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第六章 結論與建議 第一節 結 論
本研究之主要目的在於探討國中、高中教材在四分位數定義不同情形下，所 可能衍生出來的差異情況。並蒐集從國中到高中及大學統計學教科書有關四分位 數的不同計算公式，想了解這些公式在不同資料結構分配下，就第一、第三四分 位數與四分位距的估計上，探討何種公式在何種資料型態下較適用。根據第四、
五章之研究結果與討論，本章加以整理歸納，並提供建議，以供教師們從事教學 時及未來研究之參考。
綜合研究發現，歸納結論如下：
一、有關四分位數的定義，大致上我們都知道，四分位數就是將資料分成四等份 時的「割點」位置，教學上，老師應該先確定學生吸收並理解這個概念。至於實 務上，因為我們面臨的是實際上觀察到的資料為有限筆，因此不同的操作定義，
就可能會有些微不同的計算結果。
這個問題，反應了處理統計資料的實用特徵，因實務上所有資料數為有限，
所以會衍生出一些問題。
國中四分位數的定義方式是採用百分位數的概念進行（中位數的定義方式也 相同），因此由百分位數的角度來做思考的話，不會衍生任何問題。但是高中版 本的四分位數定義方式並非著眼百分位數的想法，因此計算出來的值會略微不 同。
其實當資料筆數非常大時，依據國中、高中的四分位數定義所得出的數值並 沒有差別，但在量少時會出現些微差異，特別是在 N＝4k＋1 時，至於在 N＝4k、
4k＋2、4k＋3 時則相同。因此老師們可以試試看，將這項事實在教學時告訴學生 (針對高中生部分)，兩者差異在於是否含中位數(第二四分位數)，由於操作定義 的不同，導致結果有些差異，不過觀念上而言，二者都是合理的定義。但考試時 則最好避免 N＝4k＋1 這類情況。
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二、將國中、高中及大學統計學教科書上所蒐集到有關四分位數的八組公式，經 過模擬研究之後，發現八組公式在大樣本時的表現差異其實都不大，僅在小樣本 N＝40～43 的情況下，Bias、SD、RMSE、AvRE 會呈現出較明顯差異，其次是 N
＝100～103 的情況；隨樣本數增加至 N＝400～403 時，Bias、SD、RMSE、AvRE 之差異愈來愈小；當 N＝1000～1003，其差異微乎其微，幾乎接近０。所以當數 據資料為大樣本時，用哪一個公式已沒有多大的差別。故由第五章模擬研究發現 八組公式於小樣本時之表現較佳情形，分成絕對誤差與相對誤差兩大類：
(1) 絕對誤差
公式一較適合用來求卡方分配（右偏型）第一四分位數；公式六則較適合用來求 指數分配（右偏型）第一四分位數。公式三在卡方分配、指數分配（右偏資料結 構）下，都得到較好的 Q3與 IQR 之估計，所以較適合用來求右偏型第三四分位 數與四分位距。而公式二則較適合求對稱型之第三四分位數與四分位距。
(2) 相對誤差
公式一較適合用來求卡方分配、指數分配（右偏型）之第一四分位數。公式三在 卡方分配、指數分配（右偏資料結構）下，得到較好的 Q3估計，所以較適合用 來求右偏型第三四分位數。而公式二則較適合求對稱型之四分位距。
綜合上述可知公式一、公式六在絕對誤差之表現差不多，但公式一在相對誤 差之表現較佳，故公式一較適合用來求右偏型第一四分位數。而公式三在絕對誤 差與相對誤差之表現都較佳，故公式三較適合用來求右偏型第三四分位數。而公 式二則較適用於對稱型資料結構。至於公式四（國中）、公式五（高中）在大部 份資料型態上的表現儘管稱不上是最好， 但也不是最差。
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第二節 建 議
國中在進行百分位數的教學時，建議在教中位數時可以先引導介紹第 50 百 分位數，讓學生先有一點點的概念，接著介紹百分位數會更容易聽懂。而大部份 的學生對於處理百分位數的態度，可能都用背誦的方式，直接帶入公式來算，未 必懂得其意義，教師可針對學生程度給予適當的說明（繆友勇，2010）。所以國 中階段的教學如同前面所述，以學生易懂為第一優先考量，P25、P75簡明易懂，
故應以『累積百分率圖』(百分位數 ﹣公式四）概念來引導較適宜，如此較容易 引起學生之學習動機。
由前一節結論可知，公式一(Minitab)、公式三(Excel)在八組公式中的表現較 佳。而 Minitab、Excel 又為數學常用的統計軟體及試算軟體，所以對國中階段的 學生若能融入資訊教學，相信有助於學生進一步對四分位數與百分位數的了解，
不妨讓學生體驗一下。雖然計算出來的結果與課本所學可能有一點出入，但請不 用太在意，畢竟計算公式的不同，導致結果有些差異，但公式背後所蘊藏的意義 是相同的，且國中階段的統計則是偏重觀念的教學。
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