本論文結構

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陣中重複，具有放大這些對稱性的效果，使這些對稱性顯示在肉眼可 見的晶體上。

一個正方形繞著它的中心轉動 90 度後看上去和未轉動一樣，但如 轉動 120 度，它的方位就變了。它具有轉動 90 度的徑向對稱，但沒 有轉動 120 度的。正方形有對稱的轉動的四重軸（4×90 度-360 度），

但沒有三重軸（3×120 度-360 度）。例如海星有對稱的五重軸。正五 邊形不可能配合成全方位都平滑的圖形。因此，如果地板是用正五角 形瓷磚拼成，這個瓷磚地板必然有空隙。僅僅是具有一重、二重、三 重、四重、六重轉動對稱的晶體能夠有平移對稱性。

曾有植物學家分析，發現花長得愈對稱，不但愈得蟲媒的青睞，還 製造最多的花蜜跟花粉；不對稱的花，就算幸運授了粉，長出來的種 子也容易夭折。

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2.2. 萬花筒圖騰

Crystal 圖樣就是最簡單的 Kaleidoscope(圖 2.2.1)圖樣，萬花筒 (Kaleidoscope)是在 1816 年，由蘇格蘭物理學家布魯斯特爵士（Sir David Brewster）所發明。布鲁斯特主要從事光學和光譜研究，在童

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(a)

(b)

(c)

圖 2.2.1 各種不同的萬花筒圖樣

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圖 2.2.2 萬花筒示意圖

鏡子 實體

反射虛擬物件 鏡子

虛擬鏡面

反射虛擬物件

反射虛擬物件 虛擬鏡面

虛擬鏡面

虛擬鏡

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與本體的組合圖形在藉由 L2 反射產生出第二個倒影；另外 L2 藉由 第二倒影的虛擬鏡面的反射在 L2 的 180 度產生了另一個虛擬鏡面，

第二倒影也藉由此虛擬鏡片產生出第三倒影。這樣產生的圖樣非常的 美麗。

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2.3. Tiling 圖樣與伊斯蘭教圖樣

Tiling 圖樣是利用反射對稱來產生圖形，它不具有平移對稱特性，

但卻有明顯的旋轉對稱的結構。於 1976 年由 Penrose 提出ㄧ種簡單 的方法產生出五對稱圖形(圖 2.3.1)，利用「matching rules」來建構其 基底圖形，並發現用五邊形建構圖形時，會有三種特殊的形狀(星形、

船形與菱形)穿插在其五邊形中，後來又發現了 P2 與 P3 的兩種不同 的組成方式，P2 是以鳶形及箭形所組成，而 P3 是由兩種不同角度之 菱形所組成。一個 「Penrose tiling」有非常值得注意的特性，尤其是 下列幾點：

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圖 2.3.1 Penrose 的方法產生出五對稱圖形

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(a)

(b)

圖 2.3.2 (a) 綠寶石的分子結構 (b) 伊斯蘭教圖騰

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(a)

(b)

圖 2.3.3 (a) 三價鐵輪的分子結構 (b) 伊斯蘭教圖騰

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在中世紀伊斯蘭建築物的外墻都有幾何星形與多邊形的 girih 圖 案。”girih 瓷磚法”證實伊斯蘭在設計上揭示了重要的數學突破，到了 15 世紀這些瓷磚圖案變得特別複雜，其中有些圖案被知名的數學家 彭若斯在 1970 年提出而聞名於世的「準晶體」（quasicrystal）結構，

在 20 世紀 70 年代初 Roger Penrose 首先發現有名的 Penrose 圖案，在 這項研究中，如果朝各方向無限延伸出去，圖樣永遠不會重複出現，

這正是準晶體完美的結構特性。

15 quasi-crystal 圖案，包括其 5、7 及更高階旋轉對稱圖形。第一個發現 有旋轉對稱的礦物是利用急速冷卻鋁錳合金產生出 20 對稱的準晶格

16 墨(Graphite))有些特別，因為 C60 不是化合物，而是一種單質，但它 從結構和性質上卻表現出了許多與平面烯烴相類似的化學性質，如果

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(a)

(b)

圖 2.4.1 (a) Khatyrkite X-射線粉末衍射測量圖 (b) A. Khatyrkite-bearing 礦物原貌

B.純 Khatyrkite 礦物

C. Khatyrkite 穿透式電子顯微鏡測量圖

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名為（巴克明斯特·富勒）(圖 2.4.2)因拱形圓頂建築是由美國著名設 計師巴克敏斯特·富勒(Richard Buckminster Fuller)設計的，Kroto 等人 為了紀念這位偉大建築學家，所以將 C60 命名 Buckminsterfullerene，

簡稱為富勒烯 (Fullerene)或巴克球（Buckyball）。後來，隨著 C60 系列及其衍生物的不斷發現、製備和研究，於是便將包括 C60 在內 由偶數個碳原子形成的籠狀分子通稱為 Fullerene。現在，Fullerene 的含義已遠遠超出這個範圍。

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圖 2.4.2 富勒烯分子結構

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2.5. 克拉尼圖形與 Faraday wave

德國物理學家克拉尼（Ernst Florenz Friedrich Chladni, 1756-1827）

所創造的克拉尼圖形： 的美麗圖案，即著名的克拉尼圖形(Chladni Pattern)。

利用以下的方法而產生克拉尼圖形：

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像。利用喇叭震動四方形的金屬板，然後在上灑上沙所形成的圖案，

因為不同的共振態會讓不同的位置有不同的震動大小，所以沙有不同 的分佈。一般來說沙會聚集在震動的節線上，也就是震動較小的地 方。所以觀察沙的分佈就可以知道共振大約長什麼模樣，這些震動模 式，跟樂器上聲音跟樂器的共振所發出的音色的基礎原理相同，也可 以了解為什麼樂器會有那麼多特殊的聲音 !

繩波在共振頻率震動時會產生一維駐波現象，不動的點稱為節點 (nodes)，反節點(antinodes)為振幅最大的點，在一條線上傳遞的波，

當遇到障礙產生反射時，與原來的行進波互相干擾產生駐波，就可以 在線上看到振動劇烈的「波腹」和沒有振動的「波節」。

如果在平面上產生振動，當振動遇到邊緣反射時，也會和原來的波 產生駐波，在平面上灑些細砂，細砂受到振動之後，便會在波節的地 方聚集產生振沙圖形(圖 2.5.1)。另一種水槽的參量共振現象最早是由 法拉第(Faraday)發現，將水槽水平置於ㄧ振動台上並在外加驅動下沿 垂直方向作簡諧振動。當振幅超過一臨界值時，液面便產生規則駐波 圖形，其驅動頻率接近系統原來頻率的兩倍，並發現不同的流體所產 生的圖形也不同(圖 2.5.2)，其圖案多樣生動而有趣。

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(a)

(b)

圖 2.5.1 克拉尼振沙圖形

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(a)

(b)

圖 2.5.2 法拉第表面波振水圖形

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第三章 電腦輔助產生 Quasi-crystal 圖像

Quasi-crystal 圖樣可利用數個光源的干涉來產生，光在傳播過程 中，如果遇到與其波長尺寸相差不大的障礙物（或小孔、窄縫等）時，

光會明顯偏離直線傳播的方向而發生衍射，其原理與全像微影技術相 似，都是利用數個光源去干涉，再將其以定量的角度去旋轉，會產生 n 個干涉平面波，其數個干涉波的疊加強度顯影在接受器上[7]，因此 多重光束干涉技術（Multi-beam interference technique）[8]常被用來產 生 光 學 的 圖 案 ， 目 的 是 為 了 模 擬 各 種 不 同 的 準 週 期 結 構

（quasi-periodic structures）的晶格。

3.1. Diffracting and non-diffraction

繞射是指光在行進過程中，通過小孔或遇到障礙物，造成波動的疊 加，形成亮暗相間條紋的現象。繞射的種類依照通過小孔的維度，可 分為圓孔繞射(circular aperture diffraction)與單狹縫繞射(single slit diffraction)。依照發明科學家使用不同方法產生的繞射，可分為布拉 格繞射(Bragg diffraction)、夫琅禾費繞射(Fraunhofer diffraction)、菲涅 耳繞射(Fresnel diffraction)。

繞射的原理根據海更士(Huygens)原理，下一個波的行為，可以由 此波當作新波源演化而成。因此，當波長愈長、障礙物愈小或小孔與

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波長接近時，因為相對的波動性顯著，因此容易觀察到繞射現象。若 行進波被與波長大小相當或小於波長的物體所阻擋，則行進波會繞過 這個物體繼續前進，當行進波遇到與波長大小相當或小於波長的孔 時，則會以此孔為中心，形成環型波繼續前進。楊格(Thomas Young) 在1803 年第一次以雙狹縫干涉(double slit interference)實驗證實光的 波動性，後來也作成單狹縫繞射。楊格的單狹縫實驗，產生的亮暗條

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值得注意的是，如果狹縫水平放置，則繞射條紋會成鉛直方向；如果 狹縫鉛直放置，則繞射條紋會成水平方向，這是因為繞射條紋會沿著

圖3.1.1 兩個單狹縫的繞射條紋

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受限制的方向展開，因此會垂直狹縫。

貝賽爾光束(Bessel beam) [9-14]與貝塞爾高斯光束(Bessel Gaussian) [15]沿著光軸方向具有近似恆定光照度而光場的橫截面具有窄光束 分佈，這兩種光束具有傳播距離很遠而不發散的特性所以被稱為無繞 射光束(non-diffraction beam)。

早 在 1987 年 第 零 階 貝 塞 爾 光 場 分 佈 之 無 繞 射 光 束 被 提 出 來 [9,10]，其特點是在無邊界自由空間中傳播時，與光軸垂直的每個橫 向取樣平面的光場照度峰值總能保持相同，橫向光照度分佈非常集 中，此照度分佈具有很強的空間侷限性。這種光場在傳播的過程中並 不會發生發散的現象，因此這類光束被稱作無繞射光束。此光束具有 主光斑尺寸小的特點，而且具有較高的照度峰值、方向性好與傳播距 離遠等優點。在實際的光學系統中，元件孔徑所產生的邊界條件是存 在的，所以無法得到所需的無繞射光束。然而從電腦模擬和實驗結果 證明在有限孔徑的條件下，近似貝塞爾分佈的光束仍然可以傳播到相 當遠的一段距離並保持無繞射光束的主要特性。可以利用幾何軸向錐 鏡(axicon)[16]、全像片[17]、圓對稱周期性光柵[18]、繞射式軸向錐 鏡[19]、繞射光學元件[20]……等都可用來產生近似的無繞射光束。

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3.2. singularity

Singularities 是指無法明確定義某些參數的位置，(如圖 3.2.1)圓形 色盤的圓心，無法明確定義顏色，即為Singularities。

研究 Singularities 基本上是因為它們普遍存在並且結構穩定。在光 學中，奇異點可以分為phase singularities 與 polarization singularities。

檢視這些 Singularities 在當代物理其應用範圍相當有趣而且被現代命 名為奇點光學(Singular Optics)。通常相位奇異點是在平面上的點和在

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圖3.2.1 圓形色盤

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除此之外，光學旋渦的自發形成結構在雷射系統固體雷射上也有被 報導，Na2 雷射和氫核被植入的垂直洞表面散發的雷射。旋渦形成的 機制在氫核被植入的VCSEL 由於横模鎖，協助由雷射非線形性，幾 乎退化Lagurre 高斯方式。不同氫核被植入的 VCSEL，氧化物的近場 横模VCSELs 被顯示類似於閉合量子台球波函數，是純粹真實的並且 3.2.2 )(a)-(c)在(圖 3.2.2)(a')-(c')被描述。它能被看見旋渦和來源有他們 的Poincaré index 為 1 和一個馬鞍的 Poincaré index 為-1。事實上电流

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密度機率是一種較常見的向量場。這相位函數( yx, )的位置對應於電 流密度^j( yx, )向量奇異點被稱為關鍵點。這關鍵點相位提升旋渦、來 源、水槽和馬鞍在電流密度是奇異點、極值和馬鞍。假設這向量場顯 示在(圖 3.2.2) (a)-(c)是一些波函數的电流密度機率。我們描述波函數 對應的相位結構，包含相位奇異點、最大值和馬鞍，分別在(圖 3.2.3) (a)-(c)。總而言之，當某一向量場被表示為純量函數的梯度，這些關 鍵點純量函數變的重要。向量奇異點也廣範多樣地介入了物理。對於 光波，向量奇異點是被孤立，在一個平面是不動的點，這電向量的方 向，在一個線性被對立的真實向量場無法明確被定義。向量奇異點的 特點在於空間結構和極化狀態相互關係以雷射方式實驗性地被觀

密度機率是一種較常見的向量場。這相位函數( yx, )的位置對應於電 流密度^j( yx, )向量奇異點被稱為關鍵點。這關鍵點相位提升旋渦、來 源、水槽和馬鞍在電流密度是奇異點、極值和馬鞍。假設這向量場顯 示在(圖 3.2.2) (a)-(c)是一些波函數的电流密度機率。我們描述波函數 對應的相位結構，包含相位奇異點、最大值和馬鞍，分別在(圖 3.2.3) (a)-(c)。總而言之，當某一向量場被表示為純量函數的梯度，這些關 鍵點純量函數變的重要。向量奇異點也廣範多樣地介入了物理。對於 光波，向量奇異點是被孤立，在一個平面是不動的點，這電向量的方 向，在一個線性被對立的真實向量場無法明確被定義。向量奇異點的 特點在於空間結構和極化狀態相互關係以雷射方式實驗性地被觀