實驗分析與討論

53

contour plots 為(圖 4.3.1)(c)和(圖 4.3.1)(c)，從(圖 4.3.1)(c)和(圖 4.3.1)(c)

可以發現相位奇異點的特性。我們也使用一個正向入射的平面波與另 一道準晶格光束的圖案作干涉來呈現出相位的結構。(圖 4.3.1)(a)和 (圖 4.3.1)(a)為兩組不同對稱性準晶格結構圖案與傾斜平面波光束作

干涉的實驗結果，為了驗證有相位結構的存在，而不是準晶格結構圖 案本身所造成，因此我們加上一道平行光束並將傾斜的平面波光束去 掉，而得到與(圖 4.3.1)(a)和(圖 4.3.1)(a)同一基底的兩組不同對稱性 準晶格結構圖案與平行光束作干涉其實驗結果(如圖 4.3.2)(a) and(圖 4.3.2)(a)兩組對稱性準晶格結構圖案，為了與實驗結果作比較，(圖 4.3.2)(b)和(圖 4.3.2)(b)則是理論模擬所得的結果。實驗結果讓我們更 加確定，準晶格結構的圖案都隱含著相位結構。

54

圖 4.3.1 傾斜角和特定相位準晶格結構圖案

55

圖 4.3.2 實驗驗證準晶格結構的圖案都隱含著相位結構

56

4.4 結論

本章利用平面波疊加來產生 Quasi-Crystal patterns，將不同方向等 距的平面波以干涉方式來產生，其中 q =2，3，4，6 的光學場之強度 會呈現出週期性晶格的圖案，其餘的 q 值光學場之強度所呈現出的圖 案，則是對應到二維準晶格結構。從實驗中發現 q = 3，4 and 6 的圖 案具有平移對稱性，q = 5，7 and 8 的圖案則具有準晶格結構，即具 有較高的旋轉對稱特性，並可產生出來其他基底的圖形。

因繞射圖案須在一特定有限距離內，才能夠很明顯地被觀察到，所 以傳播不變區間由實驗結果知道有限距離 zmax估計大約 400 mm 當 q 值較大時，高階的準晶結構圖案其特性呈現出奇特的萬花筒圖案，其 中央部分會呈現出跟貝賽爾光束相似。

使用一個正向的平面波與另一道準晶格光束的圖案作干涉來呈現 出相位的結構，並進行實驗去驗證，讓我們更加確定，準晶格結構的 圖案都隱含著相位結構。

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第五章 Super lattice 圖像產生方式

目前探討的圖樣除了 crystal、quasi-crystal 之外，還有一種也具有 排列規則的圖樣，即 Super lattice 圖像，此章節將針對 Super lattice 做一介紹並以光模擬實驗進行不同對稱組合的實驗，當光束干涉出來 的條紋圖樣變化更複雜時，結構呈現出獨樹ㄧ格圖樣，其豐富又多變 的圖樣也是一種 Kaleidoscope 結構光束之圖騰。

5.1 超晶格 Super lattice

超晶格是指兩個獨立但晶格相互作用的晶體，超晶格的波圖樣形成 大部分由兩個六角晶格質相互影響組成。經由光學儀器模擬的超晶格 圖樣，可以深入探究超晶格結構的特性而發揮其功能，並利用多重光 束干涉技術（Multi-beam interference technique）來產生光學的圖案，

目的是為了模擬各種不同的準週期結構（quasi-periodic structures）的

58

式子(1)為單一準晶格結構，此章節希望經由 quasi-crystal 的結構光束 上增加變化，若在準晶格結構光束上增加一相對角度，將原本的孔位 數加上新增相對角度，所產生的結構光束稱為 Super lattice，其中 K 的分佈如下： 相差一個角度的兩組準晶格再一次疊加後，即形成第一種 super lattice 形式的圖騰；第二種 super lattice 型式的圖騰，就是在原本的孔位數 加上新增 Circle bundle 孔位數，再將兩組準晶格作疊加，即形成第二 種 super lattice 形式的圖騰。

59

5.3 實驗架構

實驗架構(圖 5.3.1)，入射光源使用氦氖雷射帶有線性偏振且其波長 為 632.8nm，輸出功率為 20mW。利用光束擴束器使氦氖雷射的發散 角小於 0.1 mrad。實驗儀器架設與排列方式跟 quasi-crystal 圖像產生 不同之處在於 Mask 孔位數的分佈方式，在此章節的實驗中包含兩種 形式的 Super lattice，第一種形式是在 Mask 的環狀孔位數分佈上個別 新增相對角度孔位(圖 5.3.2)；第二種形式是在 Mask 的環狀孔位數分 佈上改變成 Circle bundle 孔位(圖 5.3.3)，實驗前先使用雷射加工在鋼 板設備（laser stencil-cutting machine）上鑿出應實驗須求的孔數分佈 之光罩，其中孔洞的半徑和環形的半徑分別為 0.1 mm 和 5.0 mm。透 鏡的焦距是 1000 mm，將孔數的大小與間距按照固定參數設定，透鏡 聚焦參數設定完成後，再使用數位相機記錄在透鏡後面成像的干涉圖 案。

60

圖 5.3.1 實驗架構

61

圖 5.3.2 Super lattice 形式一

圖 5.3.3 Super lattice 形式二(Circle bundle)

62

5.4 實驗討論

Super lattice 利用數個光源去干涉，兩光源間有相對相位角度，所 夾的角度會因圖像對稱性不同而有差異，選取的角度會隨著 Mask 所 分佈的環上孔數而不同，會產生 n 個干涉平面波，其數個干涉波的疊 加強度會顯影在接受器上，因增加相位角度上的差異所以圖樣會呈現 比 quasi-crystal 漂亮的對稱性，其晶格結構就是所謂的 Super lattice 圖樣，當有相位差時，所呈現的圖樣更加豐富而多變。以 3 的對稱性 來看，(如圖 5.4.1)(a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬所取的角度 10

度、20 度、30 度，若角度取決過大，則容易跟 3 對稱性重複或是變

63

(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.1 3 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

c 5 R  mm

a 50 R  m

  10  20   30

64

(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.2 3 對稱相位圖

65

(a) (b)

圖 5.4.3 4 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

66

其邊界已不明顯。(圖 5.4.3) (a)實驗操作與(a)理論模擬為 4 對稱圖 樣，其結構相當特別，不管所取的角度是多少，呈現的圖樣都相同。

(圖 5.4.4) (a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬為 5 對稱性圖樣，(圖 5.4.5)

為 5 對稱性相位圖，當 0 度時，是一個標準 5 對稱 quasi-crystal 圖樣，

當 10 度時，圖樣呈現旋轉對稱性，外為輪廓偏向線條狀，當 20 度時，

圖樣呈現旋轉對稱性，外為輪廓偏向圓滑狀，當 30 度時，圖樣呈現 旋轉對稱性，外為輪廓偏向圓滑狀，內部又延伸出自成一格的結構 美，(圖 5.4.6) (a)-(d)實驗操作與(a)-(d)理論模擬為 6 對稱性圖樣，因

孔位數變多會影響角度，所以在角度取決上會變小，當 0 度時，是一 個標準 6 對稱 quasi-crystal 圖樣，當 5 度時，圖樣呈現平移對稱性，

外為輪廓偏向線條狀，當 10 度時，圖樣呈現平移對稱性，外為輪廓 偏向圓滑狀，自成一個小範圍，當 15 度時，圖樣呈現平移對稱性，

外為輪廓偏向圓滑狀，自成一個小範圍，邊緣逐漸擴大，內部圓點變 少，因此可以清楚簡單的從干涉圖樣中分辨出分別是幾對稱圖形，經 由這樣的規則性ㄧ般也可以推測出高對稱性的圖樣。

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.4 5 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

 10 20  30

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.5 5 對稱相位圖

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.6 6 對稱相對角度實驗與理論結構圖案

  10 ^{ }15

  5

70

71

的平移、複製、旋轉跟鏡射原則，發現不同於平移分布的圖樣，又將 呈現出另一種晶格圖形，也經由(圖5.4.10)驗證了實驗跟模擬的一致 性，經由電腦模擬我們嘗試取了數百種圖樣，經過挑選較有趣與特別 的圖樣，再以實驗手法加以驗證，圖樣也都如理論模擬預期的呈現。

除此之外，我們也將A:群數固定；B:點數作為變動項，以8對稱實 驗模擬為例子，比較一系列的結構圖案(圖5.4.11)，發現這些圖樣相 當的有趣，只要稍微變化就會呈現令人驚豔的華麗圖騰，也呼應了我 們希望能藉由光學的設計實驗中呈現各式各樣的萬花筒圖斑，後續甚 至可以類推出其他不同方向位移、孔位數量偏移、方向切線以及在 Circle bundle中間另外加上不同半徑的圓點圖騰……等。

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(a) (b) (c) (d) 圖 5.4.7 理論模擬 Circle bundle-平移分布圖

(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 5.4.8 理論模擬與實驗模擬 Circle bundle-平移分布圖

A:2 B:2 A:4 B:2 A:4 B:4 A:5 B:8

A:群數

B:點數

A:2 B:2 A:4 B:2 A:4 B:4 A:5 B:8

73

圖 5.4.9 理論模擬 Circle bundle-旋轉分布圖

圖 5.4.10 理論模擬與實驗模擬 Circle bundle-旋轉分布圖

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(a) (b) (c)

(d) (e) (f) (g)

圖 5.4.11 8 對稱實驗模擬系列結構圖案 A:8

B:4 ~ 10

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5.5 結論

從以上的實驗與理論圖樣可以知道，Super lattice 的圖樣延伸 quasi -crystal 的精神，第一種形式在 q=3、4 and 6 的圖案具有平移對 稱性，q=5、7 and 8 的圖案則具有準晶格結構。因增加一相對相位角 度，所以會有兩個圖樣相互干涉，在大範圍是 quasi-crystal 的圖樣，

在小範圍則是另一層 quasi-crystal 的圖樣，但變化就比 quasi-crystal 更加豐富。此實驗經由低對稱推演出高對稱圖騰，甚至到更高對稱性 時可以模擬出 Bessel function 的圖樣；第二種形式即 Circle bundle，

在圖形形成的設計運用了幾何對稱基本的平移、複製、旋轉跟鏡射原 則，所呈現出的華麗圖樣也都不盡相同，只要稍微變化就會有令人驚 豔的圖騰，也呼應了我們希望能藉由光學的設計實驗中呈現各式各樣 的萬花筒圖斑，後續甚至可以類推出其他不同方向位移、孔位數量偏 移、方向切線以及在 Circle bundle 中間另外加上不同半徑的圓點圖 騰……等。

因雷射儀器經由傅立葉轉換，由遠場轉換至近場，將系統的不穩 定排除，方便我們揭取清晰無雜質的圖樣，利於實驗分析，圖樣幾乎 是完美呈現，利用光學方法產生的 Super lattice 結構之光束可以用來 發展新的材料，因此利用光學方法產生的準晶格結構之光束在應用層 面上有很大的發展性。

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第六章 結論與未來展望

6.1 結論與未來展望

本實驗經由光學模擬從 Quasi-crystal 圖形的產生到 Super lattice 圖 像並延伸設計 Circle bundle 圖形，其呈現的圖形值得去探討，在未來 工作上甚至可以類推出其他不同方向位移、孔位數量偏移、方向切線 以及在 Circle bundle 中間另外加上不同半徑的圓點圖騰，在 Circle bundle 圖騰中間另外加上不同半徑的圓點(如圖 6.1.1)(a)-(c)理論模擬 與(a)-(c)實驗模擬，中間部分多增加一點光源作干涉，因為不同半徑 的圓點相互影響所造成的干涉，圖形也變複雜，跟中間無點光源干涉 的圖形又不相同。

在(如圖 6.1.2)當 z 的距離不同時，即透鏡距焦的距離不同時，所 干涉呈現出的圖樣並不受影響。

77

(a) (b) (c)

(a) (b) (c)

圖 6.1.1 平面波與準晶格干涉圖案

q=3 q=5 q=7

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(a) (b) (c) (d)

(a) (b) (c) (d)

圖 6.1.2 不同距離下干涉圖案

q=5

Z=0.11 mm

Z=0 Z=0.19 mm Z=0.25 mm

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參考文獻

[1] Hardy, G.H., "A Mathematician’s Apology", Cambridge University Press, Cambridge (1977).

[2] E. Makovicky, "Five-fold Symmetry", World Scientific, 67–86., Singapore- London (1992).

[3] P. J. Lu and P. J. Steinhardt, "Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture", Science 315, 1106–1110 (2007).

[4] T. Ishimasa, H.U. Nissen, and Y. Fukano, "New ordered state between crystalline and amorphous in Ni-Cr particles", Phys Rev Lett 55 (1985).

[5] P. H. Wright and J. R. Saylora, "Patterning of particulate films using Faraday waves", Review of Scientific Instruments, volume 74, Number 9 (September 2003).

[6] L. Bindi, P. J. Steinhardt, N. Yao, and P. J. Lu, "Natural quasi-crystals

" ,Science 324,1306-1309 (June 10 2009).

[7] J. Li, Y. Liu, X. Xie, P. Zhang, B. Liang, L. Yan, J. Zhou, G. Kurizki, D. Jacobs, K. S. Wong, and Y. Zhong," Fabrication of photonic crystals with functional defects by one-step holographic lithography", OPTICS EXPRESS,12899-12904 (August 18 2008).

[8] X. Wang, C. Y. Ng, W. Y. Tam, C. T. Chan, P. Sheng, Adv. Mater.

15,1526(2003).

[9] J. Durnin, J. J. Miceli, J. H. Eberly,”Duffractive-free beams,”Phys.

Rev. Lett. 58, 1499-1501(1987).

[10] J. Durnin,”Exact solutiond for non-diffracting beam,”J. Opt. Soc.

Am. A., 4(4),657(1987).

80

[11] V. V. Kotiyar, S. N. Khonina, and V. A. Soifer, “Algorithm for the generation of non-diffracting Bessel modes,”J.Mod.Opt. 43, 1231-1239(1995).

[12] C. Paterson and R. Smith, “Higher-order Bessel waves produced by axicon-type computer-generated holograms,”Opt.Commun. 124, 121-130(1996).

[13] C. Paterson and R. Smith, “Helicon waves: propagation-invariant waves in a rotating coordinate system,”Opt. Commun. 124, 131-140(1996).

[14] L. Niggl, T. Lanzl, M. Maier, “Properties of Bessel beams generated by periodic gratings of circular symmetry,”J.Opt. Soc. Am. A 14, 27-33(1997).

[15] K. M. Iftekharuddin, A. A. S. Awwal, M. A. Karim,

“Gaussian-to-Bessel beam transformation using a split refracting

“Gaussian-to-Bessel beam transformation using a split refracting

在文檔中 光學中萬花筒圖斑的形成 (頁 60-0)