內差法取點應用和驗證

經過前面章節對內差法的詳細介紹後，本章節將針對內差法因須 修正場點位置不同而有不同的取點方法，導致模態反射及穿透係數會 有些微差異的現象，並驗證處理混合座標交界面上以四點內差為例會 因取點方式不同而使得模態反射係數與透射係數產生些微的差異：

介電質彎曲波導之參數 波導 x 方向點數Nx；

內徑

R

=3

μ m

，彎曲角度

φ

=45 。 折射率對比

n

_cor

： n

_cld =1.5 1

：

。

1.5 1

cor cld

n ：n = ：

Nx

R φ

圖 3.7-1 內差驗證參數解析圖

在此驗證以四點內差在混合座標交界面有限差分計算所需的點在 不同取點的方法下，比較前三個模態的反射係數 r 及透射係數 t，然 而取點的方法共有六種：

ㄧ、All polar

：

以直角座標計算區求解混合座標交界面場值所需圓柱 座標計算區的點，將直接以直角座標點取代近似求解。

二、All polar(IP)：以直角座標計算區求解混合座標交界面場值所需 圓柱座標計算區的點，將利用內差法求出並進而求得其場值。

三、All Cartesian

：

以圓柱座標計算區求解混合座標交界面場值所需 直角座標計算區的點，將直接以圓柱座標點取代並近似求解。

四、All Cartesian(IP)

：

以直角座標計算區求解混合座標交界面場值 所需圓柱座標計算區的點，將利用內差法求出並進而求得其場 值。

五、Half polar and Cartesian

：

求解混合座標交界面場值所需的點，

將利用ㄧ半直角座標一半圓柱座標計算區的點來近似求解。

六、Half polar and Cartesian(IP)

：

求解混合座標交界面場值所需的 點，將利用內差法求出並進而求得其場值。

以下為混合座標點經六種內差方法修正後，前三個模態的反射係數 R 與穿透係數 T 比較：

表 3.7-1 六種內差修正模態反射、穿透係數比較(IP：interpolation) method All polar All Cartesian Half polar and

Cartesian

R T R T R T Mode1 0.0479 0.9768 0.0350 0.9768 0.0344 0.9769 Mode2 0.0265 0.1634 0.0290 0.1652 0.0284 0.1647 Mode3 0.0121 0.0101 0.0126 0.0104 0.0132 0.0116 method All polar(IP) All Cartesian(IP) Half polar and

Cartesian(IP)

R T R T R T Mode1 0.0015 0.9790 0.0054 0.9788 0.0058 0.9788 Mode2 0.0019 0.1390 0.0014 0.1399 0.0012 0.1397 Mode3 0.0005 0.0070 0.0010 0.0073 0.0012 0.0079

接下來將探討當折射率

n

_cor

： n

_cld =1.5 1

：

、內徑

R

=3

μ m

、彎曲角度 時。將場點距離

φ

=30 Δ Δ 由原本 100% 慢慢縮小至 10%，經六種

z

,

φ

內差方法修正後，其基模的模態反射、穿透係數的比較關係圖：

表 3.7-2 Δ Δ

z

,

φ

與場點數變化對照表 Z 方向

點距

z

Z 方向 場點數量

φ

方向

點距

φ φ

方向

場點數量

0.0029 1000 0.0006 455

0.0058 500 0.0012 228

0.0087 334 0.0017 152

0.0116 250 0.0023 114

0.0144 200 0.0029 91

0.0173 167 0.0035 76

0.0202 143 0.0040 65

0.0231 125 0.0046 57

0.0260 112 0.0052 51

0.0289 100 0.0058 46

All polar：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0.022

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.029

圖 3.7-2 All polar fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All polar(IP)：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

1.5

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

圖 3.7-3 All polar (IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All Cartesian：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0.014

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.028

圖 3.7-4 All Cartesian fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All Cartesian(IP)：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

圖 3.7-5 All Cartesian (IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

Half polar and Cartesian：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0.014

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.028

圖 3.7-6 Half polar and Cartesian fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

Half polar and Cartesian(IP)：

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

0

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

0.9

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

圖 3.7-7 Half polar and Cartesian(IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

以下為折射率 時經六種內差方法修正後的能量場形示 意圖：

1.5 1

cor cld

n ： n

=

：

All polar(IP) All polar

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

All Cartesian(IP) All Cartesian

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Half polar and Cartesian(IP) Half polar and Cartesian

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

將折射率對比變更為 2.5 1

n

_cor

： n

_cld =

：

，重新對混合座標交界面場點 在六種內差方法修正下，其前三個模態的反射係數 R 及穿透係數 T 比較關係如下表：

表 3.7-3 六種內差修正模態反射、穿透係數比較(IP：interpolation) method All polar All Cartesian Half polar and

Cartesian

R T R T R T Mode1 0.0347 0.9950 0.0261 0.9950 0.0261 0.9950 Mode2 0.0308 0.1588 0.0404 0.1611 0.0399 0.1610 Mode3 0.0041 0.0143 0.0026 0.0137 0.0024 0.0133 method All polar(IP) All Cartesian(IP) Half polar and

Cartesian(IP)

R T R T R T Mode1 0.0002 0.9961 0.0042 0.9960 0.0043 0.9960 Mode2 0.0008 0.1147 0.0051 0.1160 0.0046 0.1159 Mode3 0.0007 0.0089 0.0003 0.0085 0.0004 0.0083 以下探討當折射率

n

_cor

： n

_cld

= 2.5 1 ：

、內徑

R

=3

μ m

、彎曲角度 0.0017 1000 0.0004 635 0.0035 500 0.0008 317 0.0052 334 0.0012 212 0.0069 250 0.0016 159 0.0087 200 0.0021 127 0.0104 167 0.0025 106 0.0121 143 0.0029 91 0.0139 125 0.0033 79 0.0156 112 0.0037 71 0.0173 100 0.0041 63

All polar：

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.012

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.03

圖 3.7-9 All polar fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All polar(IP)：

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.012

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

圖 3.7-10 All polar (IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All Cartesian：

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0

0.005 0.01 0.015 0.02

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.025

圖 3.7-11 All Cartesian fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

All Cartesian(IP)：

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.007

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

圖 3.7-12 All Cartesian (IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

Half polar and Cartesian：

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.007

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0

0.005 0.01 0.015 0.02

the length of dz(micrometer) mode reflection coefficient

2 4 6 8 10 12 14 16

the length of dz(micrometer) mode transmission coefficient

0.025

圖 3.7-13 Half polar and Cartesian fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

Half polar and Cartesian(IP)：

圖 3.7-14 Half polar and Cartesian(IP) fundamental mode 反射與穿透係數比較關係圖

以下為折射率 時經六種內差方法修正後的能量場形示 意圖：

2.5 1

cor cld

n ： n

=

：

All polar All polar(IP)

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

All Cartesian(IP) All Cartesian

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

Half polar and Cartesian Half polar and Cartesian(IP)

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

z in micrometers

x in micrometers

Field of a point source

-1 0 1 2 3 4 5

由上述驗證過程可以得知，在混合座標系統交界面取場點做內差

的應用中，以場點之間與內差所需修正有限差分係數的場點距離遠近 做為取點的考量因素，取最接近須修正場點的三點或四點進行內差，

以達到最佳內差修正效果。

在文檔中 混合座標系統、頻域有限差分之探討與應用 (頁 38-51)