。利用具有沒有規律的相位和振 幅為零的孤立暗點（isolated dark spots）來描述複數形式的光學場的 相位奇異點。數學表示上，我們習慣利用相位角場（phase angle field）

)])

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contour plots 為(圖 4.3.1)(c)和(圖 4.3.1)(c)，從(圖 4.3.1)(c)和(圖 4.3.1)(c)

可以發現相位奇異點的特性。我們也使用一個正向入射的平面波與另 一道準晶格光束的圖案作干涉來呈現出相位的結構。(圖 4.3.1)(a)和 (圖 4.3.1)(a)為兩組不同對稱性準晶格結構圖案與傾斜平面波光束作

干涉的實驗結果，為了驗證有相位結構的存在，而不是準晶格結構圖 案本身所造成，因此我們加上一道平行光束並將傾斜的平面波光束去 掉，而得到與(圖 4.3.1)(a)和(圖 4.3.1)(a)同一基底的兩組不同對稱性 準晶格結構圖案與平行光束作干涉其實驗結果(如圖 4.3.2)(a) and(圖 4.3.2)(a)兩組對稱性準晶格結構圖案，為了與實驗結果作比較，(圖 4.3.2)(b)和(圖 4.3.2)(b)則是理論模擬所得的結果。實驗結果讓我們更 加確定，準晶格結構的圖案都隱含著相位結構。

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圖 4.3.1 傾斜角和特定相位準晶格結構圖案

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圖 4.3.2 實驗驗證準晶格結構的圖案都隱含著相位結構

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4.4 結論

本章利用平面波疊加來產生 Quasi-Crystal patterns，將不同方向等 距的平面波以干涉方式來產生，其中 q =2，3，4，6 的光學場之強度 會呈現出週期性晶格的圖案，其餘的 q 值光學場之強度所呈現出的圖 案，則是對應到二維準晶格結構。從實驗中發現 q = 3，4 and 6 的圖 案具有平移對稱性，q = 5，7 and 8 的圖案則具有準晶格結構，即具 有較高的旋轉對稱特性，並可產生出來其他基底的圖形。

因繞射圖案須在一特定有限距離內，才能夠很明顯地被觀察到，所 以傳播不變區間由實驗結果知道有限距離 zmax估計大約 400 mm 當 q 值較大時，高階的準晶結構圖案其特性呈現出奇特的萬花筒圖案，其 中央部分會呈現出跟貝賽爾光束相似。

使用一個正向的平面波與另一道準晶格光束的圖案作干涉來呈現 出相位的結構，並進行實驗去驗證，讓我們更加確定，準晶格結構的 圖案都隱含著相位結構。

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第五章 Super lattice 圖像產生方式

目前探討的圖樣除了 crystal、quasi-crystal 之外，還有一種也具有 排列規則的圖樣，即 Super lattice 圖像，此章節將針對 Super lattice 做一介紹並以光模擬實驗進行不同對稱組合的實驗，當光束干涉出來 的條紋圖樣變化更複雜時，結構呈現出獨樹ㄧ格圖樣，其豐富又多變 的圖樣也是一種 Kaleidoscope 結構光束之圖騰。

5.1 超晶格 Super lattice

超晶格是指兩個獨立但晶格相互作用的晶體，超晶格的波圖樣形成 大部分由兩個六角晶格質相互影響組成。經由光學儀器模擬的超晶格 圖樣，可以深入探究超晶格結構的特性而發揮其功能，並利用多重光 束干涉技術（Multi-beam interference technique）來產生光學的圖案，

目的是為了模擬各種不同的準週期結構（quasi-periodic structures）的

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式子(1)為單一準晶格結構，此章節希望經由 quasi-crystal 的結構光束 上增加變化，若在準晶格結構光束上增加一相對角度，將原本的孔位 數加上新增相對角度，所產生的結構光束稱為 Super lattice，其中 K 的分佈如下： 相差一個角度的兩組準晶格再一次疊加後，即形成第一種 super lattice 形式的圖騰；第二種 super lattice 型式的圖騰，就是在原本的孔位數 加上新增 Circle bundle 孔位數，再將兩組準晶格作疊加，即形成第二 種 super lattice 形式的圖騰。

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5.3 實驗架構

實驗架構(圖 5.3.1)，入射光源使用氦氖雷射帶有線性偏振且其波長 為 632.8nm，輸出功率為 20mW。利用光束擴束器使氦氖雷射的發散 角小於 0.1 mrad。實驗儀器架設與排列方式跟 quasi-crystal 圖像產生 不同之處在於 Mask 孔位數的分佈方式，在此章節的實驗中包含兩種 形式的 Super lattice，第一種形式是在 Mask 的環狀孔位數分佈上個別 新增相對角度孔位(圖 5.3.2)；第二種形式是在 Mask 的環狀孔位數分 佈上改變成 Circle bundle 孔位(圖 5.3.3)，實驗前先使用雷射加工在鋼 板設備（laser stencil-cutting machine）上鑿出應實驗須求的孔數分佈 之光罩，其中孔洞的半徑和環形的半徑分別為 0.1 mm 和 5.0 mm。透 鏡的焦距是 1000 mm，將孔數的大小與間距按照固定參數設定，透鏡 聚焦參數設定完成後，再使用數位相機記錄在透鏡後面成像的干涉圖 案。

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圖 5.3.1 實驗架構

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圖 5.3.2 Super lattice 形式一

圖 5.3.3 Super lattice 形式二(Circle bundle)

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5.4 實驗討論

Super lattice 利用數個光源去干涉，兩光源間有相對相位角度，所 夾的角度會因圖像對稱性不同而有差異，選取的角度會隨著 Mask 所 分佈的環上孔數而不同，會產生 n 個干涉平面波，其數個干涉波的疊 加強度會顯影在接受器上，因增加相位角度上的差異所以圖樣會呈現 比 quasi-crystal 漂亮的對稱性，其晶格結構就是所謂的 Super lattice 圖樣，當有相位差時，所呈現的圖樣更加豐富而多變。以 3 的對稱性 來看，(如圖 5.4.1)(a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬所取的角度 10

度、20 度、30 度，若角度取決過大，則容易跟 3 對稱性重複或是變

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.1 3 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

c 5 R  mm

a 50 R  m

  10  20   30

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.2 3 對稱相位圖

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(a) (b)

圖 5.4.3 4 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

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其邊界已不明顯。(圖 5.4.3) (a)實驗操作與(a)理論模擬為 4 對稱圖 樣，其結構相當特別，不管所取的角度是多少，呈現的圖樣都相同。

(圖 5.4.4) (a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬為 5 對稱性圖樣，(圖 5.4.5)

為 5 對稱性相位圖，當 0 度時，是一個標準 5 對稱 quasi-crystal 圖樣，

當 10 度時，圖樣呈現旋轉對稱性，外為輪廓偏向線條狀，當 20 度時，

圖樣呈現旋轉對稱性，外為輪廓偏向圓滑狀，當 30 度時，圖樣呈現 旋轉對稱性，外為輪廓偏向圓滑狀，內部又延伸出自成一格的結構 美，(圖 5.4.6) (a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬為 6 對稱性圖樣，因

孔位數變多會影響角度，所以在角度取決上會變小，當 0 度時，是一 個標準 6 對稱 quasi-crystal 圖樣，當 5 度時，圖樣呈現平移對稱性，

外為輪廓偏向線條狀，當 10 度時，圖樣呈現平移對稱性，外為輪廓 偏向圓滑狀，自成一個小範圍，當 15 度時，圖樣呈現平移對稱性，

外為輪廓偏向圓滑狀，自成一個小範圍，邊緣逐漸擴大，內部圓點變 少，因此可以清楚簡單的從干涉圖樣中分辨出分別是幾對稱圖形，經 由這樣的規則性ㄧ般也可以推測出高對稱性的圖樣。

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.4 5 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

 10 20  30

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.5 5 對稱相位圖

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.6 6 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

  10 ^{ }15

  5

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的平移、複製、旋轉跟鏡射原則，發現不同於平移分布的圖樣，又將 呈現出另一種晶格圖形，也經由(圖5.4.10)驗證了實驗跟模擬的一致 性，經由電腦模擬我們嘗試取了數百種圖樣，經過挑選較有趣與特別 的圖樣，再以實驗手法加以驗證，圖樣也都如理論模擬預期的呈現。

除此之外，我們也將A:群數固定；B:點數作為變動項，以8對稱實 驗模擬為例子，比較一系列的結構圖案(圖5.4.11)，發現這些圖樣相 當的有趣，只要稍微變化就會呈現令人驚豔的華麗圖騰，也呼應了我 們希望能藉由光學的設計實驗中呈現各式各樣的萬花筒圖斑，後續甚

除此之外，我們也將A:群數固定；B:點數作為變動項，以8對稱實 驗模擬為例子，比較一系列的結構圖案(圖5.4.11)，發現這些圖樣相 當的有趣，只要稍微變化就會呈現令人驚豔的華麗圖騰，也呼應了我 們希望能藉由光學的設計實驗中呈現各式各樣的萬花筒圖斑，後續甚