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第二章 四分位數定義說明
本章旨在說明四分位數的定義於國中、高中版本之差異，及大學統計學教科 書、電腦統計軟體等許多不同的計算公式。
第一節 四分位數相關定義及計算公式說明
從統計學的觀點而言，在定義各種位數（如中位數、四分位數、百分位數 等）時，基本上是架構在連續型的隨機變數，來進行理論上的探討。由於是連續 型的隨機變數，因此這些統計量基本上是唯一確定的。不過實務上我們所取得的 資料基本上都是離散型的，因此如何取得這些統計數值，便衍生出許多不同的操 作定義。以下依學習階段（國中—高中—大學）介紹各家版本定義及計算方法。一、國中版本
因國中版本架構是將中位數、四分位數視為某一個百分位數，因此先討論百 分位數，再介紹四分位數。
(一）百分位數定義及計算方法 1. 百分位數的理論定義：
在統計學上當機率密度函數是連續函數時，則其基本的定義是：
（ ）＝
滿足這個式子的 ，稱為這個資料的第 k 百分位數。顯然，當 k＝50、25、
75 時，此時 就是這份資料的中位數、第一四分位數、第三四分位數。
不過，當一般的機率密度函數不見得是連續函數，滿足上述定義的 不見得 會存在，因此 Galton（1885）用的是一個比較弱的定義，以保證 的存在性：
（1） 至少有 k % 之觀察值(樣本)小於或等於 ，
（2） 至少有 (100－k ) % 之觀察值(樣本)大於或等於 。
亦 即 － 。
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2.操作定義：
國中版本：（A）康軒、南一、翰林（B）部編
（A）
版本說明 康軒、南一、翰林
定 義註 3 （1） 利用累積相對次數註 41％、2％、3％、…、99％，將資料 均分成 100 等分，中間 99 個分割點所得到對應的數值，
這些數值就稱為第 1、2、……、98、99 百分位數。
（2） 如果一群資料中至少有 k％的資料值小於或等於某個數 值 ，也至少有（100－k）％的資料大於或等於該數值
，那麼這個數值 就稱為這群資料的第 k 百分位數，
其中 k 是正整數，且 1≦k≦99。
計算方法 未分組資料：
假設有 N 個數的一群資料，將資料由小到大排列後，再求 N × 的值，令此值為 i。
如果 （正整數），而 m 是大於 i 的最小整數，那麼 排列在第 m 位的資料值就是這群資料的第 k 百分位數。
如果 i （正整數），那麼排列第 i 位與第 i+1 位的資 料值的算數平均數，就是這群資料的第 k 百分位數。
註 3：康軒、南一、翰林等定義及計算方法相同，故做同一討論。
註 4：「累積相對次數」是先求其相對次數，再求累積相對次數，即依序累加至各筆或各組的相對次數。
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示例與 說明
未分組資料：
（一）百分位數的求法（N × 為正整數）
【例】：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、13…57、
59；求該組資料的第 30 百分位數。
解：設第 30 百分位數為 ，
1. 30 × 30％＝9，表示這組資料中至少要有 9 個數小於或等於 P30，參考上表：資料由小排到大的第 9 的筆數值是 17。
（1） 若 ＝17，則小於或等於 17 的數共有 9 個。
（2） 若 ＝17.1，則小於或等於 17.1 的數共有 9 個。
（3） 其它：如 ＝17. 2、17.3、17.4…等也都符合條件。
亦即所有大於或等於 17 的數都可能是 ： ≧17……○1 2. 30 ×（1－30％）＝21，表示這組資料中至少要有 21 個數大於
或等於 ，參考上表：資料由大排到小的第 21 的筆數值是 19。
（1）若 ＝19，則大於或等於 19 的數共有 21 個。
（2）若 ＝18.9，則大於或等於 18.9 的數共有 21 個。
（3）其它：如 ＝18.8、18.7、18.6…等也都符合條件。
亦即所有小於或等於 19 的數都可能是 ： ≦19……○2 由○1 和○2 知：17≦ ≦19，也就是說介於第 12 筆與第 13 筆 之間的所有數值都可以是這組資料的第 30 百分位數。通常以 17 和 19 的平均來表示，亦即 18 來表示第 30 百分位數。
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（二）百分位數的求法（N × 不為正整數）
【例】：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、13…57、
59；求該組資料的第 69 百分位數。
解：設第 69 百分位數為 P69，
1. 30 × 69％＝20.7，表示這組資料中至少要有 20.7 個數（取整 數 21 個）小於或等於 P69，參考上表：資料由小排到大的第 21 筆數值是 41。
（1）若 P69＝41，則小於或等於 41 的數共有 21 個。
（2）若 P69＝41.1，則小於或等於 41.1 的數共有 21 個。
（3）其它：如 P69＝41.2、41.3、41.4…等也都符合條件。
亦即所有大於或等於 41 的數都可能是 P69：P69≧41……○1 2. 30 ×（1－69％）＝9.3，表示這組資料中至少要有 9.3 個數（取
整數 10 個）大於或等於 P69，參考上表：資料由大排到小的 第 10 的筆數值是 41。
（1）若 P69＝41，則大於或等於 41 的數共有 10 個。
（2）若 P69＝40.9，則大於或等於 40.9 的數共有 10 個。
（3）其它：如 P69＝40.8、40.7、40.6…等也都符合條件。
亦即所有小於或等於 41 的數都可能是 P69：P69≦41……○2 由○1 和○2 知：這組資料的第 69 百分位數是 41。
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（B）
註 5：部編版之計算方法與其他三家版本不同，但計算結果相同。
註 6：「相對累積次數」是先找出累積次數，再求其相對累積次數。即將累加至各筆或各組資料的次數除以 總次數所得的比值。
註 7：部編版百分位數的的規則證明，在部編版教師手冊中有更詳細的說明，提供參考。
版本說明 部編註 5
定 義 將整份資料由小排到大，畫一個全長為 1 並做 100 等分的參考尺。
則刻度 所指的資料就是 ，除非 正好指在兩個資料的中間(這 時 N 是 100 的倍數)，此時 是這兩筆資料的平均。
＃ ai
＃ ai
－
其中 N 是資料總筆數，＃ ai 表示小於或等於ai的資料 數目。
計算方法 百分位數可以利用相對累積次數分配表來求得。為了敘述方便，
將用符號來表示。
i：資料次序， ai：第 i 個資料值，ni：資料值ai出現的次數，
li：從a1到ai的累積次數， ：相對累積次數（
N
qi li ），N：資 料總筆數，如下表：
求第 k 百分位數的規則註 7（其中 k ＝1、2、……、99）：
(1)如果有 qi正好等於 ，則第 k 百分位數 ＝ ＋ 。
(2)如果 － ＜ ＜ （或 ＜ ），則第 k 分位數 ＝ （或a1）。
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示例與 說明
未分組資料：
（一）百分位數的求法（qi等於
）
【例】：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、 3… 7、
59；求該組資料的第 30 百分位數。
解：設第 30 百分位數為 ，
資料值： ＝17， ＝19，次數： ＝1， ＝1，
累積次數： ＝9， ＝10，相對累積次數： ＝
3 ， ＝
3 ， 由於 ＝ 3 ＝ 3 所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝18 。
（二）百分位數的求法（qi不等於
）
【例】：同上，求該組資料的第 69 百分位數。
解：設第 69 百分位數為 ，
資料值： ＝39， ＝41，次數： ＝1， ＝1，
累積次數： ＝20， ＝21，相對累積次數： ＝
3 ， ＝
3 ， 由於 ＝
3 ＜ ＜ ＝
3 ＝ 所以 ＝ ＝41 。
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綜合上述討論，可歸納如下：
（1）康軒版、南一版、翰林版之百分位數定義與計算方法是相同的。
（2）部編版之百分位數計算方法與其它三個版本不同且複雜，但都可以了解個 別資料在一群資料中的相對位置。例如：全國國三同學的身高資料、體重 資料或者基測的分數資料，在這些情況中，資料的相對次數，或累積相對 次數一般都用「百分率」來表示，因此很自然的會考慮以相對應的百分位 數，來分析資料的分佈狀況。
（3）康軒（南一、翰林）、部編「未分組資料」百分位數之求法：
除了利用上述兩種百分位數公式計算以外，還可利用「累積百分率圖」反 求之，即：由縱軸之百分率 P 的位置作一水平線與圖中之階梯狀線相交，
由交集做鉛直線取得之橫軸之區間，若求之值為唯一解，則為其百分位數。
若反求之值不唯一，則取其中點。（95 正式綱要）
【例】：原始資料為 21，23，23，26，28，33 之累積相對次數分配圖次數表。
累積相對次數分配圖（又稱經驗分配圖）
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（1）75 百分位數為 28。
（2）50 百分位數可為〔23, 26〕中之任何值，其取法不唯一；但為能配合九年一 貫能力指標 9-d-07 中中位數之慣用求法，則取中點 24.5 為 50 百分位數。
【說明】：
75 百分位數＝28 5/6＞0.83≧0.75 2/6＞0.33≧0.25 50 百分位數＝23 3/6＝0.5 ≧0.5 5/6＞0.83≧0.5 50 百分位數＝24.5 3/6＝0.5 ≧0.5 3/6＝0.5 ≧0.5 50 百分位數＝26 4/6＞0.66≧0.5 3/6＝0.5≧0.5
（二）四分位數定義及計算方法
國中版本：（A）康軒、南一、翰林（B）部編
（A）
版本說明 康軒、南一、翰林註 8
定 義註 9 將資料由小到大排列後，可以找到 3 個數值將整群資料分成四 個部分，這四個部分的資料個數「大致」一樣多。這 3 個等分 的點分別稱為第一四分位數（Q 1）、第二四分位數（Q 2）、第三 四分位數（Q 3）四分位數。亦即
( 1)至少有四分之一的資料小於或等於 Q1，也至少有四分之三的 資料大於或等於 Q1，Q1也稱為這群資料的第 25 百分位數。
( 2)Q2就是中位數，也稱為第 50 百分位數。
( 3)至少有四分之三的資料小於或等於 Q3，也至少有四分之一 的資料大於或等於 Q3，Q3也稱為這群資料的第 75 百分位數。
Q1、Q2、Q3在整體資料位置的分布情形如下圖，第三四分位數 與第一四分位數的差(Q3－Q1)稱為四分位距(簡稱 IQR)。
註 8：康軒、南一、翰林之定義及計算方法相同，故做同一討論。
註 9：此處四分位數定義是以南一版為代表，即將資料等分成四段來定義，但計算埰百分位數方法即 Q1 以 25 百分位數、Me以 50 百分位數、Q3以 75 百分位數來定義，所以 Q1 、Me、Q3是百分位數的特例。
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計算方法 假設一群未分組的資料共有 N 個數值，先將資料按照由小到大 的順序排列：令 ＝ N × ， r ＝1﹐2﹐3)， ：第 四 分位數位置
( 1)如果 （正整數），而 m 是大於 的最小整數，那 麼排在第 m 位的資料值就是這群資料的第 r 四分位數。
( 2 )如果 （正整數），那麼排列在第 位與第 +1 位的資料值的算數平均數就是這群資料的第 r 四分位數。
示例與 說明
【例 1】： N＝9：2、2、3、3、3、4、5、6、7 令 ＝9 × ＝2 ， ＝9 × ＝6 則 Q1＝ ＝3 ， Q3＝ ＝5
【例 2】：N＝12：0、0、0、0、0、1、1、1、1、2、4、10 令 ＝12 × ＝3， ＝12 × ＝9
則 Q1＝ ＋ ＝ ＋ ＝0 ， Q3＝ ＋ ＝ ＋ ＝
（B）
版本說明 部編註 10
定 義 將資料依序由小到大排列，然後模仿取中位數的想法，標出資 料由左往右
4 1 和
4
3 的位置。其中標 4
1 的位置把資料切成兩部分，
註 10：部編版之計算方法與其他三家版本不同，但計算結果相同。
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若qi1＜ ＜q（此時 N 是奇數）i ，則 Q2＝ ，表示資料依序的中點在 資 料中，所以和中位數的取法也一樣。
（4）國中版本所採用的定義，有一個特色，它不但是一個一致的方法，可以套 用到二分位數（即中位數）、四分位數、百分位數等 N 分位數，而且它所 取得的值都是一致的，譬如說二分位數等於第二四分位數，也等於第 50 百 分位數。又例如第一四分位數就是第 25 百分位數，第三四分位數就是第
75 百分位數。
二、高中版本
高中總計有龍騰、康熙、全華、翰林、南一、三民等版本，不過四分位數的計 算方法可以歸納成兩種：其一為南一、三民仍採用國中公式（百分位數）。其他 一律採用龍騰（康熙、全華、翰林）版本為代表的高中四分位數公式。
（A）
版本說明 龍騰、康熙、全華、翰林
定 義
龍騰：（1）所謂四分位數，就是將資料從小到大排列後，分成 四等分的分界點。
（2）當資料為連續數值時，四分位數的定義方式與中位 數定義在第 50 百分位所在的位置類似，即第一四分位數 Q1 是第 25 百分位數所在的位置，第三四分位數 Q3是第 75 百分位數所在的位置。
康熙：假設一筆數量資料 X 共有 N 項，經重排大小次序得：
≦ ≦ ≦……≦
將已排序的資料等分成四段，其中有三個分界點，最小
將已排序的資料等分成四段，其中有三個分界點，最小