頻域有限差分法分析彎曲波導

4.1 前言

本章節將以頻域有限差分來分析微波型式的彎曲波導及介電質 彎曲波導，並探討在不同曲率半徑、彎曲角度的變更下與混合座標系 統的處理情形(介面內差應用、邊界條件處理)，觀察其能量反射、穿 透係數及輻射損耗的變化情形，最後以數線圖及能量場形圖型式完整 呈現出來。

4.2 微波彎曲波導基本簡介

在ㄧ般的微波彎曲波導中，以 H-bend 與 E-bend 型式的波導為最 常使用的類型，如圖 4.1-1 所示：

ρ φ

z

圖 4.1-1、彎曲波導結構圖(I)

圖文解說：對照圖 4.1-1 簡單介紹 圖4.1-1 H-bend結構：

為TE mode傳播，因磁場平躺於

ρ φ

, 平面並沿

φ

方向傳播，故此 結構又稱H-bend。又因為英文Hard 字有相同的H 起頭，H-bend 又 以Hard-bend 來幫助記憶。

圖4.1-1 E-bend結構：

為TM mode傳播，因電場平躺於

ρ φ

, 平面並沿

φ

方向傳播，故此 結構又稱E-bend。又因為英文Easy 字有相同的E 起頭，E-bend 又以 Easy-bend 來幫助記憶。

4.3 微波彎曲波導模擬分析

利用頻域有限差分對微波彎曲波導進行模擬分析。以對波導內能 量波傳遞的情形而言，我們將分別以波的傳遞型式：垂直極化(H-bend, 如圖 4.3-1)以及平行極化(E-bend, 如圖 4.3-2)波來做分析探討，最後 再依波導內不同曲率半徑及彎曲角度的變更下，比較其能量反射與能 量穿透係數的變化情形。

圖 4.3-2、E-bend 波導結構圖 A

B

ρ z

φ y

x z

側視圖 圖 4.3-1、H-bend 波導結構圖

A

B

x

'

y

'

z

'

側視圖

ρ z

φ

4.4 頻域有限差分法分析彎曲波導

因為微波彎曲波導的能量場在三維空間中傳輸過程時一個維度 能量形式不變，所以我們可以將原本三維問題簡化成二維問題再分析 計算。由於輸出的彎曲波導為一對稱結構如圖 4.4-1，可以先分析一 半結構如圖 4.4-2 。最後，利用邊界條件在半彎曲波導交界面以擺上 電、磁牆各做一次分析後，再將二種條件算出之場量作平均計算即可 將原本波導場量完整且正確求得，將其結合成完整彎曲波導結構分 析，這樣在頻域有限差分運用中可有效減少計算區域進而大大地減少 矩陣計算量。

EW EW/MW

利用頻域有限差分方法在微波彎曲波導的分析過程中，我們將圖 4.4-2 彎曲波導分成直角與圓柱座標二區分析。因直角座標部分 x 方向 及圓柱座標部分 方向場函數形式不變，所以計算式由原本三維場形

z

圖 4.4-1 微波彎曲波導側視分析圖 0 < < 2

φ φ

0

ρ

0

EW B

b a

y ρ

z

x z φ

分析，可以簡化成二維場形來計算。所以在直角座標部分僅考慮 方向場函數，而圓柱座標部份僅考慮

y

、

z ρ φ

、 方向場函數。再來利用

Helmholtz equation： 搭配邊界條件計算頻域有限差分所設

之場值，最後再模擬其能量場形分佈及比較能量反射與能量穿透係 數。

2 2

(∇ +

k E

) = 0

利用頻域有限差分模擬分析時我們先將微波彎曲波導放入計算 區中並將分為四區彎曲波導視為直線波導來計算如圖 4.3-3。接下 來，利用二維有限差分觀念在彎曲波導內設點來計算模態與場量，最 後再利用內差法三點或四點公式處理混合座標系統交界面場點值以 修正有限差分的場點係數，最後再計算出彎曲波導的場值分佈位置，

即可將原本直線波導場量分佈圖以完整的彎曲波導形式呈現出來。

另外，在微波彎曲波導的三維問題中，由於計算相當複雜，一般 來說，無論 H-bend 或 E-bend 都可以解出五個的場分量值且因為向量 場的 z 分量無法滿足邊界條件，故利用 Ishimaru 教科書中 Hertz vector 與電磁場的相關性，我們可以使用單一分量來解這三維的向量問題，

進而算出電磁場五個分量的值(其推導詳細過程請參閱附錄)。

圖 4.4-2、半彎曲波導側視分析 EW

0 < <

φ φ

0

EW

ρ

0

I II

EW/MW

y

a b

B

ρ z

x z φ

圖 4.4-3 彎曲波導設點示意圖

EW EW

EW

EW

EW/MW

Ⅰ

Ⅱ

EW/MW

Ⅲ

Ⅳ

EW EW

EW EW

EW/MW

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

直角座標區

直角座標區 圓柱座標區

4.5 微波彎曲波導的模擬計算

依頻域有限差分(FD-FD)觀念來分析 H-bend 與 E-bend 型式的微 波彎曲波導在不同曲率半徑與彎曲角度的變更下，其能量反射、穿透 係數與輻射損耗的變化情形(波導內折射率為均ㄧ介質 )，並比較 在混合座標系統中利用內差法處理交界面前後能量反射與穿透係數 的差異性。

1

n

=

以下是利用頻域有限差分方法計算 H-bend 波導所求得之能量反 射、穿透係數與輻射耗損的變化情形在不同曲率半徑及彎曲角度下的 比較關係圖：

表 4.5-1 H-bend 波導各項參數設計值：

示意圖 如圖 4.5-1

模態 TE mode

曲率半徑R_ρ 2~7 (inch)

波導彎曲角度φ 30 , 60 , 90 , 180

頻率f_c 2.45GHz

波導高度LA 3.4 (inch)

波導寬度LB 1.7 (inch)

圖 4.5-1 H-bend 波導結構圖

x

'

y

'

z

'

ρ

z φ

A

B

側視圖

φ

=30 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

H-bend field figure

20 40 60 80 100 120 140 160

Z position(inch)

X position(inch)

H-bend field figure

-5 0 5 10

φ

=30 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

圖 4.5-4 H-bend φ=30 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

1

圖 4.5-5 H-bend φ=30 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=60 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

H-bend field figure

50 100 150 200 250

Z position(inch)

X position(inch)

H-bend field figure

-5 0 5 10 15

φ

=60 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

圖 4.5-8 H-bend φ=60 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

圖 4.5-9 H-bend φ=60 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=90 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

H-bend field figure

50 100 150 200 250 300

10 20 30 40 50 60 70 80

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

圖 4.5-10 H-bend φ=90 FD-FD 計算區能量場形圖

Z position(inch)

X position(inch)

H-bend field figure

-5 0 5 10 15

-5 0 5 10 15

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15

圖 4.5-11 φ=90 H-bend 能量場形圖

φ

=90 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

圖 4.5-12 H-bend φ=90 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

1

圖 4.5-13 H-bend φ=90 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=90 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

H-bend field figure

100 200 300 400 500

10

Z position(inch)

X position(inch)

H-bend field figure

-5 0 5 10 15

φ

=180 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

圖 4.5-16 H-bend φ=180 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (H-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (H-bend)

1

圖 4.5-17 H-bend φ=180 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

接下來利用頻域有限差分方法計算 E-bend 波導所求得之能量反 射、穿透係數與輻射耗損的變化情形在不同曲率半徑及彎曲角度下的 比較關係圖：

表 4.5-2 E-bend 波導各項參數設計值：

示意圖 如下

模態 TM mode

曲率半徑 R_ρ 4~7 (inch) 波導彎曲角度

φ

30 , 60 , 90

頻率

f

_c 2.45GHz

波導高度 LB 1.7 (inch) 波導寬度 LA 3.4 (inch)

圖 4.5-18 E-bend 波導結構圖

ρ z

φ y

x z

A

側視圖 B

φ

=30 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

E-bend field figure

20 40 60 80 100 120 140

Z position(inch)

X position(inch)

E-bend field figure

-5 0 5 10

φ

=30 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

圖 4.5-21 E-bend φ=30 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

0.9997 0.9998 0.9998 0.9999

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

0.9999

圖 4.5-22 E-bend φ=30 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=60 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

E-bend field figure

20 40 60 80 100 120 140 160 180

5 10 15 20 25 30

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

圖 4.5-23 E-bend φ=60 FD-FD 計算區能量場形圖

Z position(inch)

X position(inch)

E-bend field figure

-5 0 5 10 15

0 5 10 15

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

圖 4.5-24 φ=60 E-bend 能量場形圖

φ

=60 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

圖 4.5-25 E-bend φ=60 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

1

圖 4.5-26 E-bend φ=60 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=90 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

E-bend field figure

50 100 150 200

Z position(inch)

X position(inch)

E-bend field figure

-5 0 5 10 15

φ

=90 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統交

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

圖 4.5-29 E-bend φ=90 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

1

圖 4.5-30 E-bend φ=90 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

φ

=180 時，其微波彎曲波導的能量場形圖如下：

Z position

X position

E-bend field figure

50 100 150 200 250 300 350

Z position(inch)

X position(inch)

E-bend field figure

-5 0 5 10 15

φ

=180 時，其能量反射、穿透係數與曲率半徑在經過混合座標系統

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

圖 4.5-33 E-bend φ=180 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(I)

WG inner Radius (inch) power reflection coefficient (E-bend)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

WG inner Radius (inch) power transmission coefficient (E-bend)

1

圖 4.5-34 E-bend φ=180 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖(II)

4.6 介電質彎曲波導的模擬計算

依頻域有限差分(FD-FD)觀念來分析 TE case 及 TM case 型式的 介電質彎曲波導在不同曲率半徑與彎曲角度的變更下，且混合座標系 統交界面利用內差法修正有限差分場點係數後，並觀察能量反射與穿 透係數與輻射損耗的變化情形。其中，在波導上下以透明吸波牆作為 邊界條件。

以下是利用頻域有限差分方法計算介電質彎曲波導在 TE case 條 件下所求得之能量反射、穿透係數與輻射耗損的變化情形在不同曲率 半徑及彎曲角度下的比較關係圖：

表 4.6-1 TE case 介電質彎曲波導各項參數設計值：

模態 TE mode

折射率 core：cladding 1.5：1

波長λ 1.3

μ

m

每波長點數 N_λ 30

曲率半徑 R_ρ 1~10

μ

m

波導彎曲角度

φ

30 , 60 , 90 , 180

cladding1：core：cladding2 5：2：7

1

Wcld

2

Wcld

Wcor

cladding2

R_ρ

cladding1 core

圖 4.6-1 TE case 介電質彎曲波導分析示意圖

φ

=30 時，其能量場形及能量反射、穿透係數與曲率半徑比較關係圖：

z in micrometers

x in m ic rom et er s

Field of a mode source (TE case)

-2 0 2 4 6

WG inner Radius (micrometer) power reflection coefficient (TE case)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

WG inner Radius (micrometer) power transmission coefficient (TE case)

圖 4.6-3 TE case φ=30 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖

φ

=60 時，其能量場形及能量反射、穿透係數與曲率半徑比較關係圖：

z in micrometers

x i n micr o m e ter s

Field of a mode source (TE case)

-2 0 2 4 6

WG inner Radius (micrometer) power reflection coefficient (TE case)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

WG inner Radius (micrometer) power transmission coefficient (TE case)

圖 4.6-5 TE case φ=60 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖

φ

=90 時，其能量場形及能量反射、穿透係數與曲率半徑比較關係圖：

z in micrometers

x i n micr o m e ter s

Field of a mode source (TE case)

-4 -2 0 2 4 6 8

WG inner Radius (micrometer) power reflection coefficient (TE case)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

WG inner Radius (micrometer) power transmission coefficient (TE case)

圖 4.6-7 TE case φ=90 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖

φ

=180 時，其能量場形及能量反射、穿透係數與曲率半徑比較關係 圖：

z in micrometers

x in m ic rom et er s

Field of a mode source (TE case)

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

WG inner Radius (micrometer) power reflection coefficient (TE case)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

WG inner Radius (micrometer) power transmission coefficient (TE case)

圖 4.6-9 TE case φ=180 能量反射、穿透係數與曲率半徑關係圖

接下來利用頻域有限差分方法計算介電質彎曲波導在 TM case 條件下所求得之能量反射、穿透係數與輻射耗損的變化情形在不同曲 率半徑及彎曲角度下的比較關係圖：

表 4.6-2 TM case 介電質彎曲波導各項參數設計值：

模態 TM mode

折射率 core：cladding 1.5：1

波長

λ

1.3 m

μ

每波長點數 N_λ 30

曲率半徑 R_ρ 1~10 m

μ

波導彎曲角度

φ

30 , 60 , 90 , 180 cladding1：core：cladding2 5：2：7

cladding2

1

Wcld

Wcld

在文檔中 混合座標系統、頻域有限差分之探討與應用 (頁 51-84)