國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
20
第六節 共整合與向量誤差修正模型
共整合理論是 Engle-Granger(1987)所提出，該理論指出若一組非定態的時 間序列變數的線性組合為定態，那我們就稱這些時間序列變數具有「共整合」關 係。共整合關係檢定的目的主要是檢驗非定態的經濟變數長期間是否具有均衡的 關係，而這樣的均衡關係有時可能會滿足某種經濟意涵的存在。
(一) 共整合關係
若一非定態時間序列𝑦𝑡經過 k 次差分之後才會變成定態，則此變數我們就稱 為「k 階整合變數」(integrated of order k)，我們以符號yt~I(k)來表示，而
∆kyt~I(0)。
根據 Engle-Granger(1987)對共整合的定義，若有兩個經濟變數𝑥𝑡與𝑦𝑡皆為 I(d)序列資料，𝑥𝑡與𝑦𝑡的線性組合為 I(0)數列，則表示𝑥𝑡與𝑦𝑡兩變數兼具有共整 合關係。我們同樣可以用矩陣的方式來表達多變數序列資料的共整合的關係，假 設時間序列有 m 個變數且所有變數皆為 I(d)序列資料，以向量Xt~I(d)表示，如 果存在一組向量β使得β′Xt = εt~I(d − b)且 d>b>0，則我們稱Xt存在(d-b)階的 共整合關係，表示為Xt~I(d − b)，β稱為共整合向量(cointegration vector)。
(二) 共整合檢定
檢定數列之間是否存在共整合關係的檢定方法有兩種，一種為
Engle-Granger 兩階段共整合檢定法，另一種則為 Johansen 之共整合檢定，本 文中我們採 Johansen 共整合檢定，因此，我們便針對 Johansen 之檢定方法來做 介紹。
Johansen 所提出之最大概似估計法(maximum likelihood estimation)所進 行之共整合檢定可以有效解決 Engle-Granger 兩階段共整合檢定的缺失，將兩變 數擴充為多變數，允許有多組共整合向量的存在，並以向量自我迴歸模型為基礎，
將所有變數均視為聯合內生變數，解決了因果關係的問題，同時也將變數之間相
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
21 互影響之效果納入了考慮。
Johansen 共整合檢定假設Yt為一具有 n 個變數的(n×1)之 I(1)向量，則落後 p 期之向量自我迴歸模型 VAR(p)表示為：
Yt = Π1𝑌𝑡−1+ Π2𝑌𝑡−2+ ⋯ + Π𝑝𝑌𝑡−𝑝+ 𝜇 + ∅𝐷𝑡+ 𝜀𝑡，t = 1,2 … , T
其中，p 為落後期數，εt~iid N(0, Σ𝜀)，Σ𝜀為共變異數矩陣，∅為(n × n)之係 數矩陣，𝐷𝑡為(n × 1)之確定項(deterministic term，包括時間趨勢、虛擬變數 及其他外生變數等)，μ為(n × 1)之常數向量，Π𝑡為(n × n)之係數矩陣。
根據 Granger(1987)提出之「Granger 表現定理」(Granger representation theorem)，若Δ = I − L，L 是落後運算因子(lag operator)，則我們可以將上式 落後 p 期之向量自我迴歸模型轉換成以誤差修正模型的方式來呈現，其表示如 下：
∆Yt = Γ1Δ𝑌𝑡−1+ Γ2Δ𝑌𝑡−2+ ⋯ + Γ𝑝−1Δ𝑌𝑡−𝑝+1+ 𝜇 + ∅𝐷𝑡+ 𝜀𝑡
= ∑ Γ𝑖Δ𝑌𝑡−𝑖
𝑝−1
𝑖=1
+ Π𝑌𝑡−1+ 𝜇 + ∅𝐷𝑡+ 𝜀𝑡
其中，Γi = −(Ip− Π1− Π2− ⋯ − Πi) i=1,2,…,p-1
Π = −(Ip− Π1 − Π2− ⋯ − Πp)
上式中∑𝑝−1𝑖=1 Γ𝑖Δ𝑌𝑡−𝑖反映出變數Yt的短期動態關係，亦即當體系受到干擾時，
模型中各個變數脫離均衡關係後的動態調整情形，Π𝑌𝑡−1為誤差修正項，此項反 映了模型中經過差分後所喪失的長期訊息的調整情形，用來刻劃變數Yt的長期關 係，Π為所有落後項係數矩陣Πi的線性組合，為過去各期效果的累積，也代表著 所有長期相關訊息都可以由Π反應出來，因此，Π又稱作長期衝擊矩陣(impact
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
22
matrix)。其中，我們可以透過Π矩陣的秩(rank)來決定共整合向量的數目，藉 此來檢定變數間是否具有共整合關係，檢定結果可以分成下列三種情況：
1. 若 rank(Π)= p，Π即為滿秩(full rank)，表示Yt為一定態序列。
2. 若 rank(Π)=0，Π即為空矩陣(null matrix)，表示向量Yt中沒有共整合 向量，也就是變數間沒有長期的均衡關係，即不存在共整合關係。
3. 若0 < rank(Π) = r < p，表示向量Yt中存在 r 個共整合向量，變數之間 存在共整合的關係。
由上述情況我們可以得知，檢定的過程其實在於確定Π矩陣秩(rank)的個數，
此外，再根據 Granger 表現定理，我們可以再將Π矩陣分解成Π = αβ′，故我們 可以令虛無假設為：
H0：rank(Π)= r < p 或 Π = α𝛽′
其中，α與β皆為(p × r)的矩陣且rank(α) = rank(β) = r。α代表的是誤差修 正項的係數，同時也用來衡量各變數偏離均衡的情況下，透過誤差修正項來修正 往長期均衡水準的調整速度，故係數越大則表示調整的速度越快，反之則調整速 度越慢，因此，α又被稱為權重向量(loading vector)或調整係數矩陣
(adjustment coefficient matrix)，β則為共整合向量。
檢定出共整合關係後，Johansen 提出兩種統計量來決定共整合階次，藉此 檢定經濟變數中共整合向量的個數，其分述如下：
1. 軌跡檢定(trace test,又稱「對角元素和檢定」)
在還沒有確定共整合向量的個數前，我們先透過計算求得特性根值，並利用 特性根來進行軌跡檢定，找出共整合向量的個數，其虛無假設與對立假設如 下：
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
23
H0：rank(Π)≤ r (即最多有 r 個共整合向量)
H𝑎：rank(Π)> r + 1 (即最少有 r+1 個共整合向量)
軌跡檢定之統計量為：λtrace(r) = −T ∑ni=r+1ln (1 − λ̂i) 其中，T 代表樣本總數，λ̂是第 i 個特性根的估計值 i
2. 最大特性根檢定(maximum eigenvalue test)
在進行最大特性根檢定時，我們依然利用所求之特性根來進行檢定，其虛無 假設與對立假設如下：
H0：rank(Π)= r (即有 r 個共整合向量)
H𝑎：rank(Π)= r + 1 (即有 r+1 個共整合向量)
最大特性根之統計量為：λmax(r, r + 1) = −Tln(1 − λ̂ ) r+1 其中，T 代表樣本總數，λ̂是第 i 個特性根的估計值。 i
(三) 向量誤差修正模型(Vector Error Correction Model,VECM)
根據 Granger 提出的 Granger 表現定理，共整合與誤差修正模型存在著某種 對應關係，也就是說，當模型中的經濟變數間存在著共整合關係時，我們可以將 變數間的關係透過誤差修正模型來呈現。我們可以將上述利用 Johansen 最大概 似估計法檢定變數間是否具有共整合關係之模型之方程式整理成五個不同的向 量誤差修正模型如下：
1. VAR 與 CE(共整合向量)都無截距項
∆Yt= ∑ ΓiΔYt−i
p−1
i=1
+ αβ′Yt−1+ ∅Dt+ εt
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
25 計量來決定。
LR(likelihood ratio)統計量= T(ln|ΣR| − ln|ΣU|)~χ2(d)
調整的 LR 統計量= (T − c)(ln|ΣR| − ln|ΣU|)~χ2(d)
其中，T 為樣本總數，c 是未受限式中的「其中一條方程式」待估參數數目，
χ2的自由度 d 則是限制式的數目，ΣU為未受限式之共變異數矩陣，ΣR為受限制 式之共變異數矩陣。