具內部裂縫矩形 Mindlin 板之振動分析

  

^{   }

3.2 收斂性分析

本節首先分析薄板（h/b0.01）之振動頻率，並將結果與文獻比較，

驗證上節所提允許函數的可行性及正確性；接著探討內部裂縫函數項數對 數值收斂的影響。為方便計算，取式（2.6）之項數I J，式（3.2）之項數

N N

N N

N_{1k_1}  _{1k_2}  _{2k_1}  _{2k_2}  （k 1, 2, 3）；如此可得允許函數總項數為

 



^{2 3}



3IJ  N N  項。幾何參數定義於圖3.1，其中a、b為板之長寬，d與 分別為裂縫長度與角度，



x₀, y₀



為裂縫中心點所在位置。

表3.1 為具水平中心內部裂縫簡支方形薄板（a/b1,x₀/a0.5,y /₀ b 5

.

0 ,d/a0.6,h/b0.01）之收斂性分析。在不使用裂縫函數的情況下（即

0

N ），所得收斂頻率乃無裂縫板之結果。相反地，若一味增加裂縫函數項 數，且只用少數多項式函數，亦無法得到精確之收斂解；例如，當裂縫函 數項數採用N 8時，可發現多項式函數項數在I  J 5之第四與五模態頻率 值與實際收歛值有較明顯差異。隨多項式函數與裂縫函數項數增加，當

8

 J

I 及N 8（總項數720）時，可達 3 位有效位數收斂。比較此收斂值 與文獻之結果，可發現收斂之結果非常接近Stahl 和 Keer（1972）之結果，

但稍小；其原因為Stahl 和 Keer（1972）之結果使用古典板理論上，而本文 結果採用Mindlin 板理論。古典板理論不考慮剪力變形，導致該理論所得之 板振動頻率較剪力變形板理論所得者高。

經由表3.1 之結果，可了解增加式（3.2）之內部裂縫函數於允許函數

中，將可有效描述內部裂縫存在。表3.2 與表 3.3 考慮了不同水平中心內部 裂縫長度（d/a0.3、0.6）簡支方形中厚板（a/b1,x₀ /a0.5,y₀/b0.5,h/b

1 .

0 ）之收斂性分析；表3.4 則同樣列出裂縫長度為d/a0.6，但角度  30

之簡支方形中厚板收斂性。由表3.2~表 3.4 可發現不論裂縫長度或角度為 何，當項數使用I  J 8及N 5（總項數432）時，即可達至少 3 位有效位 數收斂。

表3.5 則列出了具內部裂縫懸臂方形中厚板（a/b1,x₀/a0.5,y /₀ b 5

.

0 ,d/a0.6,h/b0.1）之收斂性，同樣當項數使用I  J 8及N 5（總項數 432）時可達 3 位有效位數收歛。比較不同厚度下（表 3.1 與表 3.3）收斂的 項數，可發現，隨厚度減少，所需的允許函數項數必須增加，方能達到準 確之收斂解。

3.3 數值結果

在3.2 節中已驗證使用式(3.2)之內部裂縫函數能描述內部裂縫的存在。

於本節中，吾人將其用於分析具有內部裂縫之簡支與懸臂方形板，探討不 同裂縫位置、角度及長度對振動行為之影響。根據收斂性分析之探討，為 獲得至少三位有效數字之精度，依以下所示原則去允許函數：當d/a0.3

時，取多項式函數集合I  J 8；及N 5之內部裂縫函數集合（總項數432 項）；若d/a0.4時，取多項式函數集合I  J 8，及N 6之內部裂縫函數集 合（總項數516 項）；無裂縫板（d/a0）則只取多項式函數為I  J 10（總

項數100 項）。所有結果均針對h/b0.1及 0.3之方形板。根據簡化收斂探 討，可確認所得之解最少達三位有效。

表3.6 與表 3.8 為具有內部裂縫簡支與懸臂方形板之無因次化頻率；表 3.7 與 3.9 分別為其無因次化頻率折減量比。其中考慮不同裂縫中心（x /₀ a 

5 .

0 且y₀/b0.5與0.75）、裂縫角度（  0、15、30、45）與長度（d/a  6

. 0

~ 1 .

0 ）之影響。觀察表3.6～表 3.9 可發現

（1） 頻率值因裂縫長度增加（d/a0.1~0.6）而下降（因勁度減小之故）。

當裂縫長度較短（d/a0.1）時，簡支方形板之前四個模態與懸臂方 形板前五個模態之頻率折減量比皆小於1.1%，因此較無法從其頻 率值判斷裂縫之存在。

（2） 觀察表 3.7 之頻率折減量比，可發現第三模態者明顯小於其餘四個 模態者；顯示內部裂縫對簡支方形板之第三模態影響較不明顯。

（3） 觀察表 3.9，第四模態頻率折減量比較其他模態來的大，顯示懸臂 支承方形板之第四個模態對內部裂縫的存在較敏感。

（4） 同時觀察表 3.7 與表 3.9 之頻率折減量比，可發現除第四模態者與



  30 之第三模態者，整體來說，裂縫對簡支承板之影響要比懸臂支 承者來的明顯。

（5） 比較不同水平內部裂縫位置（y₀/b0.5與0.75）對簡支板頻率值之影 響（參看表3.7）：當裂縫長度d/a0.3，且位置由y₀/b0.5向上移至

75 . 0

0/b

y 時，第一、四與五模態頻率折減量比將隨位置向上移動 而下降，二與三模態則隨著上升；若裂縫長度增長至d/a0.5時，前 三個模態頻率折減量比，將隨著裂縫位置上移而下降，四、五模 態則隨著裂縫上移而上升。

（6） 比較不同水平內部裂縫位置（y₀/b0.5與0.75）對懸臂方形板頻率值 之影響（參看表3.9）：當水平裂縫位置由y₀/b0.5向上移至y₀/b0.75 時，除第三模態外，其餘模態之折減量比皆隨裂縫上移而下降。

综合（5）、（6）兩點之討論，可知若水平裂縫位置偏移矩形板中心時，

對頻率折減之影響，於懸臂端較有規律；而簡支承則因裂縫長度不 同，較無一致規律。

（7） 裂縫角度（  0、15、30、45）對頻率值之影響：簡支方形板（表 3.6）之第一、三及四模態頻率隨角度增加而下降；懸臂方形板（表 3.8）之第一、三模態亦有相同趨勢。

（8） 比較簡支方形板水平內部（表 3.6 中y₀ /b0.5者）與邊緣（表 2.6 中 5

. 0 /b

c_y 者）裂縫對頻率值之影響；當裂縫位於板邊緣（表 2.6）時，

第一、二、五模態頻率值較大，而第三與第四模態則為相反。

（9） 比較懸臂方形板水平內部（表 3.9 中y₀/b0.5者）與邊緣（表 2.11 中c_y/b0.5者）裂縫對頻率值之影響；發現內部裂縫於第二～五模態 頻率值皆較邊緣裂縫大；而邊緣裂縫因裂縫長度增加造成頻率下降也

較為明顯。

（10） 综合第（8）與第（9）之討論，可知道，懸臂方形板對邊緣裂縫造 成頻率下降的幅度要比內部裂縫明顯很多；而簡支承方形板變化較無 一定之規律。

表3.10 與表 3.12 分別列出在不同位置（x₀/a0.5與x₀/a0.25）懸臂矩 形中厚板（a/b2,h/b0.1）之無因次化頻率。表 3.11 與 3.13 分別為其無 因次化頻率折減量比。其中考慮不同裂縫角度（  0、30、90）與長度

（d/b 0.1~0.6）之影響。觀察表3.10～表 3.13 可發現

（1） 觀察表 3.11 之頻率折減量比，可發現除第三模態且  90者明顯 有較高之頻率折減比外，其餘各模態頻率折減比則相對較低；顯示當 裂縫位於矩形板中心時（x₀/a0.5），隨裂縫增加，頻率變化除第三 模態且  90者，其餘大部分不明顯。

（2） 觀察表 3.13 之頻率折減量比，可發現  90之第一與第五模態頻 率折減比明顯要高出其餘各模態；因此可知當裂縫位於x₀/a0.25 時，隨裂縫長度增加，導致頻率之折減效應，除  90之第一與第五 模態較明顯外，其餘各模態則較不明顯。

（3） 比較表 3.11 與表 3.13，裂縫在不同位置（x₀/a0.5，x₀/a0.25）之 頻率折減情況；若角度固定（  0、30、90），當裂縫位於x₀/a 0.25 時，在第一、二與五模態相較於x₀ /a0.5有較高之頻率折減比，第三

模態呈現相反趨勢，第四模態則無一定之規律。

（4） 比較表 3.11 隨角度變化（  0、30、90）頻率折減比之變化，發現 在第一、三與五模態將隨角度增加頻率折減比跟著增加，第四模態則 呈現相反趨勢。

（5） 同樣觀察表 3.13 隨角度變化（  0、30、90）頻率折減比之變化，

可發現在與表3.11 相同，在第一、三與五模態頻率折減比隨角度增加 而跟著增加，第四模態則呈現相反趨勢。因此可知位置改變（x₀/a 0.5 移至x₀/a0.25）並不會影響各種角度對頻率值之變化。

（6） 比較具有內部與頂部裂縫懸臂矩形板之頻率折減比（表 3.11、表 3.13 與表2.15）。當考慮裂縫角度為  90時，比較裂縫位於x₀/a0.5與

5 . 0 /a

c_x 之頻率折減變化，可發現裂縫位於c_x/a0.5之頻率折減比



 在各模態皆比位於x₀/a0.5來的大；接著同樣比較  90，位於 25

. 0

0/a

x 與c_x/a0.25之頻率折減變化，可發現c_x/a0.25之頻率折減 比較x₀/a0.25大。因此可知邊緣裂縫所造成之頻率折減量要比內 部裂縫來的明顯。

圖3.3 與圖 3.4 分別為具內部裂縫簡支與懸臂方形板的模態圖，僅列出 表3.5 與表 3.7 中，裂縫長度為d/a0.2與0.6之圖形，圖中模態側向位移等 高線以實線表示，虛線則表示節點線（側向位移為零）。可觀察到：

（1） 觀察圖 3.3，比較不同裂縫長度（d/a0.2與0.6）對各模態之影響。

當裂縫位於y₀/b0.5時，不論裂縫角度為何（  0、30及45），可 發現，不同長度的裂縫對前四個模態振形影響皆不明顯，但第五模態 出現較大變化；而若水平裂縫位於y₀/b0.75時，其中不同長度的裂 縫，對前三個模態振形較為不明顯，不過值得注意的是d/a0.2之第 二模態的節點線，並非是一水平線，另外不同長度的裂縫對四、五模 態則出現了較大之變化，其中d/a0.2之第四模態與d/a0.6之第五模 態圖形似乎有互換的情況；

（2） 觀察圖 3.4 不同裂縫長度（d/a0.2與0.6）之變化。當裂縫長度由

2 . 0 /a

d 增至d/a0.6時，前四個模態中，除裂縫位於水平中心之第 三、四模態者因裂縫改變而模態振形有較大改變之外，其餘因裂縫改 變所造成的變化皆較不明顯。

（3） 當裂縫位於對稱軸上且裂縫中心為



x₀/a,y₀/b

 

 0.5,0.5



時，其振動模

態將呈現對稱與反對稱的情況。在圖3.3 中  0與45與圖3.4 中



  0 者，可看出此情況。

（4） 觀察圖 3.3 第四模態與圖 3.4 第五模態。可發現當裂縫之存在破壞板 之對稱性時，原本相交的兩條節線將呈現分離的情況。

（5） 以水平內部裂縫且y₀/b0.5者為基準，將其與水平邊緣裂縫且c /_y b0.5

者相比，觀察內部與邊緣裂縫模態圖的差異。在簡支承的情況下（圖 2.4 與圖 3.3），裂縫長為d/a0.2時，第一到第四模態類似，第五模態

有較大差異；而d/a0.6，除第四模態，其餘皆類似。若為懸臂支承

（圖2.6 與圖 3.4），發現d/a0.2，在各模態圖形皆相類似；d/a0.6

則是在第三、四及五模態，有明顯差異。

圖3.5 與圖 3.6 分別為具不同位置（x₀/a0.5與x₀/a0.25）之內部裂縫 懸臂矩形板的模態圖；且僅列出表3.10 與表 3.12 中，裂縫長度為d/b0.2與

6 .

0 之圖形，觀察可得：

（1） 當裂縫之存在不會改變板之幾何對稱時，板之振動模態將呈現對稱與 反對稱之型式；圖3.5 與圖 3.6 中  0與  90有這樣之情況。

（2） 觀察圖 3.5 與圖 3.6 之第四模態且  30者，可發現當裂縫之存在破 壞板之對稱時，原本相交的兩直線將呈現分離的情況。

（3） 觀察圖 3.5，比較不同裂縫長度（d/a0.2與d/a0.6）對各模態圖之 影響，可發現不論裂縫角度為何（  0、30及90），不同長度的裂 縫對前五的模態之變化不大。

（4） 觀察圖 3.6，不同裂縫長度（d/a0.2與d/a0.6）對各模態圖之影響，

可發現不論裂縫角度為何（  0、30及90），不同長度的裂縫對前 五的模態之變化均不明顯。因此由第（3）與第（4）可知內部裂縫長 度增加，對矩形板之模態圖較無明顯的改變。

（5） 將矩形板垂直裂縫位於（x₀/a0.5）之模態圖（圖3.5），與具頂部垂 直裂縫且位於（c_x/a 0.5）之矩形板（圖3.4）模態圖做比較，可發

在文檔中 利用Ritz法分析具有裂縫之矩形Mindlin板振動 (頁 40-51)