國高中教材及其它六種常見四分位數公式之比較研究 - 政大學術集成
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(2) 謝. 辭. 終於完成人生中另一個階段的學習，回想這兩年半以來，以在職身份修習研 究所課程的這段期間，歷經初次接手行政工作及母親中風，對筆者而言需要花更 多的時間與心力去做好，常常是忙得疲憊不堪，可以說是蠟燭兩頭燒，以致論文 進度總是斷斷續續、停滯不前，但時間的壓力及寫作思考的茫然，曾經懷疑過自 己是否能熬得過來。但一路走來最感謝的就是江振東老師，老師的敬業態度讓學 生打從內心敬佩，在他的細心、耐心指導下才能順利生出論文，也感謝口試委員 李隆安老師、姜志銘主任給予研究上的建議與問題的解析，使筆者獲益良多。. 政 治 大 不至的照顧，內心就有一種無名的感動；看到母親認真的做復健，彷彿有一股支 立. 接下來要感謝的是家人的支持成為精神上的支柱，每每看到父親對母親無微. ‧ 國. 學. 撐筆者寫下去的動力，因為他們，筆者才能朝著自己的目標前進。 最後更感謝學校同事劉清琦主任及董瓈組長，在筆者暑假進修期間代理繁雜. ‧. 的行政工作，讓筆者無後顧之憂專心進修，及張雅秋老師熱心協助完成摘要的翻. sit. y. Nat. 譯；還有每當遇到電腦上的問題，背後總是有學生顧問團葉典、靜琪做後盾，及. al. n. 曾經幫助過筆者的人，充滿了感激與感恩. Ch. engchi. er. io. 同事們不時的關心與加油打氣，今日才能順利完成學業，真的打從內心感謝所有. i n U. v. 黃瑜瑜 Huang, Yu-Yu 2010 年 12 月 22 日.
(3) 摘. 要. 本研究的主要目的是探究四分位數定義在國中、高中教材不同情形下，所可 能衍生出來的差異情況，並統整有關四分位數之八組公式，以第一、第三四分位 數及四分位距觀點來探討不同公式適用於何種資料型態。 本研究發現如下： 一、國中、高中在四分位數之計算結果的確有差異，尤其當原始資料之個數為 N ＝4k + 1 (k 為正整數) 時，藉由高中版本的計算公式所算出來的 Q1 與 Q3，與 藉由國中版本所計算出來的 25 及 75 百分位數可能有所不同。其餘資料個數. 政 治 大 二、假設原始資料分別來自五種右偏程度不一的分配，包括卡方分配 立 情況，似乎並不會發生不一致的現象。. 、指數分配. ﹐. ‧ 國. ﹐. 以及平均數為 100﹐. 學. ﹐. 標準差為 10 的常態分配這一種對稱的型式。在不同樣本數 (N＝4k、4k+ 1、. ‧. 4k + 2、4k + 3) 及不同資料分配的情況下，透過模擬實驗的方式，並依據四. y. Nat. sit. 項評估指標（偏誤、標準差、均方根誤差、平均相對誤差百分比）來探討這. n. al. er. io. 八組公式的適用性。雖然各家公式的版本不盡相同，但大體上而言，在大樣. i n U. v. 本時的表現差不多，僅在小樣本時 (N=40、41、42、43) 呈現出明顯差異。. Ch. engchi. 卻因為在不同資料分配下，八組公式的表現不一，所以無法歸納出較具體的 結論。相對而言，國中、高中公式的表現儘管稱不上是最好，不過就學生的 學習而言，卻是清晰易懂。 關鍵詞：四分位數公式、模擬比較. i.
(4) Comparisons of the Quartile Formulae Given in High School Text Books and Six Others Abstract The main purpose of this study is to explore the possible implications for different definitions of quartiles taught in high schools. In addition, the two formulae are also compared with six others that are found popular in literature according to their performances under different distributions.. 政 治 大 Differences are found in the calculation of quartile based on the definition used in 立 junior and senior high schools. Specifically, when the data size is N=4k+1 (k is a. The main findings of the study are summarized as follows:. 學. ‧ 國. 1.. ‧. positive integer), Q1 and Q3 calculated using the formula taught in senior high schools may not be same as the 25th and 75th percentiles, the way junior high students are taught to calculate Q1 and Q3. 2 2 2 2. Assuming that data come from five right-skewed distributions ( (1) , (5) , (10) ),. y. Nat. sit. n. al. er. io. chi-squared distributions with degrees of freedom 1, 5, and 10, and Exp( 10 ), Exp( 15 ), exponential distributions with means 10 and 15, and a symmetrical distribution (normal distribution with mean 100 and standard deviation 10), simulation studies are carried out to assess the performances of the eight formulae in terms of bias, standard deviation, root mean square error and average relative error. Generally speaking, no differences are found when the sample sizes are large. Noticeable differences, on the other hand, are found under the situations of small sample sizes, particularly when N=40, 41, 42, and 43. However, since the performances varied dramatically, there appears no clear winner among the eight. Ch. engchi. i n U. v. formulae. Although the performances of the two formulae taught in junior high and senior high schools scarcely perform as the “best”, they are easily understood, and clearly appropriate for use in teaching high school students the concept of quartiles. Key words: Quartiles, Simulation studies. ii.
(5) 目. 錄. 摘 要 ......................................................................................................................................... i Abastract ....................................................................................................................... ii 目 錄............................................................................................................................. iii 圖目錄 ...................................................................................................................................... iv. 表目錄......................................................................................................................... viii 第一章 緒. 論 .................................................................................................................... 1. 第一節. 研究背景與動機 ................................................................................... 1. 治 政 大 四分位數定義說明 ....................................................................................... 7 立. 第二節 第二章. 四分位數相關定義及計算公式說明 ................................................... 7. 學. ‧ 國. 第一節. 研究問題 ............................................................................................... 5. 八組公式之數學特性 ................................................................................. 27. 第四章. 探討國高中課程之差異 ............................................................................. 37. 第五章. 模擬研究結果與討論 ................................................................................. 44. ‧. 第三章. y. Nat. 第二節. 八組公式之模擬結果比較 ................................................................. 48. n. al. er. sit. 模擬方法 ............................................................................................. 44. io. 第一節. 第六章. i n U. v. 結論與建議 ................................................................................................. 82. Ch. engchi. 第一節. 結論 ..................................................................................................... 82. 第二節. 建議 ..................................................................................................... 84. 參考文獻...................................................................................................................... 85 附 錄.......................................................................................................................... 88. iii.
(6) 圖 目 錄 圖 5-1-1卡方分配：. （ ）. ﹐. （ ）. ﹐. （ ）. .......................................................... 44. 圖 5-1-2 指數分配：Exp（λ= ﹐15） .................................................................. 44 圖 5-1-3 常態分配：（平均數 100﹐標準差 10） ........................................................44 圖 5-1-4 高準確度﹐低精確度 ................................................................................... 46 圖 5-1-5 高精確度﹐低準確度 .................................................................................. 46 圖 5-2-1 偏誤–Q1–卡方分配(自由度 1)............................................................................49 圖 5-2-2 偏誤–Q1–卡方分配(自由度 5) ................................................................... 49. 政 治 大. 圖 5-2-3 偏誤–Q1–卡方分配(自由度 10) ................................................................. 49. 立. 圖 5-2-4 偏誤–Q1–指數分配( λ 係數 10) ................................................................. 49. ‧ 國. 學. 圖 5-2-6 偏誤–Q1–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) .......................................... 49 圖 5-2-7 偏誤–Q3–卡方分配(自由度 1) ................................................................... 52. ‧. 圖 5-2-8 偏誤–Q3–卡方分配(自由度 5) ................................................................... 52. Nat. sit. y. 圖 5-2-9 偏誤–Q3–卡方分配(自由度 10) ................................................................. 52. n. al. er. io. 圖 5-2-10 偏誤–Q3–指數分配( λ 係數 10) ............................................................... 52. i n U. v. 圖 5-2-11 偏誤–Q3–指數分配( λ 係數 15) ............................................................... 52. Ch. engchi. 圖 5-2-12 偏誤–Q3–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ........................................ 52 圖 5-2-13 偏誤–IQR–卡方分配(自由度 1) .............................................................. 60 圖 5-2-14 偏誤–IQR–卡方分配(自由度 5) .............................................................. 60 圖 5-2-15 偏誤–IQR–卡方分配(自由度 10) ............................................................ 60 圖 5-2-16 偏誤–IQR–指數分配( λ 係數 10) ............................................................ 60 圖 5-2-17 偏誤–IQR –指數分配( λ 係數 15) ........................................................... 60 圖 5-2-18 偏誤–IQR–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ..................................... 60 圖 5-2-19 標準差–Q1–卡方分配(自由度 1) ............................................................. 62 圖 5-2-20 標準差–Q1–卡方分配(自由度 5) ............................................................. 62 iv.
(7) 圖 5-2-21 標準差–Q1–卡方分配(自由度 10) ........................................................... 62 圖 5-2-22 標準差–Q1–指數分配( λ 係數 10) ........................................................... 62 圖 5-2-23 標準差–Q1–指數分配( λ 係數 15) ........................................................... 62 圖 5-2-24 標準差–Q1–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) .................................... 62 圖 5-2-25 標準差–Q3–卡方分配(自由度 1) ........................................................... 64 圖 5-2-26 標準差–Q3–卡方分配(自由度 5) ............................................................. 64 圖 5-2-27 標準差–Q3–卡方分配(自由度 10) ........................................................... 64 圖 5-2-28 標準差–Q3–指數分配( λ 係數 10) ........................................................... 64. 政 治 大 圖 5-2-30 標準差–Q –常態分配(平均數 100﹐標準差 10) .................................... 64 立 圖 5-2-29 標準差–Q3–指數分配( λ 係數 15) ........................................................... 64 3. 圖 5-2-31 標準差–IQR–卡方分配(自由度 1) .......................................................... 66. ‧ 國. 學. 圖 5-2-32 標準差–IQR–卡方分配(自由度 5) .......................................................... 66. ‧. 圖 5-2-33 標準差–IQR–卡方分配(自由度 10) ........................................................ 66. y. Nat. 圖 5-2-34 標準差–IQR–指數分配( λ 係數 10) ........................................................ 66. er. io. sit. 圖 5-2-35 標準差–IQR–指數分配( λ 係數 15) ........................................................ 66 圖 5-2-36 標準差–IQR–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ................................. 66. al. n. v i n 圖 5-2-37 均方根誤差–Q –卡方分配(自由度 1) ..................................................... 68 Ch engchi U 1. 圖 5-2-38 均方根誤差–Q1–卡方分配(自由度 5) ..................................................... 68 圖 5-2-39 均方根誤差–Q1–卡方分配(自由度 10) ................................................... 68 圖 5-2-40 均方根誤差–Q1–指數分配( λ 係數 10) ................................................... 68 圖 5-2-41 均方根誤差–Q1–指數分配( λ 係數 15) ................................................... 68 圖 5-2-42 均方根誤差–Q1–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ............................ 68 圖 5-2-43 均方根誤差–Q3–卡方分配(自由度 1) ..................................................... 68 圖 5-2-44 均方根誤差–Q3–卡方分配(自由度 5) ..................................................... 68 圖 5-2-45 均方根誤差–Q3–卡方分配(自由度 10) ................................................... 68 v.
(8) 圖 5-2-46 均方根誤差–Q3–指數分配( λ 係數 10) ................................................... 68 圖 5-2-47 均方根誤差–Q3–指數分配( λ 係數 15) ................................................... 68 圖 5-2-48 均方根誤差–Q3–常態分配(平均數 100，標準差 10) ............................ 68 圖 5-2-49 均方根誤差–IQR–卡方分配(自由度 1) .................................................. 70 圖 5-2-50 均方根誤差–IQR–卡方分配(自由度 5) .................................................. 70 圖 5-2-51 均方根誤差–IQR–卡方分配(自由度 10) ................................................ 70 圖 5-2-51 均方根誤差–IQR–指數分配( λ 係數 10) ................................................ 70 圖 5-2-53 均方根誤差–IQR–指數分配( λ 係數 15) ................................................ 70. 政 治 大 圖 5-2-55 平均相對誤差–Q –卡方分配(自由度 1) ................................................. 72 立 圖 5-2-54 均方根誤差–IQR–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ......................... 70 1. 圖 5-2-56 平均相對誤差–Q1–卡方分配(自由度 5) ................................................. 72. ‧ 國. 學. 圖 5-2-57 平均相對誤差–Q1–卡方分配(自由度 10) ............................................... 72. ‧. 圖 5-2-58 平均相對誤差–Q1–指數分配( λ 係數 10) ............................................... 72. y. Nat. 圖 5-2-59 均方根誤差–Q1–指數分配( λ 係數 15) ................................................... 72. er. io. sit. 圖 5-2-60 平均相對誤差–Q1–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ........................ 72 圖 5-2-61 平均相對誤差–Q3–卡方分配(自由度 1) ................................................. 74. n. al. Ch. 圖 5-2-62 平均相對誤差–Q3–卡方分配(自由度 5). engchi. v i n ................................................. 74 U. 圖 5-2-63 平均相對誤差–Q3–卡方分配(自由度 10) ............................................... 74 圖 5-2-64 平均相對誤差–Q3–指數分配( λ 係數 10) ............................................... 74 圖 5-2-65 平均相對誤差–Q3–指數分配( λ 係數 15) ............................................... 74 圖 5-2-66 平均相對誤差–Q3–常態分配(平均數 100，標準差 10) ........................ 74 圖 5-2-67 平均相對誤差–IQR–卡方分配(自由度 1) .............................................. 76 圖 5-2-68 平均相對誤差–IQR–卡方分配(自由度 5) .............................................. 76 圖 5-2-69 平均相對誤差–IQR–卡方分配(自由度 10) ............................................ 76 圖 5-2-70 平均相對誤差–IQR–指數分配( λ 係數 10) ............................................ 76. vi.
(9) 圖 5-2-71 平均相對誤差–IQR–指數分配( λ 係數 15) ............................................ 76 圖 5-2-72 平均相對誤差–IQR–常態分配(平均數 100﹐標準差 10) ..................... 76. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.
(10) 表 目 錄 表 4–1–1 國中、高中公式在樣本數 N＝13～16 之比較......................................... 40 表 4–1–2 第 1 四分位數與第 25 百分位數差異 ...................................................... 40 表 4–1–3 第 3 四分位數與第 75 百分位數差異 ...................................................... 40 表 5-2-1 偏誤、標準差、均方根誤差、平均相對誤差-卡方、指數、常態等分配 ...................................................................................................................................... 80. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i n U. v.
(11) 第一章 第一節. 緒. 論. 研究背景與動機. 在教授國中四分位數時，康軒版教科書中提出了另一種與課本定義不同的 做法：即在計算一組有序資料的 3 個四分位數時，「先找到整組資料的中位數當 作第 2 四分位數，其次找前面一半資料的中位數當作第 1 四分位數，再找後面一 半資料的中位數當作第 3 四分位數」，問學生是否同意這樣的做法？經查閱之後 發現此為高中的定義，因國中四分位數定義是以百分位數的方式去計算，所以學. 政 治 大 考四分位數的計算方式，因此把它列為一個重要課題，想要進一步了解國高中四 立 生們在計算完兩者不同方法之後，發現模擬兩可。研究者當下覺得有必要重新思. 分位數計算方式之差異。. ‧ 國. 學. 九年一貫課程在統計的主題中，較過去增加了百分位數、百分等級(暫行綱. ‧. 要)與四分位數(正式綱要)的內容，由於是全新的課程內容，一方面多數的數學老. y. Nat. 師們在大學時期未必有學到相關的知識，另一方面當時四家民間版本定義略有出. er. io. sit. 入，又沒有統一版本可以參照，且與高中版本有所差異，因此老師教學起來多少 會有點心虛，更有點惶恐，因為不知道哪一家所言才是「最合適」？因國中四分. al. n. v i n 位數定義目前是以百分位數的觀念出發去計算，這個觀念在九年一貫能力指標也 Ch engchi U 沒有講得很清楚，而課本的定義是經過請教統計學者才得以了解為何如此定義，. 後來發現每一個版本都是如此定義，與高中直接將已排序的資料等分成四段來定 義四分位數是有所不同的，所以衍生出教學困擾。現在就九年一貫課程暫行綱要 與正式綱要之能力指標來看百分位數相關訊息。. 1.
(12) 一、從暫行綱要能力指標看 暫行綱要數學領域的能力指標自 89 年頒布起到正綱公佈，其間有做部分修 正，其中有關百分位數、百分等級的指標如下： 1.修正前： D-4-1. 註1. 能利用統計量，例如：百分位數，來瞭解資料散佈的情形。. D-4-7 註 1 從真實資料的現成折線圖、圖形百分圖及與百分位數有關的圖表中，直 接抽取有意義的資訊並加以解讀。 2.修正後：. 政 治 大. D-4-1 能報讀百分等級與百分位數，並瞭解個體在全體資料中相對地位的情形。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 註 1：D-4-1、D-4-7 符號，代表九年一貫能力指標. i n U. v. 數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、 五年級，階段三為六、 七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 能力指標以三碼編排： . 第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」和「統計與機率」 四個主題。. . 第二碼表示階段，分別以 1,2,3,4 表示第一、二、三和四階段。. . 第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。. 2.
(13) 二、從正式綱要能力指標看 由上面敘述知道，在暫行綱要中並未對百分等級與百分位數作出明確的定義 和做法，因此造成民間各版本在編寫上的困擾，也造成老師在教學、評量過程無 所適從。不過到了正式綱要則對百分位數作出略為明確的說法，但是捨去了百分 等級： ( 1 ) 百分位數：各筆或各組資料的相對位置，表示有百分之多少的資料比該筆 或 該組資料的數要小。. 政 治 大. ( 2 ) 相關能力指標：. 立. 分年細目. 容. 能力指標. ‧ 國. 學. 9-d-2 註 2. 內. 能理解百分位數的概念，認識第 10、25、50、. D-4-1. 75、90 百分位數，並製作盒狀圖。. ‧. 能利用較理想化的資料說明常見的百分位. y. Nat. 數，來認識一筆或一組資料在所有資料中的. n. er. io. 位置。. al. D-4-1. sit. 9-d-3. 註2. Ch. engchi. i n U. v. 註 2：本綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教 學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明 確掌握。分年細目亦以三碼編排： . 第一碼表示年級，分別以 1，…，9 表示一至九年級。. . 第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」和「統計與 機率」四個主題。. . 第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。. 3.
(14) 根據九年一貫能力指標內容發現，正式綱要從兩個方向來計算或找出百分位數。 1. 從統計學的觀點，可以其百分位數前後最接近的相鄰兩組資料平均值來代表 該位數。康軒版本原先根據此一說明，找到計算公式編寫課程的內容，但康 軒版在送審時，審查委員當時（89 年）認為實施的是暫行綱要，擔心公式過 於複雜，教學時易流於背誦公式，不宜以此的結構呈現，因此退回重編。 2. 由累計百分率圖縱軸上百分位數的位置作一條水平線使其與累計百分率曲 線相交，再由此交點作一條鉛直線與橫軸相交，這個交點即為其所對應的資 料位置。這樣的做法是根據「百分位數表示有百分之多少的資料比該筆或該. 政 治 大 百分位數，康軒版於退回後，改以這樣的角度重編成目前通審的版本，翰林 立. 組資料的數要小」的意義，利用累積相對(或相對累積)次數分配折線圖找到. 版、南一版也是如此。. ‧ 國. 學. 目前國中教學現況是以圖來找百分位數當作四分位數，則在教學或應用上仍. ‧. 有困擾的地方，如何計算它們，也是很多老師和學生所希望知道的知識。. y. Nat. 但事實上卻有許多不同的計算公式或模式，因此數值也會有所出入。例如：. er. io. sit. 在高中的教科書中談到四分位數，過去的國編版是一種方法，現在各種版本也有 不同的方式；除此之外，數學(或統計)軟體 SPSS、Minitab 所使用的公式，又和. al. n. v i n 常用的試算軟體 Excel 所使用的公式也不同，然而這些公式的適用性正是本研究 Ch engchi U. 所想要分析、探討的重點。. 4.
(15) 第二節 研究問題 一、因國中是由百分位數來定義四分位數，所以第 25 百分位數視為第一四分位 數，第 75 百分位數視為第三四分位數。而高中直接分成四等分定義四分位 數。本研究目的之一在於探討在國中、高中四分位數計算方式的差異。以 下舉例說明： <例>：N＝13 個數：40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71。 （1）＜國中康軒版公式＞： 令. ， r＝1,2,3)，. ＝. 則. 立 ； ＝. ，. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝ ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. y. Nat. sit er. io. n. al. C h＝ engchi －. ，. ＝ 因為. ， ＝. ＝. 則 ＝. －. ＝. －. －. iv n ；當 U ＝. ；當 ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. （2）＜高中龍騰版公式＞：. ＝. ：正整數. ‧. ‧ 國. ＝. ：第 r 四分位數. 學. 因為. 則. 政 治 大 ：高斯函數，. ；. ＝. ：第 r 四分位數位置，. －. ＝. ＝. ＝. 由上述例子可知利用國中、高中的不同公式在求算四分位數時，結果不盡 相同。更具體的內容將在後續介紹。 二、由於國中到高中乃至於大學統計學教科書等有關四分位數計算方式之不盡 相同；想了解這些公式在不同資料結構分配下的適用性。. 5.
(16) 本文在第二章就四分位數的定義作說明，並針對各種不同版本（含國、高 中教科書）的四分位數計算公式作統整。第三章探討有關四分位數之八組公式的 數學特性，第四章為探討國高中課程差異，第五章為模擬研究結果與討論，第六 章則為結論與建議。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 6. i n U. v.
(17) 第二章. 四分位數定義說明. 本章旨在說明四分位數的定義於國中、高中版本之差異，及大學統計學教科 書、電腦統計軟體等許多不同的計算公式。. 第一節 四分位數相關定義及計算公式說明 從統計學的觀點而言，在定義各種位數（如中位數、四分位數、百分位數 等）時，基本上是架構在連續型的隨機變數，來進行理論上的探討。由於是連續 型的隨機變數，因此這些統計量基本上是唯一確定的。不過實務上我們所取得的 資料基本上都是離散型的，因此如何取得這些統計數值，便衍生出許多不同的操. 政 治 大. 作定義。以下依學習階段（國中—高中—大學）介紹各家版本定義及計算方法。. 立. 一、國中版本. ‧ 國. 學. 因國中版本架構是將中位數、四分位數視為某一個百分位數，因此先討論百 分位數，再介紹四分位數。. ‧. (一）百分位數定義及計算方法. y. Nat. sit. 1. 百分位數的理論定義：. n. al. er. io. 在統計學上當機率密度函數是連續函數時，則其基本的定義是： （. Ch. ）＝. engchi. i n U. v. 滿足這個式子的 ，稱為這個資料的第 k 百分位數。顯然，當 k＝50、25、 75 時，此時 就是這份資料的中位數、第一四分位數、第三四分位數。 不過，當一般的機率密度函數不見得是連續函數，滿足上述定義的 不見得 會存在，因此 Galton（1885）用的是一個比較弱的定義，以保證 的存在性： （1） 至少有 k % 之觀察值(樣本)小於或等於 ， （2） 至少有 (100－k ) % 之觀察值(樣本)大於或等於 。 亦. 即. 。. －. 7.
(18) 2.操作定義： 國中版本：（A）康軒、南一、翰林（B）部編 （A） 版本說明 定. 義註 3. 康軒、南一、翰林 （1） 利用累積相對次數註 41％、2％、3％、…、99％，將資料 均分成 100 等分，中間 99 個分割點所得到對應的數值， 這些數值就稱為第 1、2、……、98、99 百分位數。 （2） 如果一群資料中至少有 k％的資料值小於或等於某個數. 政 治 大 ，那麼這個數值 就稱為這群資料的第 k 百分位數， 立. 值. ，也至少有（100－k）％的資料大於或等於該數值. 其中 k 是正整數，且 1≦k≦99。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 計算方法. 未分組資料：. Ch. engchi. i n U. v. 假設有 N 個數的一群資料，將資料由小到大排列後，再求 N × 的值，令此值為 i。 . 如果. （正整數），而 m 是大於 i 的最小整數，那麼. 排列在第 m 位的資料值就是這群資料的第 k 百分位數。 . 如果 i. （正整數），那麼排列第 i 位與第 i+1 位的資. 料值的算數平均數，就是這群資料的第 k 百分位數。. 註 3：康軒、南一、翰林等定義及計算方法相同，故做同一討論。 註 4： 「累積相對次數」是先求其相對次數，再求累積相對次數，即依序累加至各筆或各組的相對次數。. 8.
(19) （一）百分位數的求法（N ×. 為正整數）. 【例】 ：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、13…57、 59；求該組資料的第 30 百分位數。. 解：設第 30 百分位數為. ，. 政 治 大. 1. 30 × 30％＝9，表示這組資料中至少要有 9 個數小於或等於. 立. P30，參考上表：資料由小排到大的第 9 的筆數值是 17。. 學. （1） 若. ＝17，則小於或等於 17 的數共有 9 個。. （2） 若. ＝17.1，則小於或等於 17.1 的數共有 9 個。. ‧. Nat. 亦即所有大於或等於 17 的數都可能是. y. ＝17. 2、17.3、17.4…等也都符合條件。 ：. sit. （3） 其它：如. 1 ≧17……○. io. 2. 30 ×（1－30％）＝21，表示這組資料中至少要有 21 個數大於. er. 說明. 未分組資料：. ‧ 國. 示例與. a l，參考上表：資料由大排到小的第 v 21 的筆數值是 i n Ch engchi U. n 或等於 19。 （1）若. ＝19，則大於或等於 19 的數共有 21 個。. （2）若. ＝18.9，則大於或等於 18.9 的數共有 21 個。. （3）其它：如. ＝18.8、18.7、18.6…等也都符合條件。. 亦即所有小於或等於 19 的數都可能是 1 和○ 2 知：17≦ 由○. ：. 2 ≦19……○. ≦19，也就是說介於第 12 筆與第 13 筆. 之間的所有數值都可以是這組資料的第 30 百分位數。通常以 17 和 19 的平均來表示，亦即 18 來表示第 30 百分位數。. 9.
(20) （二）百分位數的求法（N ×. 不為正整數）. 【例】 ：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、13…57、 59；求該組資料的第 69 百分位數。. 解：設第 69 百分位數為 P69， 1. 30 × 69％＝20.7，表示這組資料中至少要有 20.7 個數（取整. 政 治 大. 數 21 個）小於或等於 P69，參考上表：資料由小排到大的第. 立. 21 筆數值是 41。. ‧ 國. 學. （1）若 P69＝41，則小於或等於 41 的數共有 21 個。 （2）若 P69＝41.1，則小於或等於 41.1 的數共有 21 個。. ‧. （3）其它：如 P69＝41.2、41.3、41.4…等也都符合條件。. y. Nat. sit. 1 亦即所有大於或等於 41 的數都可能是 P69：P69≧41……○. n. al. er. io. 2. 30 ×（1－69％）＝9.3，表示這組資料中至少要有 9.3 個數（取. i n U. v. 整數 10 個）大於或等於 P69，參考上表：資料由大排到小的. Ch. engchi. 第 10 的筆數值是 41。. （1）若 P69＝41，則大於或等於 41 的數共有 10 個。 （2）若 P69＝40.9，則大於或等於 40.9 的數共有 10 個。 （3）其它：如 P69＝40.8、40.7、40.6…等也都符合條件。 2 亦即所有小於或等於 41 的數都可能是 P69：P69≦41……○ 1 和○ 2 知：這組資料的第 69 百分位數是 41。 由○. 10.
(21) （B） 版本說明. 部編註 5. 定. 將整份資料由小排到大，畫一個全長為 1 並做 100 等分的參考尺。. 義. 則刻度. 所指的資料就是 ，除非. 時 N 是 100 的倍數)，此時 ＃. ai. ＃. ai. 是這兩筆資料的平均。. －. 其中 N 是資料總筆數，＃ 數目。. 表示小於或等於 ai 的資料. ai. 政 治 大. 立. 百分位數可以利用相對累積次數分配表來求得。為了敘述方便，. 學. ‧ 國. 計算方法. 正好指在兩個資料的中間(這. 將用符號來表示。. i：資料次序， ai ：第 i 個資料值， ni ：資料值 ai 出現的次數，. ‧. li ：從 a1 到 ai 的累積次數， ：相對累積次數（ qi . y. Nat. n. er. io. sit. 料總筆數，如下表：. al. li ），N：資 N. Ch. engchi. i n U. v. 求第 k 百分位數的規則註 7（其中 k ＝1、2、……、99）： (1)如果有 qi 正好等於 (2)如果. －. ＜. ，則第 k 百分位數. ＜ （或. ＝. ＜ ） ，則第 k 分位數. ＋. 。 ＝ （或 a1 ）。. 註 5：部編版之計算方法與其他三家版本不同，但計算結果相同。 註 6： 「相對累積次數」是先找出累積次數，再求其相對累積次數。即將累加至各筆或各組資料的次數除以 總次數所得的比值。 註 7：部編版百分位數的的規則證明，在部編版教師手冊中有更詳細的說明，提供參考。. 11.
(22) 示例與. 未分組資料：. 說明. （一）百分位數的求法（qi 等於. ）. 【例】 ：一組資料有 30 個連續奇數：1、3、5、7、9、11、 3… 7、 59；求該組資料的第 30 百分位數。. 政 治 大. 立. io. al. ＝3 ＝. n. 由於. 3. ＝1，. y. ＝1，. ＝10，相對累積次數： ＝3 ，. sit. Nat. 累積次數： ＝9，. ＝19，次數：. 所以. ＝. ＋. er. 資料值： ＝17，. ，. ‧. ‧ 國. 學. 解：設第 30 百分位數為. n U e n g不等於 （二）百分位數的求法（q chi ）. Ch. ＝ iv. ＋. ＝3 ，. ＝18 。. i. 【例】：同上，求該組資料的第 69 百分位數。 解：設第 69 百分位數為 資料值：. ＝39，. 累積次數： 由於. ＝20，. ＝3 ＜. ，. ＝41，次數：. ＝1，. ＝21，相對累積次數： ＜. ＝3 ＝. 12. 所以. ＝1， ＝3 ， ＝. ＝3 ，. ＝41 。.
(23) 綜合上述討論，可歸納如下： （1）康軒版、南一版、翰林版之百分位數定義與計算方法是相同的。 （2）部編版之百分位數計算方法與其它三個版本不同且複雜，但都可以了解個 別資料在一群資料中的相對位置。例如：全國國三同學的身高資料、體重 資料或者基測的分數資料，在這些情況中，資料的相對次數，或累積相對 次數一般都用「百分率」來表示，因此很自然的會考慮以相對應的百分位 數，來分析資料的分佈狀況。 （3）康軒（南一、翰林）、部編「未分組資料」百分位數之求法：. 政 治 大 求之，即：由縱軸之百分率 P 的位置作一水平線與圖中之階梯狀線相交， 立 除了利用上述兩種百分位數公式計算以外，還可利用「累積百分率圖」反. 由交集做鉛直線取得之橫軸之區間，若求之值為唯一解，則為其百分位數。. ‧ 國. 學. 若反求之值不唯一，則取其中點。（95 正式綱要）. ‧. 【例】 ：原始資料為 21，23，23，26，28，33 之累積相對次數分配圖次數表。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 累積相對次數分配圖（又稱經驗分配圖） 13.
(24) （1）75 百分位數為 28。 （2）50 百分位數可為〔23, 26〕中之任何值，其取法不唯一；但為能配合九年一 貫能力指標 9-d-07 中中位數之慣用求法，則取中點 24.5 為 50 百分位數。 【說明】： 75 百分位數＝28. 5/6＞0.83≧0.75. 2/6＞0.33≧0.25. 50 百分位數＝23. 3/6＝0.5. ≧0.5. 5/6＞0.83≧0.5. 50 百分位數＝24.5. 3/6＝0.5. ≧0.5. 3/6＝0.5 ≧0.5. 4/6＞0.66≧0.5. 3/6＝0.5≧0.5. 50 百分位數＝26. （二）四分位數定義及計算方法. 政 治 大. 國中版本：（A）康軒、南一、翰林（B）部編. 立. （A）. 義註 9. ‧ 國. 定. 康軒、南一、翰林註 8. 學. 版本說明. 將資料由小到大排列後，可以找到 3 個數值將整群資料分成四. ‧. 個部分，這四個部分的資料個數「大致」一樣多。這 3 個等分. Nat. io. 四分位數（Q 3）四分位數。亦即. n. al. er. sit. y. 的點分別稱為第一四分位數（Q 1） 、第二四分位數（Q 2） 、第三. i n U. v. ( 1)至少有四分之一的資料小於或等於 Q1，也至少有四分之三的. Ch. engchi. 資料大於或等於 Q1，Q1 也稱為這群資料的第 25 百分位數。 ( 2)Q2 就是中位數，也稱為第 50 百分位數。 ( 3)至少有四分之三的資料小於或等於 Q3，也至少有四分之一 的資料大於或等於 Q3，Q3 也稱為這群資料的第 75 百分位數。 Q1、Q2、Q3 在整體資料位置的分布情形如下圖，第三四分位數 與第一四分位數的差(Q3－Q1)稱為四分位距(簡稱 IQR)。. 註 8：康軒、南一、翰林之定義及計算方法相同，故做同一討論。 註 9：此處四分位數定義是以南一版為代表，即將資料等分成四段來定義，但計算埰百分位數方法即 Q1 以 25 百分位數、Me 以 50 百分位數、Q3 以 75 百分位數來定義，所以 Q1 、Me、Q3 是百分位數的特例。. 14.
(25) 計算方法. 假設一群未分組的資料共有 N 個數值，先將資料按照由小到大 的順序排列：令 分位數位置 ( 1)如果. 立. ＝ N×. ， r ＝1﹐2﹐3)，. 政 治 大. （正整數） ，而 m 是大於. ：第 四. 的最小整數，那. ‧ 國. 學. 麼排在第 m 位的資料值就是這群資料的第 r 四分位數。. ( 2 )如果. （正整數），那麼排列在第. 位與第. +1. ‧. 位的資料值的算數平均數就是這群資料的第 r 四分位數。. y. Nat. io. 說明. 令. sit. 【例 1】： N＝9：2、2、3、3、3、4、5、6、7 ＝2. ，. ＝9 ×. n. al. ＝9 ×. er. 示例與. i n 則 Q ＝ C＝3 ， Q ＝ ＝5 hengchi U 1. v. ＝6. 3. 【例 2】：N＝12：0、0、0、0、0、1、1、1、1、2、4、10 令. ＝12 ×. 則 Q1＝. ＋. ＝3， ＝. ＋. ＝12 ×. ＝0 ， Q3＝. ＋. ＝9 ＝. ＋. ＝. （B） 版本說明. 部編註 10. 定. 將資料依序由小到大排列，然後模仿取中位數的想法，標出資. 義. 料由左往右. 1 3 1 和 的位置。其中標 的位置把資料切成兩部分， 4 4 4. 註 10：部編版之計算方法與其他三家版本不同，但計算結果相同。. 15.
(26) 左右的比例是 1：3。而標. 3 的位置則把資料切成兩部分，左 4. 右的比例是 3：1。運用中位數的類似想法，把切在. 1 的這個 4. 3 數定成第一四分位數（記為 Q1） ，切在 的這個數定成第三四 4. 分位數（記為 Q3），而第二四分位數 Q2 就是中位數。 舉例說明： 【例 1】：當資料數是 4 的倍數時（N＝12＝4k）， 0、0、0、0、0、1、1、1、1、2、4、10 ▲ ▲ ▲. 立. 治1 1 政 大 2 4. 第一四分位數. 中位數. 3 4. 第三四分位數. ‧ 國. 學. 【例 2】：當資料數是 4 的倍數加 1 時（N＝9＝4k＋1），. ‧. 2、2、3、3、3、4、5、6、7 ▲ ▲ ▲ 3 1 4 4 Q1 Q3 Q2. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. v. 1 3 圖上標 和 的位置，可以將資料分割成 1：3 和 3：1 的比例 4 4. 計算方法. engchi. 利用相對累積次數 ，則 Q1 和 Q3 的取法如下註 11： （1）第一四分位數的取法： . 如果 等於 （此時 N 是 4 的倍數），約定 Q1＝. . 如果. －. ＜ ＜. ＋ ＋. (或 ＜ q1 )，則 Q1＝ (或 Q1= a1 ). 註 11：部編版四分位數的計算方法，在部編版教師手冊中有更詳細的說明和證明，提供參考。. 16.
(27) 同理： （2）第三四分位數取法： . 如果 等於 ，約定 Q3 . . 如果. －. ＜. ＜. ai ai 1 2. (或 ＜ q1 )，則 Q3＝ (或 Q3＝ a1 ). 【例】： 資 料 值（ ai ）. 0. 1. 2. 4. 7. 次. 3. 4. 6. 1. 1. 3. 7. 13. 14. 15. 13 15. 14 15. 1. 數（ ni ）. 累積次數（ li ）. 3 7 政 治15 大 15. 相對累積次數（ qi ）. 1. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. 本. er. 說明. 學. 示例與. ‧ 國. 立 相對累積次數. 0 1. Ch. 2. 3. 4. 6i n U. engchi ＝. a1 ＝0， a 2 ＝1， a 3 ＝2，. 5. v7. 8. ， a 5 ＝7. 4 n1 ＝3， n 2 ＝4， n3 ＝6， n 4 ＝1， n5 ＝1. l1 ＝3， l 2 ＝7， l3 ＝13， l 4 ＝14， l5 ＝15 q1 ＝. 3 7 13 14 ， q 2 ＝ ， q 3 ＝ ， q 4 ＝ ， q 5 ＝1， 15 15 15 15. 由於 由於. q1 ＝. 3 1 7 ＜ ＜ q2 ＝ 15 4 15. q2 ＝. 7 13 3 ＜ ＜ q3 ＝ 15 4 15. 17. 所以 所以. Q1＝ a 2 ＝1 Q3＝ a3 ＝2.
(28) 綜合上述討論，可歸納如下： （1）康軒版、南一版、翰林版之四分位數定義與計算方法是相同的。 （2）部編版定義四分位數和四分位距的想法，原則上合理又清楚。但是在資料 筆數為 4 的倍數加 2 或 4 的倍數加 3 時，會發現找不出適當的點，可以將 資料分割成 1：3 或 3：1 的比例，這就是部編版為什麼會利用相對累積次 數分配表的方法來討論並解決問題。 【例 1】：當資料數是 4 的倍數加 2 時（N＝10＝4k＋2）， 1、1、2、2、3、4、5、5、6、6 ▲ ▲ ▲ 1 4. 政1 治 3 大. 立. ‧ 國. 4. 中位數. 第三四分位數. 學. 第一四分位數. 2. 1 3 圖上標 和 的位置，是將資料分割成 2：7 和 7：2 的比例，而不是分割 4 4. ‧. 成 1：3 或 3：1 的比例。. n. al. er. io. 2、3、4、4、5、6、7、7、8、9、10 ▲ ▲ ▲. Ch. Q1 圖上標. sit. y. Nat. 【例 2】：當資料數是 4 的倍數加 3 時（N＝11＝4k＋3），. 3 4. engchi. i n U. v. Q3. Q2. 1 3 和 的位置，是將資料分割成 2：8 和 8：2 的比例，而不是分割 4 4. 成 1：3 或 3：1 的比例。 （3）根據部編版之四分位數計算方法中，如果將計算 Q1 的規則中的. 換成 ，. 發現這就是取中位數的規則。【說明如下】： . 若 qi ＝ 時（此時 N 是偶數） ，Q2＝ 均的規則。 18. ＋ ＋. ，符合偶數資料筆數取兩項平.
(29) . 若 qi 1 ＜ ＜ q（此時 N 是奇數） ，則 Q2＝ ，表示資料依序的中點在 i. 資. 料中，所以和中位數的取法也一樣。 （4）國中版本所採用的定義，有一個特色，它不但是一個一致的方法，可以套 用到二分位數（即中位數）、四分位數、百分位數等 N 分位數，而且它所 取得的值都是一致的，譬如說二分位數等於第二四分位數，也等於第 50 百 分位數。又例如第一四分位數就是第 25 百分位數，第三四分位數就是第 75 百分位數。. 政 治 大 高中總計有龍騰、康熙、全華、翰林、南一、三民等版本，不過四分位數的計 立 二、高中版本. ‧ 國. 學. 算方法可以歸納成兩種：其一為南一、三民仍採用國中公式（百分位數） 。其他 一律採用龍騰（康熙、全華、翰林）版本為代表的高中四分位數公式。. 龍騰、康熙、全華、翰林. sit. y. Nat. 版本說明. ‧. （A）. n. al. 四等分的分界點。. Ch. engchi. er. io. 龍騰：（1）所謂四分位數，就是將資料從小到大排列後，分成. i n U. v. （2）當資料為連續數值時，四分位數的定義方式與中位 數定義在第 50 百分位所在的位置類似，即第一四分位數 Q1 是第 25 百分位數所在的位置，第三四分位數 Q3 是第 定. 義. 75 百分位數所在的位置。 康熙：假設一筆數量資料 X 共有 N 項，經重排大小次序得： ≦ ≦ ≦……≦ 將已排序的資料等分成四段，其中有三個分界點，最小 的一個稱為第一四分位數，以 Q1 表示；其次一個即為中 位數 Me；最大的一個稱為第三四分位數，以 Q3 表示。 19.
(30) 全華：當一組資料由小到大依序排列後， . 位於四分之一處的值稱為第一四分位數（Q1）。. . 位於四分位二處的值稱為中位數，簡記為 Me；（亦稱第 二四分位數）。. . 位於四分位三處的值稱為第三四分位數（Q3）。. 翰林：對於筆數較少的數據，依由小到大的次序先找到中位數， 去除中位數後將數據分成兩組，這兩組的中位數即分別是 第一四分位數與第三四分位數。 計算方法. 政 治 大 先求出中位數（Me）。 立. 未分組資料： . 第一四分位數是中位數左邊（不含中位數）所有數字的中. 學. ‧ 國. . 位數。. 第三四分位數是中位數右邊（不含中位數）所有數字的中. ‧. . sit. y. Nat. 位數。. io. 數值個數為奇數或偶數有關。. al. v i n ＋ Ch U 當 N 為奇數時，令 Me＝ e n gk＝ h c i ，中位數 n. . 前段資料 ﹐ ﹐…﹐ 後段資料 . er. 注意：計算四分位數時與中位數一樣﹐即四分位數的位置也與. ＋. ﹐. ＋. －. 的中位數為 Q1，. ﹐…﹐. 的中位數為 Q3。. 當 N 為偶數時，令 k＝ ，中位數 Me 前段資料 ﹐ ﹐…﹐ 後段資料. ＋. ﹐. ＋. 示例與說明 未分組資料：. 20. ，則. 1 ( xk xk 1 ) ，則 2. 的中位數為 Q1，. ﹐…﹐. 的中位數為 Q3。.
(31) 【例 1】：N＝8 3，5，6，6，9，11，12，14 的中位數為 7.5 前一半 3，5，6，6 的中位數為 5.5 後一半 9，11，12，14 的中位數為 11.5 故 Q1 ＝ 5.5，Q3 ＝11.5。 【例 2】：N＝9 3，5，6，6，9，11，12，14，16 的中位數為 9 前一半 3，5，6，6 的中位數為 5.5. 政 治 大 ＝ 5.5，Q ＝ 13 。. 後一半 11，12，14，16 的中位數為 13 故 Q1. 立. 學. 版本說明. 南一、三民. 定. 南一：第一四分位數是資料由小到大排在前. 義. 位置的數，第三. ‧. ‧ 國. （B）. 3. sit. y. Nat. 四分位數是資料是由小到大排在前 位置的數。. n. al. er. io. 三民註 12：在一群資料中，中位數亦稱為第 2 四分位數，以符號. i n U. v. Me 或 Q2 表之。在中位數之前的資料的中位數稱為第一. Ch. engchi. 四分位數，以符號 Q1 表之。在中位數之後的資料的中位 數稱作第三四分位數，以符號 Q3 表之。 計算方法. 未分組資料： 先將 N 個資料數值依小到大排序，再計算四分位數位置： 令. ＝N ×. ﹐(r＝1﹐2﹐3). 註 12：三民版之四分位數定義與龍騰相同，但計算方法採百分位數公式。所謂高中版本不同，純粹是以計 算方法不同來區分。. 21.
(32) . 若. （正整數），則進位到下一個比. 而 Qr 為比 . 若. 大的下一個整數位置所對應之資料。 （正整數），則 Qr 為第. 與第. 大的整數﹐. 個位置所對應資料. ＋1 個位置所對應資料的平均。. 即. Qr＝. ＋. 由四分位數的求法可以得到下列四分位數的性質： 一組資料的第 r 四分位數 Qr (r＝1﹐2﹐3)至少有 的資料小於或 等於 Qr，也至少有(1－ )的資料大於或等於 Qr。 示例與. 學. ‧ 國. 說明. 治 政 與國中南一版計算方法相同。 大 立. 綜合上述討論，可歸納如下：. ‧. ( 1 ) 高中有關四分位數的定義，目前只有南一與國中的定義相同，龍騰與翰林. sit. y. Nat. 等. n. al. er. io. 都還是沿用過去的定義。. i n U. v. ( 2 ) 高中有關四分位數計算方法（未分組）有兩種版本；除了南一、三民採用. Ch. engchi. 與國中相同公式（百分位數）以外，其它版本的作法如下： . 先將數據資料值排序由小排到大找出中位數（亦稱第 2 四分位數）。. . 找出中位數左邊（不含中位數）所有數值的中位數稱為第 1 四分位數以 Q1 表示。. . 找出中位數右邊（不含中位數）所有數值的中位數稱為第 3 四分位數以 Q3 表示。. ( 3 ) 高中版本（南一、三民）計算 「未分組資料」四分位數位置時，採用. ＝. ，. 此與大學統計學教科書、電腦軟體等求「未分組資料」四分位數位置時有 多家公式不同之處。 22.
(33) 三、其他作法（大學統計學教科書、統計電腦軟體） 學. 者. 四. Bowley 註 13. 分. ＝. 位 ，. 數. 計. 算. ＝ , ,. ，. 方. 法（未分組資料） ：第 四分位數位置. （1972） 設 N 項數列按大小次序排列，可得 N +1 個間隔，分成四等 份，每等份有. （1972）. 先找出 Qr 的位置： . 如果 Qr。. 立 如果. Excel 2000. ﹐(r＝1﹐2﹐3). （正整數），則位置所對應的數值即為. 政 治 大. （正整數） ，則在. 與. ＋1 兩個位置. 學. 所對應的數值之間，用線性插植插法來估計出 Qr。 － ）. ＝. ，(r＝1,2,3 )，. Nat. 第一四分位數在. io. 第二四分位數在. 位置 位置. n. al. Ch. 第三四分位數在 . 如果. . 如果. ：第 四分位數位置. ‧. ‧ 國. . ＝. y. 胡坤德註 14. 間隔，因此：. sit. SPSS、. er. Minitab、. i n U. 位置. engchi. v. （正整數） ，則位置所對應的數值即為 Qr。 （正整數），則在. 與. ＋1 兩個位置. 所對應的數值之間，用線性插植插法來估計出 Qr。 Mendenhall. ＝. ，. ：高斯函數，. & Sincich. ：第 四分位數位置(r＝1﹐2﹐3) (1995). 註 13：A.L.Bowley(1901)，Elements of Statistics，6th，P.107 註 14：胡坤德(1972)，中國統計學報第十卷第三期. 23. （正整數）.
(34) 鄭堯拌. ， ：奇數. ＝. (1940)、 Moore & McCabe (2002) Tukey、. ， ：偶數. ：第. 四分位數位置(r＝1﹐2﹐3) －. ＝. Hoaglin. ＋ ， ：奇數 ， ：偶數. (1983) ：第. 四分位數位置(r＝1﹐2﹐3). Moore. 在「統計學的世界」這本書曾提到計算四分位數的步驟如下：. (2002). . 將數據資料值排序由小排到大找出中位數(亦稱第 2 四分. (鄭惟厚譯）. 政 治 大 找出中位數左邊所有數值的中位數稱為第 1 四分位數(Q ) 立 位數). . 1. 找出中位數右邊所有數值的中位數稱為第 3 四分位數(Q3). 學. ‧ 國. . 納如下：. ‧. 綜合上述討論，可將前述大學統計學教科書、統計電腦軟體之四分位數求法歸. y. Nat. io. sit. （1）大學統計學教科書、統計電腦軟體之「未分組資料」求四分位數時的作法： 如果. （正整數），則位置所對應的數值即為 Qr。. . 如果. （正整數） ，則在. n. al. er. . Ch. 與. i n U. v. ＋1 兩個位置所對應的數值之間，. engchi. 用線性插植插法來估計出 Qr。 【說明】： 若 則. ＝. ﹐. ＝. ﹐. ：正整數，. ，. ； ；. （2）大學統計學教科書中，鄭堯拌、Moore & McCabe(2002)及 Tukey & Hoaglin 等人(1983)之四分位數計算方法，採用 A.L.Bowley、Excel、 Minitab 與 SPSS 之奇、偶數混合型式。. 24.
(35) 四、將國中、高中與大學統計學教科書及電腦軟體中相關之四分位數公式歸納整 理如下，總共有八組公式但實際上只有六類公式，因為公式七與公式八是由 公式一、公式二、公式三所衍生出來的混合型式。 【說明】： 公式七：奇數部分同公式一﹐偶數部分同公式二。 公式八：奇數部分同公式三﹐偶數部分同公式二。. 四 分 位 數. Qr （第 r 四分位數）( r＝1﹐2﹐3 ). 政 治 大 N( 奇 數 ) 立. 方 法 樣 本. Qr (線性插值法). Ch. ＝. engchi. Qr (線性插值法). er. n Excel 2000. sit. y. ＝. Qr (線性插值法). io. 公 式 三. Qr (線性插值法). ＝. al. i n U. 國 中註 15. ＝. v. ＝. Qr (線性插值法). Qr (線性插值法) ＝. 公 式 四. ＝. ‧. Bowley （1901）. ＝. Nat. 公 式 二. 學. 式 Minitab、 公 SPSS、 式 胡坤德 一 （1972）. ‧ 國. 公. N( 偶 數 ). ＝. ﹐ ：高斯函數. ＝. ﹐ ﹐. 註 15：國中版本有兩種不同的計算方法，其一為康軒（南一、翰林）版，另一為部編版，但兩者計算結果 都相同。因康軒版（南一、翰林）之計算較部編版簡單，故一律採用康軒（南一、翰林）版本代表 公式四。. 25.
(36) 四 分 位 數. Qr （第 r 四分位數）( r ＝1,2,3 ). 方 法 樣 本 N( 奇 數 ) 式 ＝ 高 中註 16 公 設資料由小 式 到大排列： 五 . ；. ；. ＝. ＝ 3. ＝. 治 政 ， ：高斯函數 大＝. ＝. 立. ，. ＝. ：高斯函數. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＋. ‧. Qr (線性插值法). y. Qr(線性插值法). ＝. ＝. ＋1. n. al. ＝. sit. io. Tukey、 Hoaglin (1983). ＝. ＝. Nat. 公 式 八. 鄭堯拌 (1940)、 Moore & McCabe (2002). 3. ＝. Mendenhal & Sincich (1995). ；. 學. 公 式 七. ＝. 3. ‧ 國. 公 式 六. ＋ ；. ＝. ＋. er. 公. N( 偶 數 ). Ch. Qr (線性插值法). engchi. i n U. vQ. r. (線性插值法). 註 16：由於高中版本的南一、三民採用與國中相同的公式（百分位數） ，因此，此處高中版本指的是龍騰 （康熙、全華、翰林）版本代表公式五。. 26.
(37) 第三章 八組公式之數學特性 根據前一章歸納整理出有關四分位數之八組公式，由於八組公式的表示法不 一，所以各有不同的數學特性，因此會有不同的結果，在此將結果分為相同及相 異兩部分進行探討。 一、由於有些公式在不同樣本數之下，會得到相同的估計結果，針對這些類型的 公式，可以藉由數學證明來說明它們實際上是相同的，現在我們將透過數學方式 加以論證。 定理一：在 N＝4k、4k＋2 時，公式二、公式四、公式五、公式七、公式八的 、. 政 治 大. 之估計值是相同的。（公式七、公式八之偶數部分同公式二）. 立. ＝. ＝. ；. ‧. 則. ＝. 學. 令. ‧ 國. 公式二：. ；. ＋. ；. y. Nat. ，. 公式五（高中）：. 則. ﹐ 高斯函數 ； a l則 ＝ v i ； n Ch U engchi. n. ＝. er. io. 令. sit. 公式四（國中）：. ＝. ＝. ；當 ＝. ＝. ＝. ；當 ＝. <pf> （一）若 N＝4k 且. ＝ ＝. ＝ ＝. ＝. ＝. ＝. 27. ；.
(38) ＝. 又. ﹐. ＝. 則. ﹐. ＝. (2). (5). (4). ＝. ＝. ＝. 因. (2). (5). (4). ＝. ＝. ＝. (二）若 N＝4k. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. 又. ＝ ＝. (4). ＝. ＝. ,. (5). 因. ＝ (5). 因. ＝. sit. y. Nat. 2 時，公式二、公式四、. n. al. er. io. 公式七、公式八之結果與公式五相同。. i n U. v. 定理二：在 N＝4k＋3 時，公式一、公式四、公式五、公式六、公式七的. Ch. engchi. 值是相同的。（公式七之奇數部分同公式一） 公式一（Minitab）:. 則. ＝. ＝. ； ；. ＝. 註：等號上面. 證. ＝. 【結論】 ：由（一） 、 （二）證明得到，當 N＝4k、N＝4k. 令. 得. ；. ‧. (2). ,. ＝. 學. (4). ＝. 證. 政＝ 治 大. 立，. ＝. (2). 得. ﹐（. ﹐. ‧ 國. ＝. ＝. 因. 2. ＝. 且. 則. ＝. ；. 、. 、. 分別代表公式二、公式四、公式五。 28. 、. 之.
(39) 公式四（國中）： ﹐ ＝. 令. ＝. 則. 高斯函數 ；. ＝. ；. 公式五（高中）. ＝. ﹐. ＝. ﹐. ＝. ；當 ＝. ＝. ；當 ＝. 公式六 ＝. ﹐ ＝. <pf>. ＝. ＝. ＝. ＝. ， ﹐. ， ﹐ ＝. Nat. y. ＝. ＝. (5). (4). (6). ＝. ＝. ＝. (1). (5). (4). ＝. ＝. ＝. io. (1). ＝. n. al. sit. ‧ 國. 高斯函數. ‧. ＝. ；. 學. ＝. ＝. ＝. 又. 則. ＝. ＝. ＝. 政 治 大. 立. 若 N＝4k＋3 且. 則. 因. C＝h (6). e n g因 chi. er. 令. i n U. v. 得 證. 【結論】：由以上證明得到當 N＝4k＋3 時﹐公式一、公式四、公式六、公式七 之結果與公式五相同。. 註：等號上面. 、. 、. 、. 分別代表公式一、公式四、公式五、公式六。. 29.
(40) 定理三：在 N＝4k＋1 時，有以下兩種主要結果，其. 、. 之值是相同的。. (一)公式一（或公式七）、公式五之結果相同。（公式七之奇數部分同公式一） (二)公式三（或公式八）、公式四之結果相同。（公式八之奇數部分同公式三）. (一) 公式一（Minitab）: 令. ＝. ； ；. 立. ＝. 政 治 大. ；. 學. ‧ 國. 則. ＝. 公式五（高中）：. ＝. ；當 ＝. io. <pf>. n. al. ， r=1,2,3 ). 若 ＝ 令. ＝. 且. ＝. 則. er. ，. ＝. Ch. ＝. ，. (1). (5). ＝. ＝. e＝n g c (h＝i. (5). ＝. ＝. 、. i n U. v. ). ＝. (1). 註：等號上面. y. ；當 ＝. sit. ＝. ‧. ＝. ，. Nat. ＝. 得 證. 分別代表公式一、公式五。 30.
(41) (二) 公式三（Excel）: 令. 則. －. ＝. +1＝ + ， (. ,0. < 1；r=1,2,3). ；. ＝. ；. 公式四（國中）： 令. ＝. 則. ，. ＝. ；. 政 治 大. <pf>. 立 r=1,2,3 ) ＝. (3). (4). ＝. ＝. al. sit. ＝. n. (4). ＝. io. (3). ＝. y. ＝. Nat. ＝. ‧. ＝. 又. 則. ＝. ＝. er. ＝. ＝. 學. ＝. ‧ 國. 若 ＝. 且. 高斯函數 ；. 因. C因h. engchi. i n U. v. 得 證. 【結論】：由以上證明可知當 N＝4k＋1 時﹐有兩種不同的結果： (一) 公式一、公式五、公式七之結果相同。 (二) 公式三、公式四、公式八之結果相同。 定理四：根據定理一～定理三可觀察出公式五、公式七在 N＝4k 、4k＋1、4k ＋2、4k＋3 之結果是相同的。. 註： 等號上面. 、. 分別代表公式三、公式四。 31.
(42) 二、根據上述定理一～定理三之證明可知，在不同樣本數之下，某些公式會有相 同的結果。現在我們將僅針對結果不同的幾類公式中，分別就 本數. ＝ 、. 、. 在不同樣. ＋ 、 ＋ 、 ＋3) 的情況下，相互比較後按大小順序排列之，. 並透過數學方式加以證明。 定理五：在 Q1 情況下，可歸納出四類不同公式及兩種不同結果： (一) N＝4k、 ＋ 、 ＋. 時：Q1(公式三)＞Q1(公式二)＞Q1(公式一)＞Q1(公. 式六)。 (二) N= ＋3時：Q1(公式三)＞Q1(公式二)＞Q1(公式一)或 Q1 (公式六)。 公式一（Minitab）:. ＝. y. sit. al. ；. Ch. engchi. ；. ＝. ＋. er. ＝. n. 則. ；. io. 令. ；. Nat. 公式二：. ；. ‧ 國. ＝. ＝. ‧. 則. ＝. 立. 學. 令. 政 治 大. i n U. v. ；. 公式三（Excel）: 令. 則. ＝. ＝. －. ＋1＝ ＋ ， (. ,0. < 1；r=1,2,3). ； ＋. ；. 公式六： 令. ＝. ﹐ ＝. 則. ＝. 32. ；. 高斯函數.
(43) <pf> （一）N＝4k、 ＋ 、 ＋ r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得. ＝ ＋. ＝. 則. ＝ ＋ －. ＝. 則. ＝ ＋. ＝. ＝. 比較之後得. 則. 公式三 ＞. 立. ＝ ＝. ＝. ‥‥. 則. io. － ＝. 則 則. ＝ ＝. ‥‥ ‥‥ ‥‥. ＝. ＝. ＝. 比較之後得. 、. 、. ＝ 則. ＝. ＝. 、. i n U. v. 公式一 ＞. engchi. 則. ＝. ＝. 註：. 公式二 ＞. Ch. ‥‥. 公式六 。. r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得. C. 當 N＝ ＋ 時， ＝. 公式六 。. ‥‥. －. n. al. 公式三 ＞. ‥‥. ‧. 則. 〕＝. 比較之後得. －. ＝. ＝ ＋. Nat. ＝〔. ＋. ‥‥. 學. －. －. 則. ＋ ＝ ＋. ＝. ‥‥‥‥. r=1,2,3 )，依據公式一、二、三、六，可得. ＝ ＋. ＝. －. 治 公式一 ＞ 公式二 ＞ 政 大. ‧ 國. B. 當 N＝ ＋ 時， ＝. ＝. y. ＝. sit. 時，. er. A. 當 ＝. 公式三 ＞. － ＝. 則 則. ＝. ‥‥. ‥‥ ＝. －. ‥‥. ‥‥. 公式二 ＞. 公式一 ＞. 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。 33. 公式六 。.
(44) (二）N＝ ＋3 r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得. 當 N＝ ＋3 時， ＝. ＝ ＝. 則. ＝. ＝. ＝. 則. ＝. ＝. 則. 公式三 ＞. ‥‥. ＝. 則. ＝. 比較之後得. ＋. －. ＝. ＝. 公式二 ＞. ＋. ‥‥. －. ‥‥. ‥‥ 公式一 或. 公式六 。. 政 治 大 (公式二)＞ (公式三)＞. 定理六：在 Q3 情況下，可歸納出四類不同公式及四種不同結果：. 立. (一) N＝4k 時：. (公式一)＞. (公式六)。. (公式二)＞. (公式三)或. 公式六)。. (三) N＝ ＋ 時：. (公式一)＞. (公式二)或. (公式六）＞. (公式三)。. (四) N＝ ＋3時：. (公式一)或. (公式六）＞. ‧. ‧ 國. (公式一)＞. 學. (二) N＝ ＋ 時：. (公式二)＞. Nat. ＝. ＝. sit. n. al. ；. er. io. 令. y. 公式一（Minitab）:. 則. ＝. C；h ；. engchi. i n U. v. 公式二： 令. ＝. 則. 註：. ＝. 、. 、. ＝. ； ；. ＋. 、. ；. 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。. 34. (公式三)。.
(45) 公式三（Excel）: 令. －. ＝. 則. +1＝ + ， (. ,0. < 1；r=1,2,3). ；. ＝. ；. 公式六： 令. ＝. ﹐. 則. ＝. ；. 高斯函數. <pf>. ＝. ＝. ＝. ＋ ＝. r＝1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得 ＋. 立. ＝. 則. ＝3. 則. Nat. 比較之後得. (公式一)＞. io. al. n. (二) 當 ＝ ＋ 時，. ＝ ＝. 3. ＝3 ＋. 3. ＝3 ＋. 3. －. ＝ 比較之後得. 註：. 、. 、. ＝. －. ＝. ‥‥. －. ‥‥‥‥. (公式二)＞. (公式三)＞. ‥‥. (公式六)。. r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得. Ch 則. e＝n g c h i. i n U. ＝. ＝3 ＋. 則. ＝. ‥‥‥‥. ＝3 ＋. 則. ＝. ‥‥. (公式二)＞. v. －. 則. (公式一)＞. 、. ＝. er. 3. ＝. ＝. 則. ‧. ‧ 國. ＋. ‥‥‥‥. 學. ＝. 治 － ＝ 政 大. 則. y. 時，. sit. (一) 當 ＝. ‥‥‥‥. －. (公式三)或. 公式六)。. 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。 35. ‥‥‥‥.
(46) r＝1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得. (三) 當 ＝ ＋ 時，. ＋ ＝ －. ＋ ＝. ＝. (公式一)＞. 3. ＝3 ＋. －. 3. 3. 、. 3. ‥‥. (公式三)。. 政 治 大. ＝3 ＋3. ＝. 則. ＝3 ＋. ＝. 則 則. ‥‥‥‥ ＋. ＝ ＝. ＋. －. －. ‥‥ ‥‥. ‥‥‥‥ ‥‥. a l (公式六）＞ (公式二)＞ i v(公式三)。 n Ch U engchi. (公式一)或. 、. －. (公式六）＞. n. 、. ＝ ‥‥. (公式二)或. 立則. io. 比較之後得. ＝. ‥‥. r=1,2,3 ) ，依據公式一、二、三、六，可得. Nat. 3. ＝. 註：. ＝3 ＋3. ‧ 國. 3. 則. ‥‥. ‧. ＝. 3. ＝. －. 學. ＝. 3. 則. 則. (四) 當 ＝ ＋3 時， ＝. ＝. ＋. ＝. 比較之後得. 則. y. ＝ ＝. ＋. sit. ＝. er. ＝. 分別代表公式一、公式二、公式三、公式六。. 36.
(47) 第四章. 探討國高中課程之差異. 本章將探討透過國高中版本的四分位數計算公式來求算四分位數時所可能 衍生的差異。. 一、國（高）中課程－四分位數與百分位數之差異 我們先以下面例子作說明，這四筆資料分別代表出資料筆數為 4k 、4k＋1、 4k＋2、4k＋3 的情況。 N＝13：40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71。. 政 治 大 N＝14：40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73。 立. ‧ 國. 學. N＝15：40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73、74。. ‧. N＝16：40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73、74、75。 在此一提，高中求第一四分位數 Q1 是以中位數(50%)資料前半再求其中位數. y. Nat. io. n. al. er. (一) 高中版本四分位數求法：. Ch. sit. (估算兩次)，與國中直接算 25%的求法不同。. engchi. 37. i n U. v.
(48) （二）國中版本四分位數求法： 由於國中版本是以百分位數的情況下來定義四分位數，因此我們要分別求 算第 25、50、75 百分位數。 （1）N＝13 40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71。 ＝. ＝ ＝. ＝. ＝. ， 政 治 大. 立 ＝. ＝ ＝. ＝. ＝ ＝. ＝. ＝. 。. ‧. ＝. ×. ＝. Nat. （2）N＝14. y. 則. ＝. 學. ＝. ×. ‧ 國. ＝. ＝. io. sit. 且. ×. al. er. 令. n. 40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73。 令. ＝. ＝ ＝. 且. ＝. ＝ 則. × × ×. engchi. ＝ ＝. ，. ＝. ＝. ＝ ＝. Ch. i n U. ＝ ＝ ＝. ＝. ＝ 3 。. ＝ ＝. ＝. 38. v.
(49) （3）N＝15 40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73、74。 令. ＝. ＝ ＝. 且. ＝. ＝. ×. ＝. ×. ，. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝ ＝ 治 。 政 大 ＝ ＝. 立. 學. （4）N＝16. ＝ ＝. ‧ 國. 則. ×. ＝. 則. × ×. ＝. y. sit. al. n. ＝. 且. ×. io. ＝. er. ＝. Nat. 令. ‧. 40、43、55、56、59、60、62、64、65、67、68、70、71、73、74、75。. ＝ ＝. Ch. ，. engchi. ＝. ＝. ＝. ＝ 7. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. 39. 7. 7. ＝7. i n U. v. 。.
(50) (三）二者比較 表 4–1–1 國中、高中公式在樣本數 N＝13 ～ 16 之比較. 政 治 大. 立. 由上表 4–1–1 發現在 N＝13（4k+1）時，國高中計算四分位數的結果有所. ‧ 國. 學. 不同，其差異由下表可看出來：. ‧. ( 1) 高中版本的第 1 四分位數並不符合國中版本第 25 百分位數定義，即至少有 75％(≧75％)的資料大於或等於 Q1，且至少有 25％(≧25％)的資料小於或等於 Q1；. y. Nat. io. sit. 但表 4–1–2 中之 3/13 並不大於 25％，必須要 4/13 才會大於 25％。同理：. n. al. er. 表 4–1–2 第 1 四分位數與第 25 百分位數差異. Ch. engchi. i n U. v. ( 2 ) 高中版本的第 3 四分位數並也不符合國中第 75 百分位數定義，即至少有 25 ％(≧25％)的資料大於或等於 Q3，且至少有 75％(≧75％)的資料小於或等於 Q3； 但表 4–1–3 中之 3/13 並不大於 25％，必須要 4/13 才會大於 25％。 表 4–1–3 第 3 四分位數與第 75 百分位數差異. 40.
(51) 由上述例子可以發現當原始資料之個數為 4k+1（當 k 為正整數）時，藉由高 中版本的計算公式所算出來的 Q1 與 Q3，與藉由國中版本所計算出來的 25 及 75 百分位數可能有所不同。其餘資料個數情況，似乎並不會發生不一致的現象。事 實上，我們的確可以透過數學方式證明在 N = 4k、4k +2、4k +3 時，使用公式四 （國中）、公式五（高中）之結果是相同的，但 N = 4k +1 時是不成立的。 公式四（國中）：. 令 . ＝. ；（r＝1,2,3） 則. 立. ‧ 國. ；當 ＝. ＝. ；當 ＝. （A）若 N＝ k﹐(k. al. ＝. n. （B）若 N＝4k＋2﹐(k. ＝. 因. ＝. io. ＝. ＝. sit. ＝. ＝. y. Nat. 則. )﹐. ‧. <pf>. ﹐. ＝. 學. ＝. ﹐. ；. 政 治 大. 公式五（高中）：. ＝. ；. ＝. er. . ＝. Ch. )﹐. e＝n g＝c h i. i n U＝. 得証. v. ﹐且. ﹐. ， 則. ＝. ＝. ＝. ＝. （C）若 N＝4k＋3﹐. 則. ＝ ＝ ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. （D）若 N＝4k＋1﹐. ＝. ＝. ＝. 得証. ＝. ＝ ＝ ＝. ＝. ＝. ＝. 41. 得証. ＝ ，.
(52) 則. ＝. ＝. ＝. ＝. ＝. 因. ＝. ＝. ＝ 因. 【結論】 ：由（A）～（D）之證明得到公式四（國中） 、公式五（高中）在 N＝4k、 4k＋2、4k＋3 時，其結果是相同的，但在 N＝4k＋1 時是不成立的。 二、 國中教學之因應 1. 排序之量度法有許多種：4 分率(4 分位數)、10 分率(10 分位數)、百分率(百分 位數)等，這些量度法之基本觀念均相同，而其中被正式定義過的只有百分率 (百分位數)，合乎定義之百分位數可能是一點(唯一解)，亦可能是一個閉區間. 政 治 大. (多解)，國中教材為配合四分位數之一般求法，規定在多解時以閉區間之中. 立. 點為其百分位數。（正式課程綱要，95）. ‧ 國. 學. 2. 考試時若題目未宣告，合理求法都可接受。. 3. 避開未分組資料個數 N＝4k+1 筆（當 k 為正整數）之命題。. ‧. Nat. y. 三、高中課本四分位數銜接（未分組資料）. ﹐則不論 N 為 2 m 或 2 m＋1﹐其中位數（Me）以上. n. er. io. al. sit. 將 N 個資料按大小順序排列為. i n U. v. 與以下的個數必然等於 m 個，且 m 在奇數、偶數不同情況下，所得 結果如下： 1. 當 m＝2k＋1 時﹐(k. Ch. engchi. )，分別討論 N＝2 m﹐2 m＋1 的情形如下：. Case1：N＝2 m＝4k＋2， ＝. ＋. ＝. ＋. ＋. ＋. ＝. ＋. ＝. ＋. ＝. Case2：N＝2 m＋1＝4k＋3， ＝. ＋. ＋. 、. ＝. 42. ＝. －. ＝. 之.
(53) ＝. ＋. ＋. ＝. ＋. ＋. ＝. ＝. －. ＝. 由 Case1、Case2 的討論，我們可以得到當 m＝2k＋1 時，資料筆數為 N＝4k＋2 與 N＝4k＋3，則. ＝. ，. 2. 當 m＝2k 時﹐(k. ＝. 。. ) ，分別討論 N＝2 m﹐2 m＋1 的情形如下：. Case1：N＝2 m＝4k， ＋. ＝ ＝. ＝ ＝. ＝. Case2：N＝2 m＋1＝4k＋1， ＋. ＝. ＝ 立. ‧ 國. ＝. ＋. ＋. 學. ＋. ＝. 政 治 大 ＝. 由 Case1、Case2 的討論，我們可以得到當 m＝2k 時，資料筆數為 N＝4k 與 N＝ ＝. ﹐. ＝. ‧. 。. io. sit. y. Nat. n. al. er. 4k＋1，則. Ch. engchi. 43. i n U. v.
(54) 第五章. 模擬研究結果與討論. 根據第二章歸納整理出有關四分位數之八組公式，將藉由模擬實驗的方式來 進一步了解這八組公式在不同資料結構分配下的適用性。第一節為模擬方法說明 ，第二節八組公式之模擬結果比較。. 模擬方法. 第一節. 在第三章已透過數學證明的方式推論八組公式之結果相同及相異的情況。若 欲探討此八組公式的適用性，我們將藉由模擬實驗的方式來進行評比。在假設原 始資料分別來自不同形式分配的情況下，我們將分別就各種公式所得出四分位數. 政 治 大. 估計值的好壞作探討。我們所考慮的資料原始分配包含五種右偏程度不一的分配，. 立. 包括卡方分配自由度 1﹐5﹐10. （ ）. ﹐. （ ）. ﹐. （. ）. （圖 5﹣1﹣1） 、指數分配. ‧ 國. 學. ﹐. 的型式（圖 5﹣1﹣2）以及平均數為 100﹐標準差為. ‧. 10 的常態分配這一種對稱的型式（圖 5﹣1﹣3）。評估指標為偏誤（Bias）、標. n. al. er. io. sit. y. Nat. 準差（SD）與均方根誤差（RMSE）及平均相對誤差百分比 ( AvRE )。. Ch. engchi. 圖 5-1-1 卡方分配：. 圖 5-1-2 指數分配：Exp（ = ,15）. （ ）. ﹐. i n U. （ ）. ﹐. v. （. ）. 圖 5-1-3 常態分配:平均數 100,標準差 10. 44.
(55) 一、【模擬方法】 在前述六種連續資料型態分配下，每個分配都隨機抽取出 N 筆數據，其中 N 分別是 40～43、100～103、400～403、1000～1003。將八組不同公式分別代入求 出四分位數的估計值。每種情形都各進行 1000 次的模擬，並與分配本身真正的 第一四分位數、第三四分位數作比較。 二、【評估指標】 在每一種原始分配與樣本數的組合下，我們各分別產生 1000 組數據，分別 代入前述八組公式後，每組公式我們都可以得到 1000 個四分位數的估計值，我. 政 治 大. 們將藉由這些數值來評比八組公式的表現，並以偏誤（Bias）、標準差（SD）、. 立. 均方根誤差（RMSE）及平均相對誤差百分比 ( AvRE )等四個評估指標來評估. ‧ 國. 學. 何者較好。. （一）偏誤（Bias） ：是指重複測量的平均估計值和目標值（真實值）之間的差，. ‧. 可視為準確度。. Nat. sit. y. 所謂的準確度(Validity)：是指測量值（估計值）和所欲測量之目標（真實值）. n. al. er. io. 間接近的程度，兩者差異愈小，代表準確度愈高。簡單說就是重複實驗的結果. i n U. v. 與真實值越相近，準確度越高。在此重複性的測量可喻為箭，所以準確度是敘. Ch. engchi. 述測量值（估計值）之間對於靶心（真實值）的密集度，越接近靶心的箭被認 為是較準確的。（參考圖 5-1-4）. Bias :. 1 n ˆ ( ) n j 1 j. n : 模擬次數. : 真實值 真實四分位數值. ˆj :第 j 次模擬所得到的估計值. 45.
(56) （二）標準差（SD）：標準差可以當作不確定性的一種測量。例如：在做重複 性測量時，測量數值（估計值）集合的標準差代表這些測量的精確度。 所謂的精確度(Precision)：是指測量值（估計值）本身精確的程度。即：在 重複測量同一標的的過程中, 測量結果是否相差不多。在統計上常以「標準 差」或「變異數」衡量。（參考圖 5-1-5）. 1 n ˆ 2 ( j ˆ ) n 1 j 1. SD :. n：模擬次數. ˆj :第 j 次模擬所得到的估計值 1 n. n. j. 模擬 :. 立. j =1. 政 治 大. 次所得到的平均估計值 n. 學 ‧. ‧ 國. ˆ =. y. Nat. 圖 5-1-5 高精確度﹐低準確度. sit. 圖 5-1-4 高準確度﹐低精確度. n. al. er. io. （三）均方根誤差（RMSE） ：包含了 SD（標準差）以及 Bias（偏誤）的一個綜. i n U. v. 合性指標。由於單單要求偏誤小或者標準差小，諸如（圖 4-1-4） 、 （圖 4-1-5）所. Ch. engchi. 表示的情況，未必是一個好的評估指標。 RMSE :. 1 n ˆ 2 ( ) n j 1 j. n : 模擬次數. ˆj :第 j 次模擬所得到的估計值. : 真實值 真實四分位數值 以上三種評估指標中，無論哪一種指標所得到的數值愈小且愈接近 0 的話， 代表這個公式是越適用的。 46.
(57) （四）平均相對誤差百分比（AvRE）：. ˆ 1 n j Av R E 1 0 ﹪ 0 n j 1 n : 模擬次數. ˆj : 第 j 次模擬所得到的估計值 : 真實值 真實四分位數值 由前述可知評估指標（一）~（三）為絕對誤差， 絕對誤差 估計值－真實值 而. 立. 估計值－真實值. 學. 真實值. ‧ 國. 相對誤差. 政 治 大. 由於以相對誤差來判定估計值的誤差量較為客觀，所以在接下來的討論中. ‧. 也會以平均相對誤差百分比進行評估。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 47. i n U. v.
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