第二章 近景攝影測量基礎理論
2.2 物空間坐標系統與像坐標系統之關係
2.2.4 共線方程式
數學上物點、像點與透視投影中心之關係，可用共線方程式（Collinearity Equations）
來表示，其應用於攝影測量各個層面，如空間前方交會與後方交會、空中三角測量及影
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像點、物點及透視投影中心三點共線之關係，實際上和理論上會有些微差異，因存 在系統誤差而造成像平面上之點位坐標偏移，影響點位物空間坐標之解算精度。系統誤 差主要來源為鏡頭畸變差、底片變形或不平坦、大氣折光及地球曲率等因素，在近景攝 影測量中，通常不考慮大氣折光及地球曲率的影響。為消除系統誤差之影響，可將附加 參數（Additional Parameters）加入共線式中，以做為系統誤差之補償。將 2.2.2 所描述 的對稱輻射透鏡畸變差改正量（δx, δy）及離心畸變差改正量（Δx, Δy）加入共線式中，
空間前方交會（Space Intersection）數學模式是以共線方程式為基礎，利用立體對 重疊影像之共軛光束實施前方交會為攝影測量獲取物點坐標的基本做法，如圖 2-4 所示，
將線性化的共線方程式以最小二乘法平差模式迭代求解未知物空間坐標。理論上單像光 束無交會點，故無法求解三維空間物點坐標（X, Y, Z），但若結合數值地形模型（Digital Terrain Model, DTM），利用光束與數值模型表面交會為物點之原理亦可解算空間坐標。
X
12 面相交之直線上，為核線（Epipolar Lines）。兩立體像對之左、右核線為共軛核線
（Conjugate Epipolar Lines），左影像像點 aL與右影像像點 aR為共軛點，其必然分別落 於左核線與右核線上。以兩透視投影中心連線 為核軸（Epipolar Axis），物空間中每 個物點與其構成一個核面，故核面有無窮多個，其與像平面相交之核線也無窮多。影像 匹配時，可將左影像上之像點作為參考點，搜尋右影像上之共軛點時將共軛點的搜尋建 立在一維核線上，節省搜尋次數與時間而提升自動化效能。
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圖 2-5、核幾何示意圖
2.4 影像匹配
在數位攝影測量中，影像匹配（Image Matching）利用影像灰度值之相關特性，以 數學演算法決定立體像對重疊區之共軛像點。一般常見的數位影像匹配技術，可分為區 域匹配（Area-Based Matching）、特徵匹配（Feature-Based Matching）及混合匹配（Hybrid Matching）三種（Wolf & Dewitt, 2000）。區域匹配是於參考影像上確定一目標點，並以 其為中心設計目標視窗，至另一影像之搜尋視窗中尋找最相似區域，找尋方式為計算搜 尋視窗中像元之灰度值相似程度，並以相關係數作為相似度指標，最相似區域之中心像 元位置代表共軛像點；特徵匹配之目的為在影像中灰度值變化較明顯的地方，萃取影像 目標物之點、線、面特徵，根據不同特徵與應用發展出不同特徵匹配演算法：基於點特 徵（Point-based）、邊界特徵（Edge-based）及區塊特徵（Segment-based）等匹配法，針 對特徵之幾何屬性加以描述並作相似性評估，獲得共軛像點；混合匹配為結合上述兩種 方法，先強調左右影像中之邊界特徵，再以區域匹配得到共軛像點（Wolf & Dewitt, 2000）。
一般常用區域匹配方法有標準化互相關法（Normalized Cross Correlation, NCC）、最
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小二乘匹配法（Least Squares Matching, LSM）等。柯濤（2008）提及 Lensphoto 軟體在 空三匹配之粗略匹配時使用標準化互相關法，而空三精密匹配時使用最小二乘匹配法。
此兩種方法茲加以介紹如下。
2.4.1 標準化互相關法
標準化互相關法（NCC）是依統計相關原理進行影像匹配，經找尋目標視窗與其搜 尋視窗中相重疊區域之灰度值互相關係數（Cross Correlation Coefficient）最大者，為最 佳匹配位置（吳怡燊，2003）。Wolf & Dewitt（2000）說明在立體像對之左、右影像分 別選取相同大小（m×n）之子陣列 A、B，其相關係數是透過子陣列內像元灰度值之計算
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圖 2-6、NCC 影像匹配之示意圖（修改自 Wolf & Dewitt, 2000）
2.4.2 最小二乘匹配法
最小二乘匹配法（Ackermann, 1983）主要為求取目標視窗與搜尋視窗中像元灰度值 差異最小之位置，其為最佳匹配位置。數學模式上，是以影像灰度值進行最小二乘法平 差計算，可獲得共軛點位之次像元（Sub-pixel）精度。最小二乘匹配法分為兩大類，一 種為僅考慮輻射變形而不考慮幾何變形之最小二乘匹配法（LSM1），另一種為輻射變形 與幾何變形皆考慮之最小二乘匹配法（LSM2），本文在此介紹 LSM2。LSM2 同時考慮 兩種影像灰度值之變形：輻射變形與幾何變形，輻射變形由照明條件、目標物輻射面方 向、大氣與相機物鏡之衰減等原因所造成；產生幾何變形之因是由相機透鏡畸變差、傾 斜攝影造成影像透視畸變及地形造成之影像畸變等。
圖 2-7 為左右影像間之幾何變形示意圖，根據中心透視投影原理，目標物區塊為四 邊形 ABCD，兩攝影中心 S1 與 S2，對應目標物區塊之影像視窗分別為左影像之矩形 a1b1c1d1，右影像之任意四邊形 a2b2c2d2。圖 2-8 為 LSM2 圖示，目標視窗 m0經參數轉換 後在搜尋視窗中變成 m1形狀，並在搜尋視窗中與各個相對應灰度值相減，組成觀測方 程式，利用最小二乘法原理解算對應中心像元之坐標，即共軛像點之位置。
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圖 2-7、左右影像間幾何變形
（柯濤，2008）
圖 2-8、考慮幾何變形之最小二乘匹配法圖 示（修改自 Schenk, 1999）
以 表示目標視窗像元位置之灰度值函數， 為搜尋視窗像元 位置之灰度值函數，利用仿射轉換（Affine Transformation）來描述目標視窗與搜尋視窗 之幾何轉換，基本方程式如下：
··· (2-17) ··· (2-18) ··· (2-19)
以（2-18）與（2-19）式改寫（2-17）式，如下：
··· (2-20)
其中 ，a0~a2、b0~b2 為仿射轉換六個參數， 表示 經 A 仿射轉換後所對應搜尋視窗之像元灰度值；h1：輻射灰度值平移參數，h2：
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2.5.1 平行多基線攝影
對目標物之攝影距離相同，以攝影光軸約略垂直目標物方向進行拍攝，如圖 2-9 所 示，S1~Sn為攝影站有 n 站，O1~On為每個攝影站僅拍攝 1 張影像之攝影光束，各個攝 影光束間約略平行且垂直攝影目標物。依 Lensphoto V2.0 操作手冊所述，相鄰攝影站所 拍攝影像之左右重疊率頇達 80%，且攝影站的個數至少要 3 個以上，會有較佳的成功率。
圖 2-9、平行多基線攝影示意圖（柯濤, 2008）
2.5.2 旋轉多基線交會攝影
旋轉多基線交會攝影流程如下（柯濤，2008）：
(1) 根據目標物寬度及相機拍攝之地面覆蓋範圍，將目標物依水平方向劃分為若干「條 帶（Strips）」，且兩兩劃分的條帶頇具 60%以上重疊度，以確保條帶間有足夠的連結點。
(2) 根據攝影距離決定攝影基線長度及攝影站個數。相鄰攝影站個數間的基線長度應小 於攝影距離的 20%，以確保相鄰攝影站影像間的交會角α小於 10°，易於自動化匹配；
同時首尾攝影站的基線長度應大於攝影距離的 55%，以保證測區內影像間的最大交會角 β不小於 30°，確定交會精度（交會角越大，基線越多，影像數也越多，考慮數據處理 效率及精度之平衡，30°為較合理的交會角；若相鄰基線交會角為 10°，此時攝影基線個
目標物
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數為 3，因此攝影站個數至少為 3 個以上）。
(3) 將相機焦距調整至無窮遠，拍攝時保證每張影像焦距及景深不變。
(4) 在每個攝影站上手持相機，透過旋轉攝影方式，對準每一條帶中心進行連續攝影。
圖 2-10 中，待攝目標物被劃分為 5 個條帶，共設置 4 個攝影站，每個攝影站旋轉 拍攝 5 張影像。黑色與白色粗線為被攝目標物之條帶劃分，黑色圓點 S1~S4代表攝影站，
黑色直線為攝影光束，阿拉伯數字為影像拍攝順序，虛線矩形區為同條帶內影像的地面 覆蓋範圍。
圖 2-10、旋轉多基線交會攝影示意圖（柯濤, 2008）
條帶 1
條帶 2
條帶 3 條帶 4 條帶 5
S1 S2 S3 S4
目標物
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21 Photometrix 公司所發表之 iWitness V1.2.3，及 2006 年武漢大學與朗視軟件公司合作研 發之 Lensphoto V2.0，搭配上述數位相機與鏡頭，分別佈設檢驗場，進行拍攝作業，軟 體操作相機率定，探討相機率定結果，率定實驗流程圖如圖 3-1 所示。在實地拍攝過程
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3.2 相機率定程序
本研究選用三套近景攝影測量軟體：PhotoModeler、iWitness 及 Lensphoto 進行相機 率定，各軟體皆有各自率定標、拍攝模式及率定處理流程等，本小節對此三軟體之相機 率定程序分別作說明。
3.2.1 PhotoModeler
佈設檢驗場
PhotoModeler 軟體可自動化處理相機率定，隨軟體附有兩種規格正方形率定標，一 為邊長 21.0 cm，另一為邊長 91.44 cm，圖 3-2 為兩種規格之率定標。兩種尺寸率定標皆 以高色彩反差的白底黑圓點等距排列成正方形。邊長 21.0 cm 的率定標有 100 個點，邊 長 91.44 cm 的率定標有 144 個點，皆含有 4 個控制點，分別位於率定標 4 個角落，如圖 3-2 紅框所示。佈設檢驗場時，將兩種規格率定標電子檔出圖，拉平黏貼於白色木板，
再擺置於地板上。
圖 3-2、PhotoModeler 率定標，左為 21.0 cm，右為 91.44 cm
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拍攝作業
對兩種規格率定標各拍攝一組影像，21.0 cm 所拍得的影像以 set1 表示，91.44 cm 拍得的影像以 set2 表示。圖 3-3 為拍攝位置示意圖，在方形率定標的 4 個邊方向各拍 3 張影像，相機正拍一張、正 90 度旋轉相機與負 90 度旋轉相機各拍一張，因此共有 12 張影像，兩組率定標皆以此方式拍攝。
圖 3-4 為拍攝之影像，上排：正拍所得，中排：正 90 度旋轉相機拍得影像，下排：
負 90 度旋轉相機拍得影像。軟體進行率定處理時，限制率定標成像必頇涵蓋影像範圍 80%，拍攝 set1 影像之率定標涵蓋範圍為 90%，set2 影像之率定標涵蓋範圍為 92%。拍 攝 set1 影像後，鏡頭經拆卸、裝載才進行 set2 拍攝。
相機正拍 相機機身+90°旋轉拍攝 相機機身-90°旋轉拍攝
圖 3-3、拍攝 PhotoModeler 率定標影像的位置示意圖
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set1
set2
圖 3-4、拍攝 PhotoModeler 率定標之影像
率定處理及結果
在 PhotoModeler 相機率定中，影像坐標改正函數使用 7 個參數模型，包含廣義的 3 個內方位參數和 4 個附加參數表示鏡頭畸變差。其率定參數分別為：
相機內方位參數（Camera interior orientation）：f , xp , yp
輻射畸變差參數（Radial distortion parameters）：K1 , K2
離心畸變差參數（Decentring distortion parameters）：P1 , P2
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set1
set2
圖 3-5、以 PhotoModeler 進行影像量測之結果
圖 3-6 為率定報告，表 3-3 為率定參數與精密度（Precision）之整理。內方位參數
圖 3-6 為率定報告，表 3-3 為率定參數與精密度（Precision）之整理。內方位參數