國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
27
第三章 八組公式之數學特性
根據前一章歸納整理出有關四分位數之八組公式，由於八組公式的表示法不 一，所以各有不同的數學特性，因此會有不同的結果，在此將結果分為相同及相 異兩部分進行探討。
一、由於有些公式在不同樣本數之下，會得到相同的估計結果，針對這些類型的 公式，可以藉由數學證明來說明它們實際上是相同的，現在我們將透過數學方式 加以論證。
定理一：在 N＝4k、4k＋2 時，公式二、公式四、公式五、公式七、公式八的 、 之估計值是相同的。（公式七、公式八之偶數部分同公式二）
公式二：
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ＋ ；
公式四（國中）：
令 ＝ ， 則 ＝ ﹐ 高斯函數 ；
；
公式五（高中）：
則 ＝
＝
；當 ＝
＝ ＝ ；當 ＝
<pf>
（一）若N＝4k
且 ＝ ＝ ＝ ＝ ； ＝ ＝ ＝
‧
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
30
(一)
公式一（Minitab）:
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ；
公式五（高中）：
＝ ， ＝ ；當 ＝
＝ ， ＝ ；當 ＝
<pf>
若 ＝ ， r=1,2,3 )
令 ＝ ＝ ＝ ＝ ( ＝ )
且 ＝ ， ＝
則
) 1 (
＝ ＝(5)
) 1 (
＝ ＝(5)
得 證
註：等號上面 、 分別代表公式一、公式五。
定理三：在 N＝4k＋1 時，有以下兩種主要結果，其 、 之值是相同的。
(一)公式一（或公式七）、公式五之結果相同。（公式七之奇數部分同公式一）
(二)公式三（或公式八）、公式四之結果相同。（公式八之奇數部分同公式三）
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
32
二、根據上述定理一～定理三之證明可知，在不同樣本數之下，某些公式會有相 同的結果。現在我們將僅針對結果不同的幾類公式中，分別就 、 在不同樣 本數 ＝ 、 ＋ 、 ＋ 、 ＋3) 的情況下，相互比較後按大小順序排列之，
並透過數學方式加以證明。
公式一（Minitab）:
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ；
公式二：
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ＋ ；
公式三（Excel）:
令 ＝ － ＋1＝ ＋ ， ( , 0 < 1；r=1,2,3)
則 ＝ ； ＋ ；
公式六：
令 ＝ ﹐ ＝ 則 ＝ ； 高斯函數 定理五：在 Q1情況下，可歸納出四類不同公式及兩種不同結果：
(一) N＝4k、 ＋ 、 ＋ 時：Q1(公式三)＞Q1(公式二)＞Q1(公式一)＞Q1(公 式六)。
(二) N= ＋3時：Q1(公式三)＞Q1(公式二)＞Q1(公式一)或 Q1 (公式六)。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
33
<pf>
（一）N＝4k、 ＋ 、 ＋
A. 當 ＝ 時， r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥‥‥
＝ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ － ＝ ＋ 則 ＝ ＋ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ ‥‥
比較之後得 公式三 ＞ 公式二 ＞ 公式一 ＞ 公式六 。 B. 當 N＝ ＋ 時， r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＋ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ － ＝ ＋ 則 ＝ ‥‥
＝〔 〕＝ 則 ＝ ‥‥ ‥‥
比較之後得 公式三 ＞ 公式二 ＞ 公式一 ＞ 公式六 。 C. 當 N＝ ＋ 時， r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ ‥‥
比較之後得 公式三 ＞ 公式二 ＞ 公式一 ＞ 公式六 。
註： 、 、 、 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
34
(二）N＝ ＋3
當 N＝ ＋3 時， r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ 則 ＝ ＋ ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ ＋ ‥‥
比較之後得 公式三 ＞ 公式二 ＞ 公式一 或 公式六 。 定理六：在 Q3情況下，可歸納出四類不同公式及四種不同結果：
(一) N＝4k 時： (公式一)＞ (公式二)＞ (公式三)＞ (公式六)。
(二) N＝ ＋ 時： (公式一)＞ (公式二)＞ (公式三)或 公式六)。
(三) N＝ ＋ 時： (公式一)＞ (公式二)或 (公式六）＞ (公式三)。
(四) N＝ ＋3時： (公式一)或 (公式六）＞ (公式二)＞ (公式三)。
公式一（Minitab）:
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ；
公式二：
令 ＝ ＝ ；
則 ＝ ； ＋ ；
註： 、 、 、 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
35
公式三（Excel）:
令 ＝ － +1＝ + ， ( , 0 < 1；r=1,2,3)
則 ＝ ； ；
公式六：
令 ＝ ﹐ 則 ＝ ； 高斯函數
<pf>
(一) 當 ＝ 時， r＝1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥‥‥
＝ ＋ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ － ‥‥
＝ 3 ＝3 則 ＝ ‥‥‥‥
比較之後得 (公式一)＞ (公式二)＞ (公式三)＞ (公式六)。
(二) 當 ＝ ＋ 時， r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得 ＝3 ＝3 ＋ 則 ＝ － ‥‥‥‥
＝3 ＝3 ＋ 則 ＝ － ‥‥‥‥
＝3 － ＝3 ＋ 則 ＝ ‥‥‥‥
＝ ＝3 ＋ 則 ＝ ‥‥
比較之後得 (公式一)＞ (公式二)＞ (公式三)或 公式六)。
註： 、 、 、 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
36
(三) 當 ＝ ＋ 時， r＝1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得 ＝ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＋ ＝ 則 ＝ ‥‥
＝ － ＋ ＝ ＋ 則 ＝ － ‥‥
＝ ＝ 則 ＝ ‥‥
比較之後得 (公式一)＞ (公式二)或 (公式六）＞ (公式三)。
(四) 當 ＝ ＋3 時， r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得
＝3 3 ＝3 ＋3 則 ＝ ‥‥‥‥
＝3 3 ＝3 ＋ 3 則 ＝ ＋ － ‥‥‥‥
＝3 － ＝3 ＋ 則 ＝ ＋ － ‥‥
＝ 3 3 ＝3 ＋3 則 ＝ ‥‥ ‥‥
比較之後得 (公式一)或 (公式六）＞ (公式二)＞ (公式三)。
註： 、 、 、 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
37